...Lista Álgebra. A Sequências POTI 2015 Lista 5...Professor Tiago Miranda. Sejam x e y números naturais tais que. Problema A.

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1 Lista Elaborado or Tiago Miranda 1 Álgebra A Sequências Problema A.13 x 3 y = Determinar o valor de x + y. Sejam x e y números naturais tais que Problema A.14 Defina um número geométrico de 3 dígitos como aquele que ossui 3 algarismos distintos e, quando lido da esquerda ara direita, cada dígito em sua ordem ocua a osição de um termo numa rogressão geométrica. Calcule a diferença entre o maior e o menor número geométrico. Problema A.15 Demonstre que se entre os infinitos termos de uma rogressão aritmética de inteiros ositivos existe um quadrado erfeito, então existem infinitos quadrados erfeitos na mesma rogressão. Problema A.16 Sabe-se que no triângulo ABC os lados estão em rogressão aritmética de razão t. Qual a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo, em função de t? Problema A.17 A soma dos termos de uma rogressão geométrica decrescente infinita é 005. Uma nova sequência é obtida ao elevar ao quadrado todos os termos da sequência original e a nova soma fica 10 vezes maior que a inicial. A razão da rimeira sucessão é m, com m e n rimos entre si. Qual o valor n de m + n? Problema A.18 Um garrafão contém litros de vinho. Retirando um litro de vinho do garrafão e acrescentando um litro de água, obtemos uma mistura homogênea. Retira-se a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de água e assim sucessivamente. Qual a quantidade de vinho que restará no garrafão aós n dessas oerações? htt://oti.ima.br/ 1 oti@ima.br

2 Combinatória Problema C.13 Num tabuleiro 8 8 de xadrez, as linhas são numeradas de 1 até 8 e as colunas são rotuladas C Jogos or letras de a até h. Um jogador tem uma torre branca em b1 e outro tem uma torre reta em c4. Os jogadores se alternam movendo suas torres e, em cada rodada, odem movê-la quantas casas quiser nas resectivas linha ou coluna da casa que está no início de cada turno. As condições do jogo são: não ocuar casas já ocuadas anteriormente or qualquer uma das torres, ou seja, a torre branca deois de sair de b1 não mais oderá voltar ara ela e nunca oderá arar em c4; e não arar em casa que ossa ser atacada ela outra torre, or exemlo, não ode sair de b1 e arar em c1 ou em b4. O jogador que não tiver como mover, erde! Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique. Problema C.14 Peter e Paul brincam do seguinte jogo. Primeiramente, Peter escolhe algum inteiro ositivo a cuja soma dos dígitos é 015. Paul quer determinar esse número, e ele sabe aenas o valor da soma dos dígitos. Em cada rodada, Paul escolhe um inteiro ositivo x e Peter resonde a soma dos dígitos de a x. Qual o número mínimo de rodadas ara Paul determinar com certeza o número escolhido or Peter? Problema C.15 Constantino tem uma ilha com 100 edrinhas. Em cada movimento, ele escolhe uma quantidade e divide a ilha em duas outras de tamanho menor, até que chegue a searar todas as 100 edrinhas. a Prove que, em algum momento, haverá 30 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas. b Prove que, em algum momento, haverá 0 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas. c Como é ossível roceder de modo a não ter 19 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas? Problema C.16 Em um jogo ara dois articiantes, Arnaldo e Bernaldo alternadamente escolhem um número inteiro ositivo. A cada jogada, deve-se escolher um número maior