Buscando um Invariante

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1 Resolução de Problemas Lista 01 com dicas e discussão Faça mentalmente as seguintes multiplicações: Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT. Dica 1. Para o item a), note que 3 37 = 111. Para o item b), lembre-se que 21 2 = 441. Discussão 1. A ideia desse problema é simplesmente ilustrar que conhecimento prévio relacionado ao que procuramos pode ajudar na resolução de um problema. Creio que é o tipo problema que pode ser usado em qualquer série, especialmente as menores do Fundamental II. Discuta com seus colegas a respeito. Começar do zero um problema pode tornar mais difícil encontrar a solução do problema. Uma avaliação criteriosa de fatos conhecidos ou de problemas semelhantes pode nos ajudar a encontrar a solução mais rapidamente. Buscando um Invariante Em algumas situações, a busca de uma quantidade ou de uma propriedade que não muda quando um processo ocorre, pode levar à solução do problema. Essa quantidade é chamada de invariante. Isso é particularmente verdadeiro quando consideramos problemas quem involvem impossibilidades, como os que vamos descrever abaixo. Aplique a dica (D6) aos problemas 5, 6, 7 e Seis pessoas formando um círculo seguram pequenos quadros em suas mãos, nos quais estão escritos números. A cada rodada, escolhe-se uma das pessoas e adiciona-se uma unidade ao número escrito no quadro dessa pessoa, bem como uma unidade aos números nos quadros de seus vizinhos. (a) Se os números iniciais forem 1,0,1,0,0,0 é possível, após repetir esse procedimento um certo número de vezes, fazer com que todos os quadros tenham os mesmos números? (b) Se os números iniciais forem 6,3,0,0,3,6 mostre que é possível, após repetir esse procedimento um certo número de vezes, fazer com que todos os quadros tenham os mesmos números. (c) Se os números iniciais forem 6,3,0,0,3,6, qual o menor número de jogadas de modo que todos os quadros tenham os mesmos números?

2 Dica 2. Observe o resto na divisão por 3 da soma dos números nos quadros é um invariante. Discussão 2. A noção-chave aqui é o que vem a ser um invariante. É importante frisar que algo não muda quando realizamos uma jogada. Neste caso, para o primeiro item, o invariante em questão é o resto da divisão da soma total por 3. Como a soma da configuração inicial deixa resto 2 quando dividida por 3, temos que é impossível chegar na situação onde todos os números dos quadros são iguais começando com 1,0,1,0,0,0, já que se todos os números são iguais, o resto da soma é zero quando dividida por 3. Para o segundo item, basta fazer uma construção. Em geral, o aluno começa com o processo tentativa-e-erro, até pegar o jeito e inferir que jogadas são interessantes para atingir o objetivo. É importante guiar o aluno neste processo, estimulando a inferência de propriedades gerais. Isso permite, por exemplo, ter ideias sobre o terceiro item. Por exemplo, ele pode perceber que os números só aumentam a cada jogada. Isso permite inferir que o número mínimo de jogadas deve ser maior igual a (36-18)/3=6. Isso se deve ao fato que a primeira configuração que talvez seja possível que igual todos os números é 6,6,6,6,6,6 (soma 36) e que a configuração inicial 6,3,0,0,3,6 tem soma 18. Assim, como a cada jogada acrescentamos 3, o mínimo é maior ou igual a 6. De fato, 6 é o mínimo pois uma sequência que resolve o problema é 6, 3, 0, 0, 3, 6 6, 4, 1, 1, 3, 6 6, 4, 2, 2, 4, 6 6, 5, 3, 3, 4, 6 6, 5, 4, 4, 5, 6 6, 6, 5, 5, 5, 6 6, 6, 6, 6, 6, Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT. 3. Num tabuleiro de xadrez 8 8 é permitido escolher um quadrado 2 2 qualquer e trocar as cores de uma das linhas ou colunas deste quadrado. É possível que se chegue a uma situação na qual todos os quadrados do tabuleiro 8 8 sejam brancos, exceto um? Dica 3. Olhe a paridade da diferença entre o número de quadrados brancos e quadrados pretos. Discussão 3. A paridade da diferença entre o número de quadrados brancos e quadrados pretos não muda a cada operação permitida. Como no início temos 32 quadrados brancos e 32 quadrados pretos, a cada passo teremos sempre um número PAR como resultado da diferença entre os quadrados brancos e os quadrados pretos, mostrando que é impossível atingir a configuração pedida.

