UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Nível 1 - POTI Aula 1 - Combinatória Exercícios: 1. Maria inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma folha. Depois, no segunda linha, fez a descrição dos algarismos digitados da seguinte maneira: - Ela apresentou as quantidades de cada um dos que apareceram, em ordem crescente de algarismo. Exemplo: (1 a linha) 272 O número 272 é formado por dois algarismos 2 e um algarismo 7. Então a 2 a linha será formada pelo número: (2 a linha) 2217 (3 a linha) (4 a linha) (5 a linha) (a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então sua descrição, ou seja digitou 21 na terceira linha, e assim continuou. O que ela digitou na 10 a linha da folha? (b) Maria gostou tanto de fazer isso que decidiu preencher várias folhas com essa brincadeira. Sabendo que ela começou a primeira linha com 01. Quais são os dois primeiros algarismos da esquerda do que ela digitou na 2017 a linha? 2. Quantas são os números de 3 algarismos distintos? E de 4 algarismos formados apenas por algarismos pares? 3. De quantas modos 3 pessoas podem se sentar em 6 cadeiras alinhadas? 4. Um construtor dispõe de quatro cores (verde, azul, amarelo e vermelho) para pintar cinco casas distintas lado a lado. Ele deseja que cada casa consecutiva não possuam a mesmo cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura estão indicadas abaixo: Primeira: verde, amarelo, vermelho, verde, azul; Segunda: verde, azul, verde, vermelho, azul. Quantas são as possibilidades? 5. Considere três cidades A, B e C, de forma tal existem três estradas ligando A à B e duas estradas ligando B à C. (a) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B? (b) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e voltando para A novamente, passando por B? (c) De quantas formas diferentes podemos ir de A até C, passando por B, e depois voltar para A sem repetir estradas e novamente passando por B? 1

2 6. Vai ser formada uma fila com 6 pessoas, dentre as quais Pedro e Ana. De quantas maneiras esta fila poderá ser formada se: (a) Ana deve ser a primeira da fila? (b) Ana ou Pedro devem ser o primeiro da fila? (c) Ana e Pedro não podem ficar juntos na fila? 7. Quatro amigos jogam tiro ao alvo. Cada um deles atirou três vezes. No alvo abaixo, pode-se ver os lugares atingidos. A pontuação é 6 para o centro e diminui um ponto para cada nível mais distante do centro. Se os quatro amigos empataram, determine: (a) A pontuação total de cada jogador. (b) A pontuação dos três tiros de cada jogador. 8. Encontre uma maneira de se escrever os algarismos de 1 a 9 em sequência, de forma que os números determinados por quaisquer dois algarismos consecutivos sejam divisíveis por 7 ou por Pedro e Mônica jogam em um tabuleiro 1 x 11. Cada um, em sua vez, pode pintar um dos quadrados (que não foram pintados anteriormente), ou dois quadrados consecutivos (se ambos estiverem brancos). Sabendo que Pedro sempre será o primeiro a jogar, quem pode sempre garantir a vitória? 10. A partir do tabuleiro mostrado nas figuras abaixo e quatro peças, duas circulares cinzas e duas quadradas pretas, João inventou o seguinte jogo: - Inicialmente, as peças são colocadas no tabuleiro como mostra a figura 1. - A meta do jogo é, após um certo número de movimentos, trocar as peças de posição chegando na situação mostrada na figura 2. 2

3 - Cada movimento consiste em mover uma das quatro peças uma ou mais casa acima, abaixo, à esquerda, à direita; todavia, tal peça não pode pular nenhuma peça que, eventualmente, esteja no caminha, ou ocupar uma casa onde já exista uma peça. Por exemplo, a peça marcada com A só pode se mover para alguma das casas destacadas em cinza. - Os movimentos dos círculos e dos quadrados são alternados. O jogo começa com um movimento de um dos quadrados. Determine a menor quantidade total de movimentos necessários para terminar o jogo. Mostre, passo-a-passo, através de desenhos, como movimentar as peças com esta quantidade de movimentos e prove que não é possível terminar o jogo com menos movimentos. 3

4 Resoluções: Observação: PFC = Princípio Fundamental de Contagem. 1. (a) Para resolver a questão, basta escrevermos em ordem as listas obtidas por Maria seguindo as regras do enunciado até obtermos a décima linha: (b) Escrevamos os números das novas linhas iniciais: Veja que todos os números da lista começam em 10. Isto ocorre pois nunca irá aparecer um outro 0 na sequência. Portanto, a resposta do problema é Como o algarismo da centena não pode ser 0, o total de possibilidades é = 648. Como existem 5 algarismos pares e o algarismo da unidade do milhar não pode ser 0, o total de possibilidades é = A primeira pessoa tem 6 possibilidades; a segunda, 5; e a terceira, 4. Assim, pelo PFC, são = 120 possibilidades. 4. Inicialmente a pintura pela primeira casa, que pode ser pintada com qualquer uma das quatro cores, seguindo para sua vizinha, que não poderá ser pintada apenas com a cor utilizada na primeira, e seguindo o mesmo raciocínio até a última casa, temos = (a) Pelo PFC, são 3 2 = 6 (b) Como, para ir são 6 possibilidades, para voltar também são 6. Pelo PFC, 6 6 = 36 possibilidades. (c) Como, para ir são 6 possibilidades, mas apenas uma delas foi escolhida, para não repetir estradas na volta, resta 1 possibilidade de C para B e 2 de B para A. Temos então = 12 possibilidades. 6. (a) Se Ana deve ser a primeira, sobram cinco pessoas para cinco lugares, ou seja, = 120 possibilidades. (b) Como em primeiro deve ficar Ana ou Pedro, temos = 240 possibilidades. (c) O total de possibilidades, sem restrição, é 6! = 720. Mas, deste total, subtrairemos as possibilidades nas quis Ana e Pedro ficam juntos. Assim, temos = 480 possibilidades. 4