que o último número escolhido e menor que o dobro do último número escolhido. Nesse jogo, vence o jogador que conseguir escolher o número 004. Arnaldo joga rimeiro e inicia com o número. Qual dos dois tem estratégia vencedora, ou seja, consegue escolher o número 004 indeendentemente das jogadas do adversário? Problema C.17 Um jogo começa com o número 1 escrito em um quadro negro. Alternadamente, dois jogadores multilicam o número original or algum inteiro ertencente ao conjunto {, 3,..., 9}. Aós a multilicação, o jogador aaga o número original e escreve no lugar o resultado da multilicação. O jogador que rimeiro escrever um número maior que 1000, vence! Determine qual dos jogadores ossui uma estratégia vencedora o que inicia o jogo ou o segundo a jogar e escreva como este jogador ode roceder nas escolhas de modo a garantir sua vitória. Problema C.18 Esmeralda e Jade, secretárias da OBM, jogam Destrua os Triângulos. Esse jogo é disutado da seguinte forma: tem-se uma esfera e 01 ontos sobre a esfera. Em rincíio todos os ares de ontos estão ligados or um segmento. Esmeralda e Jade aagam, alternadamente, um segmento. A secretária que eliminar o último triângulo da esfera vence o jogo. Note que odem sobrar segmentos no final do jogo; eles só não formam triângulo. Se Esmeralda começa o jogo, qual das secretárias tem estratégia vencedora, ou seja, vence o jogo não imortando como o oonente jogue? Justifique sua resosta, exibindo uma estratégia que funcione semre. htt://oti.ima.br/ oti@ima.br

3 Resostas e Soluções. Problema A.13 Sejam x e y números naturais tais que x 3 y = Determinar o valor de x + y. Solução do roblema A.13. Extraído da Olimíada da Romênia Observe que x 3 y = 4 k. Logo, k = = = = Logo, x 3 y = x = 45 59, y = e o valor de x + y = = Problema A.14 Defina um número geométrico de 3 dígitos como aquele que ossui 3 algarismos distintos e, quando lido da esquerda ara direita, cada dígito em sua ordem ocua a osição de um termo numa rogressão geométrica. Calcule a diferença entre o maior e o menor número geométrico. Solução do roblema A.14. Extraído da AIME Uma solução: Assuma que o o maior número geométrico comece com 9 o 9 ocue a casa da centena. Sabemos que a razão deve ser um número racional do tio k/3 ara algum k N, ois deveremos ter algarismos inteiros em cada ordem. Quando k = 1, o número é 931, ara k =, obtemos 964 e, or fim, se k = 3, então chegaremos a 999, mas os dígitos recisam ser distintos. Pelo mesmo raciocínio, o menor número geométrico é o 14. O maior ficou 964 e o menor foi 14, cuja diferença = 840. Outra solução: Considere abc como um número de três dígitos na base 10. Se eles estiverem em rogressão geométrica, recisamos ter a b = b c, ou seja, b = ac. Os menor e maior números geométricos ocorrerão quando a for minimizado e majorado, resectivamente. O mínimo acontece quando a = 1; faremos b = e encontraremos c = 4, então o menor número geométrico é igual a 14. Para o valor número máximo, observe que em b = 9c, b é majorado quando a = 9 e 9c é o maior quadrado erfeito formado. O que ocorre ara c = 4, levando a b = 6. O maior ficou 964 e o menor foi 14, cuja diferença = 840. htt://oti.ima.br/ 3 oti@ima.br