3 4. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT. 5. Os números 1, 2, 3,..., 99 são escritos no quadro-negro e é permitido realizar a seguinte operação: apagar dois deles e substituí-los pela diferença do maior com o menor. Fazemos esta operação sucessivamente até restar apenas um último número no quadro. Pode o último número que restou ser o zero? Resolvendo de Trás-para-frente Andar para trás pode ser uma ferramenta importante na solução de um problema. A técnica consiste em supor que chegamos ao objetivo que pretendemos (posição vitoriosa, por exemplo, ou uma configuração especial) e, fazendo movimentos para trás, tentamos chegar na situação inicial. Resolva o seguinte problema usando a dica (D7): 6. João e Maria brincam com um monte de 30 palitos. É permitido a cada um deles retirar no seu turno 1, 2 ou 3 palitos. Ganha quem retirar o último palito. Sabendo que João começa e que os dois aprenderam a jogar com o mestre sabetudo, quem ganha o jogo? E retirando-se 1,2,3 ou 4 palitos, quem ganharia? Dica 4. Para o jogo retirando-se 1,2 ou 3 palitos, tente resolver o problema fazendo uso do mínimo de itens da lista abaixo. (a) Reduza o número de palitos no monte. (b) Tente com 7 e depois passe para 10 palitos. (c) Analise o que acontece quando seu adversário está na posição 4. (d) Analise o que acontece quando seu adversário está na posição 8. (e) Analise o que acontece quando seu adversário está em uma posição múltiplo de 4. Discussão 4. A estratégia vencedora é deixar seu adversário numa posição múltiplo de 4. Verifique isso traçando uma árvore de possíveis caminhos a partir de uma dada posição, onde a posição 0 significa vitória. Isso pode ser feito construindo-se um grafo orientado, isto é, um conjunto de pontos (posições) e setas indicando as jogadas permitidas. O jogo anterior se inclui numa classe chamada de jogos progressivamente finitos. Esta classe é constituida de jogos que necessariamente acabam após um número de jogadas. Outro exemplo deste tipo de jogo é o seguinte:

4 7. Suponha agora que na pilha existam 10 7 palitos e que a cada rodada, João e Maria se alternam, escolhendo um primo p, n 0 é inteiro não-negativo e retirando p n palitos. Ganha quem retirar o último palito. Pergunta-se: se João começa o jogo, quem ganha? Dica 5. Observe que o primeiro número que não é potência de primo é o 6. Ou seja, se João deixa Maria com 6 palitos na jogada dela, João ganha. Discussão 5. O conjunto de posições vitoriosas consiste nos múltiplos de 6. De fato, se João deixa Maria com um múltiplo de 6 palitos na jogada dela, depois de Maria retirar uma potência de primo, João pode retornar a uma posição que é múltiplo de 6 retirando 1,2,3,4 ou 5 palitos. Assim, no final Maria estará na posição 6 e João ganhará o jogo. 8. Agora, João e Maria dispõem de dois montes com 30 palitos cada. Em cada turno, o jogador escolhe somente um dos montes e retira quantos palitos quiser, inclusive o monte inteiro. Ganha quem retirar o último palito. Sabendo que João começa, quem ganha o jogo? Dica 6. Olhe na expressão dos montes quando escritos na base 2. Discussão 6. A estratégia vencedora desse jogo é deixar seu oponente numa situação de modo que quando somamos os dígitos na base dois dos montes relativos a mesma potência, o resultado é par. Ou seja, os dígitos são iguais. Por exemplo, se os montes têm 15 e 21 palitos, primeiro escrevemos eles na base dois: Em seguida, escrevemos a soma 15 = (1111) 2 e 21 = (10101) Chamaremos de posição vencedora, aquela que obtiver como resultado das somas das colunas apenas os dígitos 2 e 0. As demais são as perdedoras. Por exemplo, a posição acima (um monte com 15 e outro com 21) é posição perdedora. Para vencer o jogo, basta o jogador transformar este resultado (11212) numa posição vencedora, retirando palitos. Por exemplo, podemos retirar 6 palitos do monte com 21 para deixá-lo com 15 também. Assim, a soma coluna a coluna dos dígitos será (2222). Para mostrar que a estratégia é a vitoriosa, você deve verificar que A partir de uma posição vencedora, sempre podemos ir para uma posição perdedora.