5 7. A soma de todos os pontos obtidos foi = 40. Como todos empataram, cada um deve ter feito exatamente 10 pontos (isso responde o item a). Além disso é importante perceber que ninguém errou nenhum dos tiros, já que há exatamente 12 dardos no alvo. Note que um dos jogadores (digamos A) acertou um dos dardos no centro do alvo, fazendo 6 pontos. Para completar os 10 pontos ele deve ter feito mais 4 pontos. Como é impossível fazer apenas 1 ponto, ou dele ter errado, só nos resta a possibilidade dele ter feito 2 pontos nos dois outros tiros. (Continue a solução) 8. Primeiramente vamos listar todos os números de dois algarismos que são múltiplos de 7 ou 13. São eles: Múltiplos de 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 Como não podemos repetir nenhum algarismo, devemos descartar o 77. Por outro lado, nenhum dos números acima (excluindo o 77) termina em 7. Daí, pode-se ter certeza que o primeiro número da lista deve ser 7. Para saber as possíveis listas, usamos um diagrama de árvore: Representamos com um quando não foi possível continuar a lista sem repetir nenhum dígito. Assim, o modo correto de se escrever os algarismo é: Pedro sempre poderá ganhar se seguir a seguinte estratégia: (a) Inicialmente, Pedro deve pintar o quadrado do meio. (b) Agora, depois que Mônica fizer sua jogada, Pedro deve jogar sempre simetricamente em relação ao centro do tabuleiro (i.é. sempre deixando o tabuleiro simétrico). Por exemplo, se Mônica jogar nas casas 9 e 10, Pedro deve jogar nas casas 2 e 3. (c) Assim, Mônica nunca poderá ganhar, pois na sua jogada ela quebra a simetria e a configuração final do jogo todas as casas pintadas, ou seja, a configuração é simétrica. 5

6 10. Veja que não existem duas peças diferentes (um quadrado e um círculo) que estão na mesma linha ou coluna do tabuleiro. Isso significa que cada peça deve utilizar ao menos dois movimento para ir de sua posição original para a final. Portanto, devemos utilizar pelo menos oito movimentos. O exemplo a seguir nos garante que bastam oito movimentos: 6

Jogos e Brincadeiras I. 1. Brincadeiras

Jogos e Brincadeiras I. 1. Brincadeiras Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. Bruno Holanda Aula 1 Jogos e Brincadeiras I 1. Brincadeiras Nesta primeira parte da aula resolveremos duas questões retiradas da Olimpíada

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Combinatória - Nível 2. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Combinatória - Nível 2. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 1 Lógica Nos últimos anos, a participação brasileira em competições internacionais de matemática vem melhorado significamente.

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Combinatória - Nível 2. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Combinatória - Nível 2. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 1 Lógica Nos últimos anos, a participação brasileira em competições internacionais de matemática vem melhorado significamente.

Leia mais

Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Princípio fundamental da contagem. Segundo ano

Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Princípio fundamental da contagem. Segundo ano Módulo de Princípios Básicos de Contagem Princípio fundamental da contagem Segundo ano Princípio Fundamental de Contagem 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Considere três cidades A, B e C, de forma

Leia mais

Jogos e Brincadeiras II

Jogos e Brincadeiras II Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. runo Holanda ula 2 Jogos e rincadeiras II Neste artigo continuaremos o assunto iniciado no material anterior. O primeiro exercício,

Leia mais

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 a. e 6 a. Séries)

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 a. e 6 a. Séries) TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 a. e 6 a. Séries) PROBLEMA 1 Considere as seguintes seqüências: S 1 : 12345678, 81234567, 78123456,..., na qual o último algarismo do termo anterior (algarismo das unidades) torna-se

Leia mais

JOGOS Bruno Holanda, Fortaleza CE

JOGOS Bruno Holanda, Fortaleza CE JOGOS Bruno Holanda, Fortaleza CE Nível Iniciante Problemas sobre jogos estão entre os mais atrativos para a maioria dos alunos que estão iniciando o seu gosto pela matemática e, por isso, vêm ganhando

Leia mais

Análise Combinatória AULA 1. Métodos Simples de Contagem

Análise Combinatória AULA 1. Métodos Simples de Contagem Análise Combinatória AULA 1 Métodos Simples de Contagem Tales Augusto de Almeida 1. Introdução A primeira ideia que surge no imaginário de qualquer estudante quando ele ouve a palavra contagem seria exatamente

Leia mais

OBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 2. Questão 1

OBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 2. Questão 1 Questão a) Para saber o número que deve dizer ao matemágico, Joãozinho deve fazer quatro contas: ª conta: multiplicar o número no cartão escolhido por 2; 2ª conta: somar 3 ao resultado da primeira conta;

Leia mais

Canguru Brasil 2014 Nível E - Soluções

Canguru Brasil 2014 Nível E - Soluções Canguru Brasil 2014 Nível E - Soluções 3 pontos 1. Qual dos desenhos abaixo é a parte central da figura ao lado? 1. Alternativa D A estrela tem 9 pontas. A parte central deve mostrar isso. 2. Gina quer

Leia mais

Raciocínio Lógico I. Solução. Primeiramente vamos listar todos os números de dois algarismos que são múltiplos de 7 ou 13.