4 Problema A.15 Demonstre que se entre os infinitos termos de uma rogressão aritmética de inteiros ositivos existe um quadrado erfeito, então existem infinitos quadrados erfeitos na mesma rogressão. Solução do roblema A.15. Extraído da Olimíada da Esanha Seja r a razão de modo que tenhamos x = a 0 + kr. Agora tome x + r. x + r = x + xr + r = a 0 + kr + xr + r = a 0 + k + x + rr. Note que achamos um novo quadrado erfeito maior que o anterior que ertence também a mesma P.A. Analogamente odemos afirmar que x + r ertence a mesma P.A. de modo sucessivo que todos os termos x + nr são quadrados que ertencem a P.A. e existem infinitos n inteiros. Problema A.16 Sabe-se que no triângulo ABC os lados estão em rogressão aritmética de razão t. Qual a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo, em função de t? Solução do roblema A.16. Adatado da OBM Sejam AB, AC, BC = b t, b, b + t a rogressão aritmética de razão t, G o baricentro de ABC, I o incentro de ABC e r = d {I,AC} = d {I,AB} = d {I,BC} o inraio de ABC. A B I G L M Figura 1 Como GM = BM, temos a área do AGC um 3 terço da área de ABC. Sendo assim, chegamos a S ABC = S AGC = S ABC 3 rb t + b + b + t = br ; S AGC = AC d {G,AC} ; d {G,AC} = r; e d {G,AC} = d {I,AC}. a Teorema da Bailarina. C = 3br ; Portanto, as distâncias de I e G a AC são iguais, o que rova que GI é aralelo a AC, logo: como BL a bissetriz de A ˆBC e M o onto médio de AC, temos AM = b e, elo teorema da bissetriz interna a, obtemos AL AB = LC AL + LC = BC AB + BC AL AB = b b = 1 AL = AB AL = b t. Assim, LM = AM AL = b b t = t. os triângulos BLM e BIG são semelhantes, com IG LM = BG BM = 3 IG = 3 LM IG = 3 t = t 3. Observação: Alicou-se a fórmula S = r, com semierímetro e r inraio. htt://oti.ima.br/ 4 oti@ima.br

5 Problema A.17 A soma dos termos de uma rogressão geométrica decrescente infinita é 005. Uma nova sequência é obtida ao elevar ao quadrado todos os termos da sequência original e a nova soma fica 10 vezes maior que a inicial. A razão da rimeira sucessão é m, com m e n rimos entre si. Qual o valor n de m + n? Solução do roblema A.17. Extraído da AIME Seja a o rimeiro termo dessa rogressão geométrica decrescente infinita com razão q, então 005 = a + aq + aq Alicando a fórmula da soma dos termos da da rogressão geométrica decrescente infinita a a, teremos que 1 q = 005. Agora, uma nova série foi formada,, a + a q + a q e sabemos que a nova soma ficou 0050 = a. Dividindo as equações obtidas, chegaremos a 10 = a 1 q 1 + q. Daí, temos a = q e a = q, então, q = q, 1995 = 015q e finalmente q = = 399, dando a resosta como = Observação: Sabemos que a última fração é irredutível elo Algoritmo de Euclides, ois 4 = , mdc403, 399 4, mas 403 é ímar, então mdc403, 399 = 1. a Uma rogressão geométrica decrescente infinita tem o limite da soma dos seus termos dado ela fórmula S = a 1 1 q, na qual a 1 é o seu rimeiro termo e q a sua razão. Problema A.18 Um garrafão contém litros de vinho. Retirando um litro de vinho do garrafão e acrescentando um litro de água, obtemos uma mistura homogênea. Retira-se a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de água e assim sucessivamente. Qual a quantidade de vinho que restará no garrafão aós n dessas oerações? Solução do roblema A.18. Extraído do material do PROFMAT A quantidade a n de água é crescente e como a cada iteração é aumentada de uma unidade, fica mais fácil focar na água, a quantidade v n de vinho será v n = q n, com v 0 > 1. n Início I Retirada R Atual I R + 1 % de água % de vinho n 1 1 n 1 + n n n n 1 1 n n Logo, a quantidade de vinho aós n oerações erceba a rogressão geométrica é dada or:. v n = 1 1 n.. htt://oti.ima.br/ 5 oti@ima.br

