Lista de Exercícios Aproximações Lineares e Diferenciais

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1 Lista de Eercícios Aproimações Lineares e Diferenciais ) Encontre a linearização L( ) da função em a. a) f a ( ) =, = f f f ( ) = () = () = f f f ( ) = () = () () = L( ) = f ( a) + f ( a)( a) L( ) = f () + f ()( ) L( ) = + ( ) L( ) = + L( ) = b) f a ( ) =, = 8 f f f ( ) = ( 8) = 8 ( 8) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( 8) = f ( 8) = f ( 8) = f ( 8) = 6 ( 8) 6 L( ) = f ( a) + f ( a)( a) L( ) = f ( 8) + f ( 8)( + 8) L( ) = + ( + 8) 8 L( ) = L( ) = 6 L( ) = L( ) = Página de 8

2 ) Encontre a aproimação linear da função g use-a para aproimar os números 0,95 e,. ( ) = + em a = 0 e g g g ( ) = + (0) = + 0 (0) = ( ) g ( ) = + g ( ) = g ( ) = g (0) = g (0) = ( + ) 0 ( + ) ( + ) L( ) = g( a) + g ( a)( a) L( ) = g(0) + g (0)( 0) L( ) = + ( 0) L( ) = + Como: + + 0,05 0,95 = + ( 0,05) = 0,98 0,, = + 0, + =,0 ) Encontre a diferencial da função: a) y = + 5 dy = f ( ) dy = + 5 ( 5 ) dy = + b) y = + t y = ( + t ) dy = f ( t) dt Página de 8

3 ( ) dy = + t t dt t dy = dt + t c) y = (+ ) r dy = f ( r ) dr 5 dy = (+ r ) dr 5 dy = 8 (+ r ) dr ) Encontre (a) a diferencial dy e (b) calcule dy para os valores de e. a) y = +, =, = dy = f ( ) ( ) dy = + Quando = e dy = ( + ) dy = = b) y = + 5, = 0, = 0,0 dy = f ( ) ( 5 ) dy = dy = + 5 Quando = 0 e = 0,0 5 dy = 0, dy = 5 Página de 8

4 dy = 0 dy = 0,05 UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso c) y =, =, = 0,0 + dy = f ( ) dy = + ( ) Quando = e = 0,0 dy = ( ) ( 0,0 ) + dy = 00 dy = 0,5 00 dy = 0,005 5) Compute y e dy para os valores de e =. a) y =, =, = y f ( ) f ( ) = + dy = f ( ) ( ) ( ) y = f + f ( ) ( ) y = f f dy = dy = y = dy = 0,5 y 0, b) 6 y =, =, = y f ( ) f ( ) = + dy = f ( ) 6 y = f ( ) f ( ) dy = Página de 8

5 ( ) ( ) y = f f 6 6 y = dy = y = = = y =, 6 dy = ( ) ( ) 6) Use as diferenciais (ou, de maneira equivalente, uma aproimação linear) para estimar o número dado. a) 99,8 y = f ( ) = dy = f ( ) = Quando = 00 e = 0, dy = 00 dy = 0 5 dy = 00 dy = 0,0 ( 0,) f ( a + ) f ( a) + dy Portanto: b) ( ) 99,8 = f 99,8 f (00) + dy = 0 0,0 = 9,99 00 y = f ( ) = dy = Quando = 000 e = Página 5 de 8

6 dy = UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso ( 000) dy = 0,00000 f ( a + ) f ( a) + dy Portanto: ( 00 ) (000) 0,00 0, , = f f + dy = = 7) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguineo, o fluo F (o volume de sangue por unidade de tempo passando por um dado ponto) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso: F = kr Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluo normal do sangue. Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de 5% no raio afeta o fluo de sangue? F = kr df = k R dr df k R dr F df F = k R dr = R df dr a) = F R b) df 5 0 0% F = 00 = 00 = 8) A medida de uma aresta de um cubo é 5 cm, com um erro possível de 0,0 cm. Use diferenciais para encontrar o erro aproimado do cálculo (a) do volume; (b) da área de uma das faces. V = a A = a Página 6 de 8

7 dv da a da = da = dv = a da da = a da dv = (5) ( ± 0,0) da = (5) ( ± 0,0) dv = ± 6,75cm a da = ± 0,cm 9) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm for a área da queimadura, então A = π r. Use a diferencial para encontrar o decréscimo aproimado da área da queimadura quando o raio passa de para 0,8 cm. = π r da = π() ( 0,) A da = π r dr da = π r dr da = 0,π cm 0) Um tumor no corpo de uma pessoa tem a forma esférica, tal que se r cm for o raio e V cm for o volume do tumor, então V = πr. Use a diferencial para encontrar o aumento aproimado no volume do tumor quando o raio passa de,5 para,6 cm. V = πr dv = π r dr dv = π r dr dv dv = π (,5) 0, = 0,9π cm ) A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida de seu diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de %. Ache o erro percentual possível no cálculo do valor da resistência. k = constante de proporcionalidade l R = k l = comprimento do fio = diâmetro do fio dr = kl dr = kl Página 7 de 8

8 ( ) dr = kl ± 0,0 dr = ± 0,0 kl dr = ± % R ) O resultado da medida do raio de um círculo é 0 polegadas, com erro possível de de polegada. Com auílio de diferenciais, 8 aproime o erro possível e o erro relativo no cálculo da área do círculo. A = π r da = π r dr da = π r dr da = π(0) ± 8 5π da = ± pol A = π r A = π(0) A = 00π pol da A 5π = ± 5π,5% 00π = ± 00π = ± 0 = ± Página 8 de 8