Raciocínio Lógico I. Solução. Primeiramente vamos listar todos os números de dois algarismos que são múltiplos de 7 ou 13. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. Bruno Holanda Aula 3 Raciocínio Lógico I O estudo da Lógica é essencial para os alunos que desejam participar de olimpíadas de matemática.

Leia mais

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em

Leia mais

Considere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente.

Considere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente. 36. [C] Considere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente. A resposta é 12. 37. [C] Como cada tarefa pode ser distribuída de três modos distintos, podemos concluir, pelo Princípio

Leia mais

SOLUÇÕES OBMEP 2ª. FASE 2016

SOLUÇÕES OBMEP 2ª. FASE 2016 SOLUÇÕES OBMEP 2ª. FASE 2016 N1Q1 Solução Carolina escreveu os números 132 e 231. Esses são os únicos números que cumprem as exigências do enunciado e que possuem o algarismo 3 na posição central. Para

Leia mais

Solução da prova da 2.ª Fase

Solução da prova da 2.ª Fase Nível 1 6.º e 7.º anos do Ensino Fundamental 2. a Fase 15 de setembro de 2018 QUESTÃO 1 a) A máquina deve ser usada duas vezes. Inicialmente temos 3 maçãs; colocamos duas dessas maçãs na máquina, elas

Leia mais

Problemas dos Círculos Matemáticos. Problemas extras para o Capítulo 4

Problemas dos Círculos Matemáticos. Problemas extras para o Capítulo 4 Problemas dos Círculos Matemáticos Problemas extras para o Capítulo 4 Problemas dos Círculos Matemáticos - Capítulo 4 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Quantos triângulos existem na figura abaixo?

Leia mais

CONTEÚDOS DO PRIMEIRO PERÍODO EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DO PRIMEIRO PERÍODO

CONTEÚDOS DO PRIMEIRO PERÍODO EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DO PRIMEIRO PERÍODO Aluno(: Nº Comp. Curricular: Estatística Data: 16/04/2012 1º Período Ensino Médio Comércio Exterior Turma: 5 3MC1/ 2 Professor: José Manuel Análise Combinatória: CONTEÚDOS DO PRIMEIRO PERÍODO 1) Fatorial

Leia mais

Planejamento Acadêmico - Grupo 1 - PIC 2012 Encontro 2 - Módulo 1 - Aritmética

Planejamento Acadêmico - Grupo 1 - PIC 2012 Encontro 2 - Módulo 1 - Aritmética Planejamento Acadêmico - Grupo 1 - PIC 2012 Encontro 2 - Módulo 1 - Aritmética 1. Divisão Euclidiana Exemplo 1: (Banco de Questões 2012, nível 1, problema 12) A figura abaixo representa o traçado de uma

Leia mais

+ 1, segue que o 103º termo dessa sequência é

+ 1, segue que o 103º termo dessa sequência é 1 N1Q1 a) A sequência é 415 537 810 91 10 1 b) Os seis primeiros termos são 995 1814 995 1814 995 1814 c) Os primeiros termos da sequência são 33333 6666 111 33333 6666 e vemos que os termos se repetem

Leia mais

Semáforo Autor: Alan Parr. Avanço Autor: Dan Troyka, Material Um tabuleiro quadrado 7 por peças brancas e 14 peças negras.

Semáforo Autor: Alan Parr. Avanço Autor: Dan Troyka, Material Um tabuleiro quadrado 7 por peças brancas e 14 peças negras. Avanço Autor: Dan Troyka, 2000 Material Um tabuleiro quadrado 7 por 7. 14 peças brancas e 14 peças negras. Objectivo posição inicial Um jogador ganha se chegar com uma das suas peças à primeira linha do

Leia mais

COLEÇÃO DARLAN MOUTINHO VOL. 01 RESOLUÇÕES

COLEÇÃO DARLAN MOUTINHO VOL. 01 RESOLUÇÕES COLEÇÃO DRLN MOUTINHO VOL. 01 RESOLUÇÕES Me ta PFC PÁGIN 22 01 LETR B 02 Do enunciado, temos: Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro. O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após

Leia mais

XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução da prova 1 a fase Nível de agosto de 2017

XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução da prova 1 a fase Nível de agosto de 2017 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução da prova 1 a fase

Leia mais

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?