6 Problema C.13 Num tabuleiro 8 8 de xadrez, as linhas são numeradas de 1 até 8 e as colunas são rotuladas or letras de a até h. Um jogador tem uma torre branca em b1 e outro tem uma torre reta em c4. Os jogadores se alternam movendo suas torres e, em cada rodada, odem movê-la quantas casas quiser nas resectivas linha ou coluna da casa que está no início de cada turno. As condições do jogo são: não ocuar casas já ocuadas anteriormente or qualquer uma das torres, ou seja, a torre branca deois de sair de b1 não mais oderá voltar ara ela e nunca oderá arar em c4; e não arar em casa que ossa ser atacada ela outra torre, or exemlo, não ode sair de b1 e arar em c1 ou em b4. O jogador que não tiver como mover, erde! Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique. Solução do roblema C.13. Extraído do Torneio das Cidades 01 O segundo jogador tem a estratégia vencedora. Divida as oito linhas em quatro ares, a saber: 1, 3,, 4, 5, 7 e 6, 8, o mesmo ara as oito colunas: b, c, d, e, f, g e h, a. Agora, divida as 64 casas em 3 ares. Duas casas estão no mesmo ar se, e somente se, suas linhas não estão no mesmo ar, o mesmo ara as colunas or exemlo, não odemos ter os ares de casas a1, d1 ou c3, f 3, odemos ter algo do tio a1, c ou f 5, d8. Daí, as osições iniciais das duas torres odem formar um ar. A estratégia do segundo jogador é mover a Torre Preta ara uma casa que forme ar com aquela que está a Torre Branca. Primeiramente, isso ode ser feito semre, ois se a Torre Branca estiver se mantiver na mesma linha, a Torre Preta fará o mesmo, e se a Torre Branca ficar na mesma coluna, a Torre Preta também não mudará de coluna. Em segundo lugar, desde que a casa na qual está a Torre Branca acabou ser osta não tenha site ocuada antes, a casa que a Torre Preta irá também nunca fora usada, sendo assim coloque que as casas que estão sendo ocuadas elas torres em ares. Na sequência, a Torre Preta nunca ficará sob ataque ela Torre Branca, devido as duas casas no mesmo ar estarem em linhas e colunas distintas. Consequentemente, o segundo jogador semre ossui um movimento a fazer, e ode simlesmente jogar até esgotar os movimentos do rimeiro jogador. Problema C.14 Peter e Paul brincam do seguinte jogo. Primeiramente, Peter escolhe algum inteiro ositivo a cuja soma dos dígitos é 015. Paul quer determinar esse número, e ele sabe aenas o valor da soma dos dígitos. Em cada rodada, Paul escolhe um inteiro ositivo x e Peter resonde a soma dos dígitos de a x. Qual o número mínimo de rodadas ara Paul determinar com certeza o número escolhido or Peter? Solução do roblema C.14. Adatado do Torneio das Cidades 01 Defina Sn a soma dos dígitos de n. No rimeiro asso, Paul escolhe 1. Se a termina com k zeros, então Sa 1 = k. Daí, Paul saberá a osição do maior dígito não nulo de a. Seja a 1 = a 10 k. Paul sabe que Sa 1 = 014. Como segundo asso, Paul escolhe x tal que a x = a 1 1 e descobre o número m de zeros no fim de a 1. Seja a = a 1 10 m e continue. Aós o 015 asso, Paul chegará a Sa 015 = 0, e terá determinado a. Ficamos com 015 rodadas. htt://oti.ima.br/ 6 oti@ima.br

7 Problema C.15 Constantino tem uma ilha com 100 edrinhas. Em cada movimento, ele escolhe uma quantidade e divide a ilha em duas outras de tamanho menor, até que chegue a searar todas as 100 edrinhas. a Prove que, em algum momento, haverá 30 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas. b Prove que, em algum momento, haverá 0 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas. c Como é ossível roceder de modo a não ter 19 ilhas contendo um total de exatamente 60 edrinhas? Solução do roblema C.15. Extraído do Torneio das Cidades 01 Observação: Defina ilhas