UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória Exercícios: 1. Maria inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma folha. Depois, no segunda linha, fez a descrição dos algarismos digitados da seguinte maneira: - Ela apresentou as quantidades de cada um dos que apareceram, em ordem crescente de algarismo. Exemplo: (1 a linha) 272 O número 272 é formado por dois algarismos 2 e um algarismo 7. Então a 2 a linha será formada pelo número: (2 a linha) 2217 (3 a linha) (4 a linha) (5 a linha) (a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então sua descrição, ou seja digitou 21 na terceira linha, e assim continuou. O que ela digitou na 10 a linha da folha? (b) Maria gostou tanto de fazer isso que decidiu preencher várias folhas com essa brincadeira. Sabendo que ela começou a primeira linha com 01. Quais são os dois primeiros algarismos da esquerda do que ela digitou na 2017 a linha? 2. Quantas são os números de 3 algarismos distintos? E de 4 algarismos formados apenas por algarismos pares? 3. De quantas modos 3 pessoas podem se sentar em 6 cadeiras alinhadas? 4. Um construtor dispõe de quatro cores (verde, azul, amarelo e vermelho) para pintar cinco casas distintas lado a lado. Ele deseja que cada casa consecutiva não possuam a mesmo cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura estão indicadas abaixo: Primeira: verde, amarelo, vermelho, verde, azul; Segunda: verde, azul, verde, vermelho, azul. Quantas são as possibilidades? 5. Considere três cidades A, B e C, de forma tal existem três estradas ligando A à B e duas estradas ligando B à C. (a) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B? (b) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e voltando para A novamente, passando por B? (c) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e depois voltar para A sem repetir estradas e novamente passando por B? 1

2 6. Vai ser formada uma fila com 6 pessoas, dentre as quais Pedro e Ana. De quantas maneiras esta fila poderá ser formada se: (a) Ana deve ser a primeira da fila? (b) Ana ou Pedro devem ser o primeiro da fila? (c) Ana e Pedro não podem ficar juntos na fila? 7. Quatro amigos jogam tiro ao alvo. Cada um deles atirou três vezes. No alvo abaixo, pode-se ver os lugares atingidos. A pontuação é 6 para o centro e diminui um ponto para cada nível mais distante do centro. Se os quatro amigos empataram, determine: (a) A pontuação total de cada jogador. (b) A pontuação dos três tiros de cada jogador. 8. Encontre uma maneira de se escrever os algarismos de 1 a 9 em sequência, de forma que os números determinados por quaisquer dois algarismos consecutivos sejam divisíveis por 7 ou por Pedro e Mônica jogam em um tabuleiro 1 x 11. Cada um, em sua vez, pode pintar um dos quadrados (que não foram pintados anteriormente), ou dois quadrados consecutivos (se ambos estiverem brancos). Sabendo que Pedro sempre será o primeiro a jogar, quem pode sempre garantir a vitória? 10. A partir do tabuleiro mostrado nas figuras abaixo e quatro peças, duas circulares cinzas e duas quadradas pretas, João inventou o seguinte jogo: - Inicialmente, as peças são colocadas no tabuleiro como mostra a figura 1. - A meta do jogo é, após um certo número de movimentos, trocar as peças de posição chegando na situação mostrada na figura 2. 2

3 - Cada movimento consiste em mover uma das quatro peças uma ou mais casa acima, abaixo, à esquerda, à direita; todavia, tal peça não pode pular nenhuma peça que, eventualmente, esteja no caminha, ou ocupar uma casa onde já exista uma peça. Por exemplo, a peça marcada com A só pode se mover para alguma das casas destacadas em cinza. - Os movimentos dos círculos e dos quadrados são alternados. O jogo começa com um movimento de um dos quadrados. Determine a menor quantidade total de movimentos necessários para terminar o jogo. Mostre, passo-a-passo, através de desenhos, como movimentar as peças com esta quantidade de movimentos e prove que não é possível terminar o jogo com menos movimentos. 3