Leia mais

Prova da segunda fase - Nível 3

Prova da segunda fase - Nível 3 Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na nona edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões

Leia mais

Exemplos e Contra-Exemplos

Exemplos e Contra-Exemplos Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. Bruno Holanda Aula 7 Exemplos e Contra-Exemplos Você que já tentou resolver alguns problemas de provas anteriores de Olimpíada de Matemática

Leia mais

ESCOLA EMEF PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI - PIBID 08/10/2014, 29/10/2014 e 05/11/2014

ESCOLA EMEF PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI - PIBID 08/10/2014, 29/10/2014 e 05/11/2014 ESCOLA EMEF PROFª MARIA MARGARIDA ZAMBON BENINI - PIBID 08/10/2014, 29/10/2014 e 05/11/2014 Bolsistas: Mévelin Maus, Milena Poloni Pergher e Odair José Sebulsqui. Supervisora: Marlete Basso Roman Disciplina:

Leia mais

_32109, _42109, _52109 e (o traço indica onde deve ser colocado o algarismo das centenas de milhar)

_32109, _42109, _52109 e (o traço indica onde deve ser colocado o algarismo das centenas de milhar) Questão 1 Como o algarismo das unidades é 1, para que o número seja aditivado, a soma dos algarismos das casas das dezenas, centenas e unidades de milhar deve ser igual a 1. Existe só um número com quatro

Leia mais

Resposta da questão 2: [B] O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 3.

Resposta da questão 2: [B] O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 3. Resposta da questão 1: [A],5h = 9.000 s Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que o número n de senhas será dado por: d1 n= 10 5 ou n= 9000 1,8 = 5000 Portanto, d1 10 5 = 5000 d

Leia mais

Exercícios sobre Métodos de Contagem

Exercícios sobre Métodos de Contagem Exercícios sobre Métodos de Contagem 1) Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-líder para um debate. (a) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas

Leia mais

Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N2 2º Ciclo

Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N2 2º Ciclo Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N2 2º Ciclo - Assuntos a serem abordados: Encontro 1: Princípios aditivo e multiplicativo: identificar, modelar e resolver situaçõesproblema. Resolução de exercícios

Leia mais

Polo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019

Polo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019 Polo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019 Marcel Thadeu de Abreu e Souza Vitor Emanuel Gulisz Análise Combinatória: Introdução Vamos buscar contar

Leia mais

Gatos & Cães Simon Norton, 1970s

Gatos & Cães Simon Norton, 1970s Gatos & Cães Simon Norton, 1970s Um tabuleiro quadrado 8 por 8. 28 peças gato e 28 peças cão (representadas respectivamente por peças negras e brancas). Ganha o jogador que realizar a última jogada. zona

Leia mais

Combinatória: Dicas para escrever uma boa solução. Prof. Bruno Holanda Semana Olímpica 2010 São José do Rio Preto

Combinatória: Dicas para escrever uma boa solução. Prof. Bruno Holanda Semana Olímpica 2010 São José do Rio Preto Combinatória: icas para escrever uma boa solução. Prof. Bruno Holanda Semana Olímpica 00 São José do Rio Preto? Nível Uma dificuldade que é bastante frequente nos alunos do nível (ou em outros quaisquer

Leia mais

Soluções Simulado OBMEP 2017 Nível 1 6º e 7º anos do Ensino Fundamental. = 7 cm. Logo, ela parou na marca de = 13 cm.

Soluções Simulado OBMEP 2017 Nível 1 6º e 7º anos do Ensino Fundamental. = 7 cm. Logo, ela parou na marca de = 13 cm. Soluções Simulado OBMEP 2017 Nível 1 6º e 7º anos do Ensino Fundamental 1. ALTERNATIVA C Alvimar recebeu de troco 5,00 3,50 = 1,50 reais. Dividindo 1,50 por 0,25, obtemos o número de moedas de 25 centavos

Leia mais

Distribuição de Jogos por Ciclo

Distribuição de Jogos por Ciclo REGRAS DOS JOGOS Distribuição de Jogos por Ciclo 1º CEB 2º CEB 3º CEB Sec. Semáforo x Gatos & Cães x x Rastros x x x Produto x x x Avanço x x Flume x 2 Semáforo Autor: Alan Parr 8 peças verdes, 8 amarelas

Leia mais

Semáforo. Um tabuleiro retangular 4 por 3. 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores.

Semáforo. Um tabuleiro retangular 4 por 3. 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores. Semáforo Autor: Alan Parr Um tabuleiro retangular por. 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores. Ser o primeiro a conseguir uma linha de três peças da mesma cor na horizontal,

Leia mais

Encontro 11: Resolução de exercícios da OBMEP

Encontro 11: Resolução de exercícios da OBMEP Encontro 11: Resolução de exercícios da OBMEP Exercício 1: Cada livro da biblioteca municipal de Quixajuba recebe um código formado por três das 26 letras do alfabeto. Eles são colocados em estantes em

Leia mais

Manual básico de Go. MANUAL BÁSICO DE GO. Distribuição Gratuita.

Manual básico de Go. MANUAL BÁSICO DE GO. Distribuição Gratuita. MANUAL BÁSICO DE GO Distribuição Gratuita. Regras do GO: 1 As peças pretas começam a não ser que seja um jogo com handicap. 2 Os jogadores alternam suas jogadas, jogando-se uma peça por vez. 3 As peças

Leia mais

Gatos & Cães Simon Norton, 1970s

Gatos & Cães Simon Norton, 1970s Gatos & Cães Simon Norton, 970s Um tabuleiro quadrado 8 por 8. 8 peças gato e 8 peças cão (representadas respectivamente por peças negras e brancas). Ganha o jogador que realizar a última jogada. zona

Leia mais

livro das regras (provisório)

livro das regras (provisório) livro das regras (provisório) Avanço Autor: Dan Troyka, 2000 Um tabuleiro quadrado 7 por 7; 14 peças brancas e 14 peças negras. Um jogador ganha se chegar com uma das suas peças à primeira linha do adversário,

