Módulo de Números Inteiros e Números Racionais. Números Racionais e Suas Operações. 7 ano E.F.

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1 Módulo de Números Inteiros e Números Racionais Números Racionais e Suas Operações. ano E.F.

2 Números Inteiros e Números Racionais Números Racionais e Suas Operações. Exercícios Introdutórios Exercício. No quadro abaixo, determine quais números são racionais. 5, 5,... 0,... 0,... 8, 0... π Quais das seguintes afirmações são verda- Exercício. deiras? a) N Q. b) Z Q. c) Q Z. d) r Q r Q. 0, , 0 e) 0 8 Q Z. f) Q Z. g) 0, 0 Q Z. Exercício. Represente em uma reta orientada os seguintes números:, 5 0 5, 0 Exercício. Um digitador produz 00 folhas de um livro em dias, trabalhando horas por dia; um outro digitador faz o mesmo trabalho em dias, trabalhando 5 horas por dia. Em quanto tempo, os dois juntos, trabalhando horas por dia, produzirão 00 folhas do mesmo livro? Exercício 5. Uma torneira sozinha enche um tanque em duas horas e outra torneira sozinha) enche o mesmo tanque em três horas. Em quanto tempo as duas torneiras juntas encherão esse tanque? Exercício. a) 0, b) 0,... Exercício. Encontre a fração geratriz de: c),. d) 0,.... Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha 5 da barra, Penha ganha e Sônia ganha 0 gramas. Qual o peso, em gramas, da barra? Exercício 8. Para qualquer número positivo x, dizemos x que os números x + e são filhos de x e que os x + dois são irmãos. Por exemplo, e são irmãos, pois são filhos de ; de fato, + e. + a) Encontre um irmão de 5. b) Um número pode ser filho de dois números positivos diferentes? Por quê? c) Mostre que é descendente de, isto é, ele é filho 05 de um filho de um filho... de um filho de. Exercício. Exercício 0. Qual o valor numérico da expressão 8 + ) + 8? Responda o que se pede. a) O número 0 é racional? b) Entre quais inteiros ele se localiza na reta numérica? Exercício. Responda o que se pede. a) O número é racional? b) Entre quais inteiros ele se localiza na reta numérica? Exercício. Use os sinas de < e > para comparar, em cada um dos itens abaixo, as frações. a) 0 b) 8 c) 5 d) Exercício. Um robô começou um estudo no solo de marte e conseguiu perfurar até 8, 5 metros. Depois de recolher algum material subiu, metros para uma análise do terreno. Em qual distância ele se encontra da superfície? matematica@obmep.org.br

3 Exercícios de Fixação Exercício. números: a) e b) e. c) 5, 5 e 5,. Escreva três racionais que estejam entre os Exercício 5. O metrô da cidade de Sacletiba foi ampliado em, km e passou a ter, km. Quantos quilômetros o metrô possuía antes da ampliação? Exercício. O computador de Luíza quebrou e ela teve que ir uma LAN House para digitar um trabalho da escola. Após horas e 0 minutos ela o terminou e pagou R$, 5. Quanto ela pagou por hora? Exercício. Há muitos anos atrás, uma empresa de picolés fez o anúncio Na troca de 0 palitos de picolés, ganhe um picolé no palito. Que fração representa o valor de picolé sem o palito em relação ao valor de palito? Exercício 8. Qual o valor de ? Exercício. Qual o valor de 0, + 0,? Exercício 0. a) 0, b), c) 58, Exercício. a) 0,.... b) 0,... c), 5. d) 0,.... Exercício. obtemos: Escreva o período dos decimais periódicos: Encontre a fração geratriz de: Simplificando a expressão ) + ), Exercício. Qual o valor da expressão : ) )? Exercício. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a),.... b), c), Exercício 5. Qual o valor da expressão [ + ) ] : 5? Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício. Na expressão M A T E M A T I C A, letras diferentes representam dígitos diferentes e letras iguais representam dígitos iguais. Qual é o maior valor possível desta expressão? a) 8 b) c) 08 d) 5 e) 8 Exercício. Uma máquina A pode realizar um trabalho em horas. Uma máquina B pode realizar o mesmo trabalho em horas. Se trabalharem juntas, as máquinas A e B demorarão quanto tempo para executar o trabalho? Exercício 8. Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada Beatriz ainda terá que subir? Exercício. a) 0, 0). b) ) 5 c) 80. Exercício 0. Calcule o valor das expressões: d) 0, ). e) 00 0, 0). Escreva como um única potência: a). b). c). d). e) 5. matematica@obmep.org.br