unitárias como aquelas que ossuem aenas uma edrinha, ilhas dulas como aquelas que ossuem só duas edrinhas, ilhas trilas como aquelas que ossuem exatamente três edrinhas e ilhas quádrulas como aquelas que ossuem unicamente quatro edrinhas. a Em algum momento teremos exatamente 70 ilhas. Ao menos 40 delas com 1 edrinha cada. Caso contrário, o total de edrinhas será no mínimo = 101 lembre que temos 100 edrinhas. Removendo essas 40 ilhas unitárias deixaremos exatamente 30 ilhas com exatas 60 edrinhas nelas. b Chamemos um gruo de k ilhas com um total de k + 0 edrinhas de uma boa coleção. Podemos concluir então que se k 3, uma boa coleção contém ou uma ilha com exatamente duas edrinhas ou duas ilhas com uma edrinha em cada. Caso contrário, o número total de edrinhas na coleção é no mínimo 1 = 3k 1 = 3k, o que é estrimante maior do que k + 0 quando k 3. Agora, qualquer artição da ilha original em 40 ilhas resulta numa boa coleção com k = 40. Daí, odemos obter uma boa coleção com k = 39 removendo ou uma ilha com exatamente duas edrinhas ou duas ilhas com exatamente uma edrinha e subdividindo qualquer outra ilha com no mínimo duas edrinhas. Na mesma linha, oderemos garantir boas coleções reduzindo k =, com um total de 64 edrinhas exatamente. Assim, garantimos que há duas ou mais ilhas quádrulas. Suonha que isso não acontece. Se não há ilhas unitárias, o total de dessas na coleção será no mínimo > 64. Se há ilhas unitárias, então o total será no mínimo > 64. Sendo assim, a afirmação é válida. Agora, removamos 4 edinhas, obteremos assim 60 edras em no máximo 0 ilhas. Eventuais subdivisões trarão o número de ilhas ara 0, mantendo o total de ilhas em 60. c Agrue as ilhas em montinhos com três edrinhas até que tenhamos 3 ilhas trilas e uma ilha com 4 edrinhas. Durante esse rocesso, exatamente uma ilha conterá um número de edrinhas não divisível or três. Se a incluirmos, o total não oderá ser 3 e se a excluirmos, o total de ilhas de 19 ilhas trilas totaliza 57 edrinhas. Agora, seare a ilha quádrula em duas ilhas dulas. Agora, todas as ilhas são dulas ou trilas, então 19 ilhas totalizarão no máximo 57 edrinhas e qualquer searação não mudará essa situação ara a amliação da soma das edrinhas. htt://oti.ima.br/ 7 oti@ima.br

8 Problema C.16 Em um jogo ara dois articiantes, Arnaldo e Bernaldo alternadamente escolhem um número inteiro ositivo. A cada jogada, deve-se escolher um número maior que o último número escolhido e menor que o dobro do último número escolhido. Nesse jogo, vence o jogador que conseguir escolher o número 004. Arnaldo joga rimeiro e inicia com o número. Qual dos dois tem estratégia vencedora, ou seja, consegue escolher o número 004 indeendentemente das jogadas do adversário? Solução do roblema C.16. Extraído da OBM Revista EUREKA n. Seja uma rodada definida como a jogada de cada jogador, assim: i na 1 a rodada, Arnaldo escolheu o número ; e ii na a rodada, Bernaldo será obrigado a escolher um número maior que e menor que = 4, logo na a rodada será escolhido o número 3. Sejam os dois jogadores do enunciado os jogadores X e Y. i Suonha que o jogador X escolhe 004 e ganha na rodada n. ii Para isso Y teria que ter escolhido qualquer número entre 1003 e 003 na rodada n 1 e isso é visto facilmente. iii A jogada de X na rodada n teria que ser 100, ois se fosse maior ou menor que 100, Y não seria obrigado a escolher um número entre 1003 e 003 na rodada n 1. iv Para X ter escolhido 100 na rodada n, Y teria que ter escolhido um número entre 50 e 1001 