Leia mais

REGRAS DOS JOGOS do CNJM15

REGRAS DOS JOGOS do CNJM15 REGRAS DOS JOGOS do CNJM15 Semáforo Autor: Alan Parr 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores. Ser o primeiro a conseguir uma linha de três peças da mesma cor na horizontal,

Leia mais

JOGOS LIVRO REGRAS M AT E M Á T I CO S. 11.º Campeonato Nacional

JOGOS LIVRO REGRAS M AT E M Á T I CO S. 11.º Campeonato Nacional Vila Real JOGOS M AT E M Á T I CO S.º Campeonato Nacional LIVRO DE REGRAS Semáforo Autor: Alan Parr Material Um tabuleiro retangular por. 8 peças verdes, 8 amarelas e 8 vermelhas partilhadas pelos jogadores.

Leia mais

CONTAGEM. (a) uma semana (b) um mês (c) dois meses (d) quatro meses (e) seis meses

CONTAGEM. (a) uma semana (b) um mês (c) dois meses (d) quatro meses (e) seis meses CONTAGEM Exercício 1(OBMEP 2011) Podemos montar paisagens colocando lado a lado, em qualquer ordem, os cinco quadros da figura. Trocando a ordem dos quadros uma vez por dia, por quanto tempo, aproximadamente,

Leia mais

O JOGO DE XADREZ. Vamos conhecer as peças que compõe o jogo: O Tabuleiro

O JOGO DE XADREZ. Vamos conhecer as peças que compõe o jogo: O Tabuleiro O JOGO DE XADREZ O xadrez é um esporte intelectual, disputado entre duas pessoas que possuem forças iguais (peças) sobre um tabuleiro. Este jogo representa uma batalha em miniatura, onde cada lado comanda

Leia mais

B) R$ 6, 50 C) R$ 7, 00 D) R$ 7, 50 E) R$ 8, 00

B) R$ 6, 50 C) R$ 7, 00 D) R$ 7, 50 E) R$ 8, 00 1 Matemática Q1. (OBMEP) Joãozinho escreveu os números 1, 2 e 3 como resultados de operações envolvendo exatamente quatro algarismos 4, como nos exemplos a seguir: 1 = (4 + 4) (4 + 4) 2 = 4 4 + 4 4 3 =

Leia mais

Tabuleiros. Problema 1. Determine se é possível cobrir ou não o tabuleiro abaixo (sem sobreposições) usando apenas dominós?

Tabuleiros. Problema 1. Determine se é possível cobrir ou não o tabuleiro abaixo (sem sobreposições) usando apenas dominós? Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível Prof. Bruno Holanda Aula 9 Tabuleiros Quem nunca brincou de quebra-cabeça? Temos várias pecinhas e temos que encontrar uma maneira de unir todas

Leia mais

XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Cada questão vale pontos se, e somente se, para cada uma o resultado escrito

Leia mais

XXVIII OLIMPÍADA DE MATEMATICA DO RIO GRANDE DO NORTE PRIMEIRA FASE SOLUÇÃO DA PROVA DO NÍVEL I

XXVIII OLIMPÍADA DE MATEMATICA DO RIO GRANDE DO NORTE PRIMEIRA FASE SOLUÇÃO DA PROVA DO NÍVEL I XXVIII OLIMPÍADA DE MATEMATICA DO RIO GRANDE DO NORTE 2017- PRIMEIRA FASE SOLUÇÃO DA PROVA DO NÍVEL I PARA CADA QUESTÃO, ASSINALE UMA ALTERNATIVA COMO A RESPOSTA CORRETA NOME DO(A) ESTUDANTE: ESCOLA: 1

Leia mais

Canguru Matemático sem Fronteiras 2011

Canguru Matemático sem Fronteiras 2011 http://www.mat.uc.pt/canguru/ Destinatários: alunos dos 9. ano de escolaridade Nome: Turma: Duração: 1h30min Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. As questões estão

Leia mais

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ESTUDO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA A resolução de problemas é a parte principal da Análise Combinatória, que estuda a maneira de formar agrupamentos com um determinado número de elementos dados, e de determinar

Leia mais

OBMEP ª fase Soluções - Nível 1

OBMEP ª fase Soluções - Nível 1 OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível 1 Nível 1 questão 1 a) Há apenas três maneiras de escrever 1 como soma de três números naturais: 1 = 1+ 0 + 0, 1 = 0 + 1+ 0 e 1 = 0 + 0 + 1, que nos dão as possibilidades

Leia mais

OBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 1. Questão 1

OBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 1. Questão 1 1 Questão 1 a) O número-parada de 93 é 4, pois 93 9 3 = 27 2 7 = 14 1 4 = 4. b) Escrevendo 3 2 = 6 vemos que 32 3 2 = 6. Como 32 = 4 2 2 2, temos 4222 4 2 2 2 = 32 3 2 = 6 e assim o número-parada de 4222

Leia mais

RESPOSTA Princípio Fundamental da contagem

RESPOSTA Princípio Fundamental da contagem RESPOSTA Princípio Fundamental da contagem Monitores: Juliana e Alexandre Exercício 1 Para resolver esse exercício, devemos levar em consideração os algarismos {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9}. Para que esse

Leia mais

Este é um jogo para 1 a 4 pessoas com um tempo de jogo aproximado de 15 minutos por jogador.