4 a). b) 8. c) ). d) e) 8 : 5. Exercício. Qual é o primeiro dígito não nulo após a vírgula na representação decimal da fração 5? a) b) c) d) 5 e). Exercício. Sabe-se que do conteúdo de uma garrafa enchem de um copo. Para encher 5 copos iguais a esse, 5 quantas garrafas deverão ser usadas? a) b) c) d) 5 e). Exercício. Simplifique a seguinte fração: b), ,... 0, ) Exercício 8. frações Qual o menor inteiro positivo n tal que as n +, 0 n +, n +,..., n + sejam todas irredutíveis? Exercício. A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0, 8. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma? a) b) c) 0 d) 5 e) 8 Exercício A sequência F n de Farey é uma sequência de conjuntos formados pelas frações irredutíveis a b com 0 a b n arranjados em ordem crescente. Exibimos abaixo os quatro primeiros termos da sequência de Farey. F {0/, /} F {0/, /, /} F {0/, /, /, /, /} F {0/, /, /, /, /, /, /} Qual deve ser o conjunto F 5? Exercício 5. É possível mostrar que se duas frações a b e c d são vizinhas na sequência de Farey F n veja o exercício anterior) então ad bc ±. Sabendo disso, você consegue determinar que fração a está imediatamente à es- b querda de 5 em F sem calcular todos os seus elementos? Exercício. Qual o valor da expressão ) ) 0 0,...) +?,...) Exercício. Resolva as expressões ) a) ) matematica@obmep.org.br

5 Respostas e Soluções.. Números racionais são aqueles que podem ser expressos por uma fração com numerador e denominador inteiros, sendo este último não nulo. Assim, podemos completar o quadro da seguinte forma: Q 5, 5 Q,... Q / Q Q 0, / Q 0,... Q Q 5 / Q 0,... Q Q Q 8, 0... / Q π / Q 0, 0 Q. Já sabemos que valem as inclusões N Z Q R. Assim: a) N Q.Verdadeira! b) Z Q.Verdadeira! c) Q Z.Falsa, pois Q Z é o conjunto das frações não inteiras. d) r Q r Q. Verdadeira! 5. Vazão é a razão entre o volume V) de água despejado e o tempo t) para despejá-lo. Observe que a primeira torneira tem vazão V, já a segunda tem V. Queremos saber qual a vazão de uma toneira equivalente de vazão V t ) às duas trabalhando juntas. Isso é equivalente a resolver a equação. a) V + V V t + t t 5 t 5 t hora e minutos. x 0, x 5, x 5 e) 0 Q Z. Falsa, pois Q Z é o conjunto das frações 8 não inteiras e f) Q Z. Falsa, pois Q Z é o conjunto das frações não inteiras e. g) 0, 0 Q Z. Verdadeira, pois Q Z é o conjunto das frações não inteiras e 0, Uma representação seria: b) c) Logo, x 5. Logo, x. x 0,... 00x,... x. O primeiro digitador produz 00 folhas em horas de trabalho. Portanto, a sua produção em uma hora será igual a 00 folhas. O segundo digitador produz 00 folhas em 5 0 horas. Portanto, a sua produção em uma hora será igual a 00 folhas. Os dois juntos 0 produzirão em uma hora a soma folhas e para produzir 00 folhas serão gastas horas d) Logo, x 8. x,... 0x,... x 8 x 0,... 0x,... x Por fim, se eles trabalharão horas por dia, então serão dias e horas Logo, x. matematica@obmep.org.br

6 . Adaptado do da OBM) Veja que Nelly e Penha pegam juntas da barra. Portanto, os 0 gramas de Sônia representam da barra. Dessa forma, o peso da barra será gramas. 8. Adaptado do Banco de Questões da OBMEP 0) Do enunciado, garantimos que as frações envolvidas no problema devem ser positivas. a) Suponhamos que 5 seja filho de um número positivo x. Então, 5 x + ou 5 x. A primeira equação x + resulta em x, que não convém, já da segunda temos x. b) Suponhamos que seja possível que x seja filho de y e z. Sendo assim, teremos i) x + z +, o que implica x z. ii) + x x x + z z + + z, o que implica x z. iii) x + z, o que implica xz + ), sem z + solução nos inteiros positivos. iv) z + x, o que implica zx + ), sem x + solução nos inteiros positivos. c) Como sugestão, analise o que aconteceu com o sendo pai de e complete o raciocínio calculando de é filho de. Vamos provar que n + é filho de n. Para x teremos que n x x + n n + n +. Sendo assim, 05 é filho de 0, neto de 0, bisneto de 0, Observe que 0 é uma fração de inteiros e o denominador é diferente do zero, portante é um número racional, e está localizado entre o e o não no ponto médio).. Observe que é uma fração de inteiros, portanto é um número racional, equivalente a, 5 e está localizado entre o 5 e o não no ponto médio).. Em cada item, basta construirmos frações equivalentes e de mesmo denominador. a) e 8 b) 8, logo 0 > e 0 0, logo 8 > 0. c) 5 5 e 5 5 5, logo 5 > 5. d) 08 e 5 585, logo < 5.. Ele desceu 8, 5 metros, portanto está a 8, 5 metros da superfície, e depois subiu, metros ficando a 8, 5 +,, metros da superfície.. É importante destacar que o conjunto dos racionais é denso nos números reais, ou seja, em qualquer intervalo aberto existem infinitos outros racionais. a) Três exemplos:,, e, 5. b) Três exemplos:,,, e, 8. c) Três exemplos: 5, 5, 5, 588 e 5, Basta efetuarmos a operação inversa, ou seja,,,, km.. Primeiro, precisamos perceber que horas e 0 minutos são equivalentes a, 5 horas. Agora, basta efetuarmos a divisão de, 5 por, 5 horas, o que resulta em, 5, ,. 0 O valor pago por hora foi de um real e setenta centavos.. O valor será. Ela trocava 0 palitos por picolé com palito, então se subtrair um palito que foi deixado em relação ao que está sendo levado ficamos com. Esse é referente a do valor do picolé sem o palito. 5 matematica@obmep.org.br

7 ) + ).. Observe que ) ) 0, + 0, a) 8. b) 8. c) 5.. a) b) c) Logo, x. x 0,... 0x,... x x 0,... 00x,... x Logo, x. Logo, x 5. x, x 5, x 5 d)... a) Logo, x. x 0,... 0x,... x ) + ) + /. : ) Logo, x : + + ) ) : + ) 5 : + ) 5 ) : x,... 0x,... 00x,... 0x 5 matematica@obmep.org.br

8 b) c) 5. Logo, x 0 0. Logo, x 8 0. x, x 8,... 00x 8,... 0x x, x, x 0, x 8 {[ : : : : + ) ] : } 5 {[ 8 + ] : } 5 {[ ] : } 5 { : } 5 { 5 : : } 5 { 5 : 5 } : Extraído da OBM 0) Como letras iguais representam dígitos iguais, temos: M A T E M A T I C A M E I C A. Para que essa expressão tenha o maior valor, o numerador deve ser formado pelos maiores dígitos com M > E) e o denominador deve ser formado pelos menores. Logo, M, E 8 e A I C. Portanto, a expressão resulta em Resposta: Letra C. M E I C A Usando o método já apresentado no exercício 5, teremos: + t t t + t t t t t horas. 8. Adaptado do da OBM) Quando Ana andar / da escada, Beatriz terá andado / da mesma. Isso significa que Ana é três vezes mais rápida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais / da escada e terminar, Beatriz terá andado mais um terço disso, que é /. Assim, Beatriz andou / da escada, então ainda terá que subir 8/ / dela.. a) 0, b). c) d) 0, 0 0, 0. e) a) b) ) 0. c) 5. d) 0. e). 5 5, matematica@obmep.org.br

9 . Extraído da OBM 0) Além disso, ) 0,... / Como 0, o primeiro dígito não nulo após a vírgula é. Resposta C.. Extraído da OBM) Serão necessárias 5 garrafas.. Extraído do Clube de Matemática da OBMEP) O numerador e o denominador são múltiplos de, logo a fração original é equivalente a Agora, todos no numerador são múltiplos de e no denominador de 5, colocando-os em evidência, ficaremos com ) ). Simplificando os fatores ), ficaremos com 5.. F 5 {0/, /5, /, /, /5, /, /5, /, /, /5, /}. Assim, o valor da expressão procurada é: Extraído da Vídeo Aula) Vamos desenvolver as operações observação a sequência dos parênteses e colchetes e ainda das operações a) ) + ) 0 [ ] + [ ] + [ + ] [ ] Usando a propriedade dada no enunciado, temos a 5b ±. Veja que a deve deixar resto ou na divisão por 5. Dentre os valores possíveis de a no conjunto {0,,,..., }, apenas e satisfazem tal condição. Se a, temos b. Se a, teremos b. Entretanto, como < 5 <, a fração procurada é.. Veja que b), ,... 0, ) ) ) 0,...) ) 8 8. Extraído da Olimpíada do Cone Sul) A fração b a a é irredutível se e só se b a é irredutível se a e b tem um fator comum, então a e b a têm um fator comum, e reciprocamente). O problema se transforma em achar o menor valor de n tal que as frações sejam todas irredutíveis. Observe que as frações anteirores possuem 8 matematica@obmep.org.br

10 a a forma e pelo critério anterior bastaria que n + a + a fosse irredutível. Tendo isso em mente, se n + é n + um primo maior que, todas as frações serão irredutíveis. Assim, um valor possível de n é 5 pois n + é um número primo. Verifiquemos que é o menor possível. i) Se n + < e n + é par, então n é par e há frações redutíveis como, por exemplo, 0 n+. ii) Se n +, obviamente há uma fração redutível. iii) Se n + <, então n + tem um múltiplo entre e e, portanto, há uma fração redutível. iv) Se n +., então n+ é redutível. v) Se n , então n+ é redutível. Logo, o valor mínimo de n + é, que corresponde a n 5.. Extraído da OBMEP 0) Seja m o número de meninas e h o número de meninos. Do enunciado concluímos que m h 0, Essa última é a fração equivalente com menores numerador e denominador inteiros. Daí, podemos concluir que os menores números para são h e m 5, e para essa situação h + m. O que está na letra b. Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br