na rodada n 3. v A jogada de X na rodada n 4 teria que ser 501, ois se fosse maior ou menor que 501, Y não seria obrigado a escolher um número entre 50 e 1001 na Rodada n 3. vi Para X ter escolhido 501 na rodada n 4, Y teria que ter escolhido um número entre 51 e 500 na rodada n 5. vii A jogada de X na rodada n 6 teria que ser 50, ois se fosse maior ou menor que 50, Y não seria obrigado a escolher um número entre 51 e 500 na rodada n 5. Agora que o raciocínio da questão já foi mostrado odemos continuar sem escrever tanto. Rodada n 6: X: 50 Como vii mostrou; Rodada n 7: Y: de 16 a 49; Rodada n 8: X: 15; Rodada n 9: Y: de 63 a 14; Rodada n 10: X: 6; Rodada n 11: Y: de 3 a 61; Rodada n 1: X: 31; Rodada n 13: Y: de 16 a 30; Rodada n 14: X: 15; Rodada n 15: Y: de 8 a 14; Rodada n 16: X: 7; Rodada n 17: Y: de 4 a 6; Rodada n 18: X: 3; e Rodada n 19: Y:. Logo X = Bernaldo e Y = Arnaldo, e como X ganha, Bernaldo ganha. htt://oti.ima.br/ 8 oti@ima.br

9 Problema C.17 Um jogo começa com o número 1 escrito em um quadro negro. Alternadamente, dois jogadores multilicam o número original or algum inteiro ertencente ao conjunto {, 3,..., 9}. Aós a multilicação, o jogador aaga o número original e escreve no lugar o resultado da multilicação. O jogador que rimeiro escrever um número maior que 1000, vence! Determine qual dos jogadores ossui uma estratégia vencedora o que inicia o jogo ou o segundo a jogar e escreva como este jogador ode roceder nas escolhas de modo a garantir sua vitória. Solução do roblema C.17. Extraído da Olimíada Paraense de Matemática Digamos que A é o jogador que vence e B é o jogador que erde. Vamos analisar se A é o rimeiro ou o segundo jogador, estiulando os intervalos numéricos máximos ara garantir a osições vencedoras, isto é, intervalos que mesmo a multilicação or, menor número do conjunto, garantam que na róxima jogada de A esteja em outro intervalo vencedor. i Note que ara alcançar 1000 em sua última jogada, é necessário que em sua jogada anterior A escreva um número x que imeça que B multilique x or algum inteiro n de até 9 de modo que nx > ii Como 1000 = 111, 111.., então se, em sua jogada anterior, A escrever um número x menor ou igual 9 a 111, B não oderá escrever um número maior que 1000, or mais que multilique 111 or 9. iii Entretanto, ara que A ganhe, é necessário que B escreva um número maior que 11. Pois 111, 1 = 55, , então se x for maior ou igual a 56, necessariamente B escreverá um número maior que 11, ois mesmo que multilique elo menor número que é, teremos nx 11. iv Resumindo, ara que A ganhe, basta que em sua jogada anterior ele consiga escrever um número x que satisfaça 56 x 111, ois assim B vai ter que escrever um número entre 11 e 999, fazendo com que A ganhe. v Pelo mesmo raciocínio, ara que A consiga escrever um número x tal que 56 x 111, então na jogada anterior a esta, A deve escrever um número y que satisfaça uma vez que = 1, e 1, 3 = 6, y 6, vi Em outras alavras, se A escrever um número a artir do 4 até o 6, então B vai ter que escrever um número entre 8 e 54 ou seja, fora do intervalo 56 a 111, fazendo com que A, na vez seguinte, ossa escrever um número entre 56 e 111. vii Chegamos a conclusão, então, que ara ganhar algum dos jogadores tem que escrever no quadro negro um dos número 4, 5 ou 6. Evidentemente, o rimeiro jogador ode fazer esta escolha, fazendo com que o jogador A, que é o que ganha o jogo, seja o jogador que inicia o jogo. htt://oti.ima.br/ 9 oti@ima.br