Este é um jogo para 1 a 4 pessoas com um tempo de jogo aproximado de 15 minutos por jogador. LIVRO DE REGRAS Nã o q u er l Veja er as regr o a www video em s? 1 - Introdução.meb o.pt Em Portugal, durante o Verão, existem muitas festas populares, onde as pessoas se encontram na rua para festejar.

Leia mais

Canguru sem fronteiras 2006

Canguru sem fronteiras 2006 Duração:1h15 Destinatários: alunos do 1º ano de Escolaridade Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. Inicialmente tens 0 pontos. Por cada questão errada, és penalizado

Leia mais

XXXVII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase 9 de agosto de 2014 Nível (6º e 7º anos do Ensino Fundamental)

XXXVII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase 9 de agosto de 2014 Nível (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) XXXVII OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase 9 de agosto de 2014 Nível (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) Resoluções www.opm.mat.br PROBLEMA 1 a) O total de segundos destinados à visualização

Leia mais

Operações com Números Naturais. 6 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Operações com Números Naturais. 6 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Resolução de Exercícios Operações com Números Naturais 6 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Resolução de Exercícios Operações com Números Naturais 1 Exercícios Introdutórios Exercício

Leia mais

Buscando um Invariante

Buscando um Invariante Resolução de Problemas Lista 01 com dicas e discussão Faça mentalmente as seguintes multiplicações: 1. 27 37 2. 21 23 Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. Decida o

Leia mais

XADREZ REGRAS BÁSICAS INTRODUÇÃO O xadrez, diferentemente de muitos jogos, não depende de sorte. O desenvolver do jogo não depende do resultado de

XADREZ REGRAS BÁSICAS INTRODUÇÃO O xadrez, diferentemente de muitos jogos, não depende de sorte. O desenvolver do jogo não depende do resultado de XADREZ REGRAS BÁSICAS INTRODUÇÃO O xadrez, diferentemente de muitos jogos, não depende de sorte. O desenvolver do jogo não depende do resultado de dados ou das cartas que são tiradas do baralho. O resultado

Leia mais

COLETÂNEA DE PROBLEMAS PARA TREINAMENTO (*) NÍVEL III (ENSINO MÉDIO)

COLETÂNEA DE PROBLEMAS PARA TREINAMENTO (*) NÍVEL III (ENSINO MÉDIO) COLETÂNEA DE PROBLEMAS PARA TREINAMENTO (*) NÍVEL III (ENSINO MÉDIO) PROBLEMA 1 Uma calculadora tem o número 1 na tela. Devemos efetuar 2001 operações, cada uma das quais consistindo em pressionar a tecla

Leia mais

Grafos I. Figura 1: Mapa de Königsberg

Grafos I. Figura 1: Mapa de Königsberg Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível Prof. Bruno Holanda Aula 0 Grafos I O que é um grafo? Se você nunca ouviu falar nisso antes, esta é certamente uma pergunta que você deve

Leia mais

XXI Olimpíada de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte. Prova do Nível I Em 25/09/2010

XXI Olimpíada de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte. Prova do Nível I Em 25/09/2010 XXI Olimpíada de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte Prova do Nível I Em 25/09/2010 Problema 1 Um professor de Matemática definiu a seguinte operação entre dois números naturais: Ele exemplificou

Leia mais

SOLUÇÕES NÍVEL 2 2ª. FASE 2017

SOLUÇÕES NÍVEL 2 2ª. FASE 2017 SOLUÇÕES NÍVEL ª. FASE 017 NQ1 Solução Há 10 botões pretos na figura do. Quando apertarmos o botão indicado, os dois botões vizinhos que são inicialmente pretos passarão a ser amarelos. Com isso, teremos

Leia mais

Múltiplos, Divisores e Primos - Aula 02

Múltiplos, Divisores e Primos - Aula 02 Múltiplos, Divisores e Primos - Aula 02 Nessa lista vamos explorar conceitos básicos de divisão Euclidiana, múltiplos, divisores e primos. Quando dividimos o número 7 pelo número 3, obtemos um quociente

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE

MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROBABILIDADE PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido,

Leia mais

Olimpíada Brasileira de Robótica /8

Olimpíada Brasileira de Robótica /8 1/8 1. O nome do robô abaixo é MAX-362. Ele adora se olhar no espelho e sempre se espanta com a imagem que vê! Isso porque seu nome aparece no espelho de um jeito diferente. (Fonte: Modificado de https://openclipart.org/detail/191072/blue-robot

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 3. Curso de Combinatória - Nível 2. Paridade. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 3. Curso de Combinatória - Nível 2. Paridade. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 3 Paridade Todo número é par ou ímpar. Óbvio, não? Pois é com essa simples afirmação que vamos resolver os problemas

Leia mais

OBMEP - Novas Soluções para os Bancos de Questões

OBMEP - Novas Soluções para os Bancos de Questões OBMEP - Novas Soluções para os Bancos de Questões 4 CONTEÚDO Banco 011 7 Banco 01 9 Banco 014 11 Banco 015 13 Banco 017 15 BANCO 011 1 Produto 000 (Problema 68 do Banco) Quantos números naturais de cinco

Leia mais

Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Soluções de Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. 2 a série E.M.

Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Soluções de Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. 2 a série E.M. Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Soluções de Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória 2 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Soluções

Leia mais

Invariantes com Restos

Invariantes com Restos Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 12 Invariantes com Restos Problema 1. (Leningrado 1987) As moedas dos países Dillia e Dallia são o diller e o daller,

Leia mais

ANÁLISE COMBINATÓRIA

ANÁLISE COMBINATÓRIA ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) (PUC) A soma das raízes da equação (x + 1)! = x 2 + x é (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 2) (UFRGS) Um painel é formado por dois conjuntos de sete lâmpadas cada um, dispostos como

Leia mais

SOLUÇÕES NÍVEL 1 2ª. FASE 2017

SOLUÇÕES NÍVEL 1 2ª. FASE 2017 SOLUÇÕES NÍVEL 1 2ª. FASE 2017 N1Q1 Solução item a) Como a casa pintada está na linha 3, Ana sorteou o número 3 e, como ela também está na coluna 4, concluímos que Pedro sorteou o número 1, pois 4 3 =

Leia mais

OBMEP ª FASE - Soluções Nível 1

OBMEP ª FASE - Soluções Nível 1 QUESTÃO 1 a) A figura é composta de 1 triângulos iguais. Como 3 4 de 1 é 3 1 9 4 =, devemos marcar 9 triângulos quaisquer, como ao lado (por exemplo). b) A figura é composta de 4 triângulos iguais. Como

Leia mais

Neste jogo, cada jogador assume o papel de um turista que visita Portugal, procurando sempre as melhores fotos de cada região.

Neste jogo, cada jogador assume o papel de um turista que visita Portugal, procurando sempre as melhores fotos de cada região. Livro de regras Introdução PORTUGAL está na moda. Repleto de monumentos únicos e paisagens deslumbrantes, o país merece a tua visita. Viaja de Norte a Sul pelas diferentes regiões e guarda as recordações

Leia mais

PROJETO CLUBE DE MATEMÁTICA

PROJETO CLUBE DE MATEMÁTICA CLUBE DE MATEMÁTICA "O jogo é um tipo de atividade que alia raciocínio, estratégia e reflexão com desafio e competição de uma forma lúdica muito rica." EB1/PE da Vargem Ano letivo 2016/2017 Índice PROJETO

Leia mais

XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries - Ensino Fundamental)

XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries - Ensino Fundamental) TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries - Ensino Fundamental) PROBLEMA 1 Encontre todos os números naturais n de três algarismos que possuem todas as propriedades abaixo: n é ímpar; n é um quadrado perfeito;

Leia mais

GABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO:

GABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO: GABARITO - ANO 018 OBSERVAÇÃO: Embora as soluções neste gabarito se apresentem sob a forma de um texto explicativo, gostaríamos de salientar que para efeito de contagem dos pontos adquiridos, na avaliação

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Combinatória - Nível 2. Jogos. 1. Simetria. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Combinatória - Nível 2. Jogos. 1. Simetria. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 6 Jogos Quando falamos em jogos, pensamos em vários conhecidos como: xadrez, as damas e os jogos com baralho. Porém,

Leia mais

Centro Universitário UNIVATES Pró-Reitoria de Pesquisa, Extensão e Pós-Graduação PROPEX Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Apoio: CNPq

Centro Universitário UNIVATES Pró-Reitoria de Pesquisa, Extensão e Pós-Graduação PROPEX Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Apoio: CNPq Centro Universitário UNIVATES Pró-Reitoria de Pesquisa, Extensão e Pós-Graduação PROPEX Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Apoio: CNPq 4ª série/ 5º ano IDENTIFICAÇÃO: Nome(s) do(a)(s) aluno(a)(s):

Leia mais

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Nível

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Nível Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Nível 1 6.º e 7.º anos do Ensino Fundamental 2.ª FASE 10 de setembro de 2016 Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., n o ) Complemento (casa,

Leia mais

Nível SIMULADO. 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental. Visite nossas páginas na Internet:

Nível SIMULADO. 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental. Visite nossas páginas na Internet: Nível SIMULDO 2 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, v., n o ) Complemento (casa, apartamento, bloco) Bairro Cidade UF CEP Endereço

Leia mais

1 a Olimpíada Paranaense de Matemática Terceira Fase Nível 1 12/11/16 Duração: 5 Horas

1 a Olimpíada Paranaense de Matemática Terceira Fase Nível 1 12/11/16 Duração: 5 Horas 1. Sofia colou, em cada face de um cubo com 5cm de lado, um cubo de lado 3cm. Em cada face livre dos cubos de lado 3cm colou um cubo com 1cm de lado. Depois pintou o sólido resultante como se indica na

Leia mais

Nível 8.º e 9.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017

Nível 8.º e 9.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017 Solução da prova da 1.ª Fase Nível 8.º e 9.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017 2 QUESTÃO 1 Para obter o maior resultado possível, devemos fazer com que os termos que contribuem positivamente

Leia mais

,12 2, = , ,12 = = (2012) 2.