4 Resoluções: Observação: PFC = Princípio Fundamental de Contagem. 1. (a) Para resolver a questão, basta escrevermos em ordem as listas obtidas por Maria seguindo as regras do enunciado até obtermos a décima linha: (b) Escrevamos os números das novas linhas iniciais: Veja que todos os números da lista começam em 10. Isto ocorre pois nunca irá aparecer um outro 0 na sequência. Portanto, a resposta do problema é Como o algarismo da centena não pode ser 0, o total de possibilidades é = 648. Como existem 5 algarismos pares e o algarismo da unidade do milhar não pode ser 0, o total de possibilidades é = A primeira pessoa tem 6 possibilidades; a segunda, 5; e a terceira, 4. Assim, pelo PFC, são = 120 possibilidades. 4. Inicialmente a pintura pela primeira casa, que pode ser pintada com qualquer uma das quatro cores, seguindo para sua vizinha, que não poderá ser pintada apenas com a cor utilizada na primeira, e seguindo o mesmo raciocínio até a última casa, temos = (a) Pelo PFC, são 3 2 = 6 (b) Como, para ir são 6 possibilidades, para voltar também são 6. Pelo PFC, 6 6 = 36 possibilidades. (c) Como, para ir são 6 possibilidades, mas apenas uma delas foi escolhida, para não repetir estradas na volta, resta 1 possibilidade de C para B e 2 de B para A. Temos então = 12 possibilidades. 6. (a) Se Ana deve ser a primeira, sobram cinco pessoas para cinco lugares, ou seja, = 120 possibilidades. (b) Como em primeiro deve ficar Ana ou Pedro, temos = 240 possibilidades. (c) O total de possibilidades, sem restrição, é 6! = 720. Mas, deste total, subtrairemos as possibilidades nas quis Ana e Pedro ficam juntos. Assim, temos = 480 possibilidades. 4

5 7. A soma de todos os pontos obtidos foi = 40. Como todos empataram, cada um deve ter feito exatamente 10 pontos (isso responde o item a). Além disso é importante perceber que ninguém errou nenhum dos tiros, já que há exatamente 12 dardos no alvo. Note que um dos jogadores (digamos A) acertou um dos dardos no centro do alvo, fazendo 6 pontos. Para completar os 10 pontos ele deve ter feito mais 4 pontos. Como é impossível fazer apenas 1 ponto, ou dele ter errado, só nos resta a possibilidade dele ter feito 2 pontos nos dois outros tiros. (Continue a solução) 8. Primeiramente vamos listar todos os números de dois algarismos que são múltiplos de 7 ou 13. São eles: Múltiplos de 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 Como não podemos repetir nenhum algarismo, devemos descartar o 77. Por outro lado, nenhum dos números acima (excluindo o 77) termina em 7. Daí, pode-se ter certeza que o primeiro número da lista deve ser 7. Para saber as possíveis listas, usamos um diagrama de árvore: Representamos com um quando não foi possível continuar a lista sem repetir nenhum dígito. Assim, o modo correto de se escrever os algarismo é: Pedro sempre poderá ganhar se seguir a seguinte estratégia: (a) Inicialmente, Pedro deve pintar o quadrado do meio. (b) Agora, depois que Mônica fizer sua jogada, Pedro deve jogar sempre simetricamente em relação ao centro do tabuleiro (i.é. sempre deixando o tabuleiro simétrico). Por exemplo, se Mônica jogar nas casas 9 e 10, Pedro deve jogar nas casas 2 e 3. (c) Assim, Mônica nunca poderá ganhar, pois na sua jogada ela quebra a simetria e a configuração final do jogo todas as casas pintadas, ou seja, a configuração é simétrica. 5

6 10. Veja que não existem duas peças diferentes (um quadrado e um círculo) que estão na mesma linha ou coluna do tabuleiro. Isso significa que cada peça deve utilizar ao menos dois movimento para ir de sua posição original para a final. Portanto, devemos utilizar pelo menos oito movimentos. O exemplo a seguir nos garante que bastam oito movimentos: 6

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