10 Problema C.18 Esmeralda e Jade, secretárias da OBM, jogam Destrua os Triângulos. Esse jogo é disutado da seguinte forma: tem-se uma esfera e 01 ontos sobre a esfera. Em rincíio todos os ares de ontos estão ligados or um segmento. Esmeralda e Jade aagam, alternadamente, um segmento. A secretária que eliminar o último triângulo da esfera vence o jogo. Note que odem sobrar segmentos no final do jogo; eles só não formam triângulo. Se Esmeralda começa o jogo, qual das secretárias tem estratégia vencedora, ou seja, vence o jogo não imortando como o oonente jogue? Justifique sua resosta, exibindo uma estratégia que funcione semre. Solução do roblema C.18. Extraído da OBM 01 Antes da última jogada, há somente um triângulo ou vários triângulos com um segmento em comum, além de ossivelmente outros segmentos que não articiam de triângulos. Chamemos essas configurações de vencedoras. Se o jogador recebe uma configuração que contém uma das configurações a seguir e mais segmentos, o jogador ode retirar algum desses segmentos e devolver outra configuração que contém a mesma configuração. Essas configurações têm elo menos dois triângulos e não são vencedoras. Note que todas as configurações têm exatamente seis segmentos. Figura Considere então a configuração imediatamente anterior à enúltima jogada da artida. Todas tais configurações devem ter elo menos dois triângulos; dois triângulos têm as seguintes ossibilidades: sem lados nem vértices em comum; exatamente um vértice em comum; ou um lado em comum. Os dois rimeiros casos corresondem às duas rimeiras figuras acima; o segundo caso; caso não existam dois triângulos em uma dessas duas condições, todo ar de triângulos tem um lado em comum; isso só ocorre se todos têm um lado em comum o que é uma configuração vencedora, que não ode aarecer na enúltima jogada ou aarece a configuração da direita se um triângulo não tem o mesmo lado comum com os outros então tem dois lados diferentes em comum com dois outros triângulos, que têm um lado em comum. Logo toda configuração não vencedora contém elo menos uma das configurações acima, de modo que a configuração imediatamente anterior à enúltima jogada é uma das três configurações acima. Todas essas configurações têm 6 segmentos. Com isso, o jogador que tem a estratégia vencedora deende da aridade da quantidade de segmentos retirados até então, que é 6. Ou seja, se é ar, Jade vence o jogo, caso contrário, Esmeralda vence. Como 01 = = é ar, Jade vence. Elaborado or Tiago Miranda htt://oti.ima.br/ 10 oti@ima.br

11 Soluções Enviadas Enviaram soluções ara os roblemas da Lista 5: Brenno Guerreiro Britho, Parintins AM, roblema A13; Cleber Assis, Salvador BA, roblemas A13, A14, A15, A16, A17 e A18; Gabriel Domingues, Salvador BA, roblemas A16 e A18; Júlio Cézar Marinho, Parintins AM, roblemas A13, A14, A15, A16, A17 e A18, C13; Jefferson Harer, Parintins AM, roblemas A14 e A16; Lauriney Loes Fernandes, Parintins AM, roblema A16; Leonardo Joau, Salvador BA, roblemas A13, A14, A15, A17 e A18; Lucas Ruan, Maringá PR, roblemas A13, A14, A15, A16 e A17, C13 e C17; Marcos Antônio de Almeida Silva, Parintins AM, roblemas A13, A16 e A18; Matheus Fontoura, Salvador BA, roblemas A13, A14, A15, A17 e A18; C16 e C17 ; Mormon Lima dos Santos, Camina Grande PB, roblemas A13, A14, A15, A16, A17 e A18; C13, C14, e C16 Ricardo Takahassi, Maringá PR, roblema A14; Ronei Badaró, Salvador BA, roblemas C13, C14, C15, C16, C17 e C18; e Wesllen Brendo, Maués AM, roblemas A13, A14, A15, A16, A17 e A18, C13. htt://oti.ima.br/ 11 oti@ima.br