,12 2, = , ,12 = = (2012) 2. 1 QUESTÃO 1 Usando a comutatividade da multiplicação, podemos escrever 1000 0,1,01 100 = 1000,01 00 0,1 = 01 01 = (01). QUESTÃO Observe que para obter o primeiro retângulo foi necessário escrever quatro

Leia mais

8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno

8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno 8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno ANÁLISE COMBINATÓRIA Introdução Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete

Leia mais

Nível 6.º e 7.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017

Nível 6.º e 7.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017 Nível 6.º e 7.º anos do Ensino Fundamental 1. a Fase 6 de junho de 2017 1 QUESTÃO 1 ALTERNATIVA A Observamos na primeira balança que o objeto tem o mesmo peso que a soma dos pesos de e. Consequentemente,

Leia mais

DOMINÓ DAS QUATRO CORES

DOMINÓ DAS QUATRO CORES DOMINÓ DAS QUATRO CORES Aparecida Francisco da SILVA 1 Hélia Matiko Yano KODAMA 2 Resumo: O jogo Quatro Cores tem sido objeto de estudo de muitos profissionais que se dedicam à pesquisa da aplicação de

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 8. Curso de Combinatória - Nível 1. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 8. Curso de Combinatória - Nível 1. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. Bruno Holanda Aula 8 Configurações Mágicas De maneira geral, podemos dizer que as configurações mágicas são tipos especiais de diagramas

Leia mais

Solução da prova da 2.ª Fase

Solução da prova da 2.ª Fase Solução da prova da.ª Fase Nível 8.º e 9.º anos do Ensino Fundamental. a Fase de setembro de 08 QUESTÃO a) As páginas pares do álbum têm os números,,,..., 0 num total de 0 = 0 páginas e as páginas ímpares

Leia mais

a) Temos da tabela C 3, A 1, B 2, I 9, D 4 e E 5. O número da palavra CABIDE é então = 1080

a) Temos da tabela C 3, A 1, B 2, I 9, D 4 e E 5. O número da palavra CABIDE é então = 1080 1 NQ1 a) Temos da tabela C 3, A 1, B, I 9, D 4 e E 5. O número da palavra CABIDE é então 3 1 9 4 5 = 1080. b) A decomposição de 455 em fatores primos é 455 = 5 7 13 ; as letras correspondentes a 5, 7 e

Leia mais

a) Em quantas ordem quatro pessoas podem senta num sofá de 4 lugares?

a) Em quantas ordem quatro pessoas podem senta num sofá de 4 lugares? ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A análise combinatória é um ramo da matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente em escolher e agrupar os elementos

Leia mais

Exercícios Obrigatórios

Exercícios Obrigatórios Exercícios Obrigatórios ) (UFRGS/20) Observe a figura abaixo. Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um

Leia mais

Exame Analítico Questão 1: Se não fumo, bebo. Se estou cansado, fumo. Se fumo, não estou cansado. Se não estou cansado, não bebo.

Exame Analítico Questão 1: Se não fumo, bebo. Se estou cansado, fumo. Se fumo, não estou cansado. Se não estou cansado, não bebo. Exame Analítico 2009 Questão 1: Se não fumo, bebo. Se estou cansado, fumo. Se fumo, não estou cansado. Se não estou cansado, não bebo. Logo, a) Não fumo, estou cansado e não bebo. b) Fumo, estou cansado

Leia mais

PACRU SÉRIE 302. Linguagens e Informação Extra. Três Jogos: Shacru, Azacru & Pacru

PACRU SÉRIE 302. Linguagens e Informação Extra. Três Jogos: Shacru, Azacru & Pacru PACRU SÉRIE 302 Linguagens e Informação Extra Se esta informação não está na sua linguagem, vá a www.pacru.com, seleccione a linguagem e imprima as regras. Neste folheto estão todas as informações necessárias

Leia mais

DANÔMIO. Objetivos Aprimorar o conhecimento da multiplicação de monômios.

DANÔMIO. Objetivos Aprimorar o conhecimento da multiplicação de monômios. DANÔMIO Objetivos Aprimorar o conhecimento da multiplicação de monômios. Materiais Dado feito de papel com um monômio em cada face, 6 tabelas que apresentam todas combinações de produtos dos monômios de

Leia mais

Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.

Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir. Nível 1 5ª e 6ª séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 2ª FSE 24 de outubro de 2009 Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação

Leia mais

Prezados Estudantes, Professores de Matemática e Diretores de Escola,

Prezados Estudantes, Professores de Matemática e Diretores de Escola, Prezados Estudantes, Professores de Matemática e Diretores de Escola, Os Problemas Semanais são um incentivo a mais para que os estudantes possam se divertir estudando Matemática, ao mesmo tempo em que

Leia mais

É possível levar um sapo ao lago?

É possível levar um sapo ao lago? É possível levar um sapo ao lago? Resumo da atividade Nesta atividade o professor proporá aos alunos um jogo de tabuleiro, sem contar para os alunos que o objetivo do jogo é impossível de se alcançar.

Leia mais

134 = 8 x =

134 = 8 x = Questão 1 Sabemos que a pontuação máxima por rodada é de 3x5=15 pontos. Podemos descobrir quantas rodadas é possível obter com pontuações máximas sem ultrapassar 134 pontos fazendo a divisão de 134 por

Leia mais

Combinatória. Samuel Barbosa. 28 de março de 2006

Combinatória. Samuel Barbosa. 28 de março de 2006 Combinatória Samuel Barbosa 28 de março de 2006 1 Princípios Básicos de Contagem Em contagem, tentamos abordar o problema de contar o número de elementos de um conjunto sem efetivamente contá-los de um

Leia mais