5 A partir de uma posição perdedora, nunca podemos ir para uma posição vencedora Como o zero é uma posição vencedora, essa é a estratégia vitoriosa do jogo. 9. João e Maria se alternam desenhando diagonais de um 2012-ágono. Perde quem desenhar uma diagonal cruzando alguma outra já desenhada. Qual é a estratégia vitoriosa para esse jogo? Dica 7. Observe que o que acontece quando um jogador traça uma diagonal principal, isto é, aquela que divide o polígono em dois polígonos com a mesma quantidade de vértices. Discussão 7. Como temos uma quantidade par de vértices, é possível traçar alguma diagonal principal. Digamos que João tenha traçado uma diagonal principal, dividindo o 2012-ágono em dois 1006-ágonos, P 1 e P 2. A seguir, observe que as diagonais que não cruzam a diagonal principal corresponde exatamente às diagonais de um dos dois polígonos obtidos. Assim, para cada diagonal de Maria que não cruza a diagonal principal, João poderá traçar uma diagonal correspondente no outro polígono. Ao final, Maria terá que cruzar a diagonal principal traçada. Usando equações do primeiro e segundo graus 10. Nove cópias de certas notas custam menos de R$ 10,00 e dez cópias das mesmas notas (com o mesmo preço) custam mais de R$ 11,00. Quanto custa uma cópia das notas? 11. As páginas de um livro são numeradas de 1 até n. Ao somarmos estes números, por engano um deles é somado duas vezes, obtendo-se o resultado incorreto: Qual é o número da página que foi somado duas vezes? Discussão 8. Primeiramente, relembre que a soma dos n primeiros números é S = n(n + 1)/2. Observe também a soma efetuada incorretamente está entre S + 1 e S + n. Assim, sabemos que S S + n, ou seja, n 2 + n n 2 + 3n Testando os valores de n 2 + n + 2 temos que n = 62, já que 61 é pouco e 63 é demais e a função é crescente. Portanto, o valor desejado é obtido fazendo 2012 S = Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que se some dois números consecutivos duas vezes, ou ainda, o mesmo número três vezes. Mude o valor da soma. Para cada mudança que você fizer, discuta com seus colegas do PROFMAT a série onde um desafio desse poderia ser proposto.

6 13. Determine os valores de a para os quais a função quadrática ax 2 ax + 12 é sempre positiva. 14. Mostre que entre os retângulos com um mesmo perímetro, o de maior área é um quadrado. 15. Mostre que para quaisquer a, b, c reais vale a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc. 16. Usando cada dígito 1,2,3,4,5,6,7,8, 9 somente uma vez, decida se é possível escrever números de modo que sua soma seja 100. Discussão 9. A resposta deste problema é negativa, ou seja, é impossível realizar o que se pede. De fato, primeiramente observe que todos os números construídos têm que ser menores que 100. Portanto, cada número tem no máximo dois dígitos. Digamos que os dígitos que forem usados na casa das unidades dos números construídos formem um conjunto com soma t. Naturalmente, o conjunto dos números que foram usados nos algarismos das dezenas dos números construídos formará um conjunto com soma 45 t, já que = 45. Portanto, teremos que a soma será (45 t)10 + t = 100, e essa equação do primeiro grau não tem soluções inteiras. 17. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. Decida o grau de dificuldade da resolução. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT. 18. João está na beira de um rio com dois baldes de 9 e 4 litros, sem marcações. Ele deseja medir exatamente 6 litros de água para poder levar para Maria fazer uma deliciosa sopa para sua numerosa família. Mostre como João deverá proceder para obter os 6 litros de água. 19. Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que a quantidade a ser separada seja diferente de 6, ou ainda, que os baldes tenham outra capacidade. Por exemplo, discuta o que ocorre quando os baldes tem MDC diferente de 1. Decida o grau de dificuldade da resolução de cada problema que você criar. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT.