Equações do Primeiro Grau a uma Variável. 7 ano/e.f.

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1 Módulo Equações e Inequações do Primeiro Grau Equações do Primeiro Grau a uma Variável. 7 ano/e.f.

2 Equações e Inequações do Primeiro Grau. Equações do Primeiro Grau a uma Variável. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 1. Determine o conjunto solução das equações abaio, sabendo que o conjunto universo é N (conjunto dos números naturais). a) 7 = 0. b) =. c) + 6 = 1. d) + = 0. e) + 9 = 0. f) =. g) + 1 = + 1. h) 1 = 1. i) 1 = Eercício. a) = 0. b) + = 11. c) + 6 = +. d) 1 =. e) + =. Eercício. número? Verifique se é raiz das equações abaio. Se o dobro de um número é 0, qual é esse Eercício. Se um retângulo tem 0cm de comprimento e 100cm de área, qual a medida de sua largura? Eercício. Quando os gêmeos Anderson e Ricardo nasceram, Maitê tinha 7 anos. Qual a idade dos gêmeos, se hoje a soma das idades dos três irmãos é anos? Eercício 6. Diminuindo-se seis anos da idade de minha filha, obtém-se os de sua idade. Determine a idade de minha filha. Eercícios de Fiação Eercício 7. Sendo o conjunto universo igual ao conjunto dos números racionais (U = Q), resolva as equações seguintes. a) 1 b) n m =. = 7 m. c) 1 ( + 1 ) = 1 ( 1 ). d) + 1 ( + ) = 1 ( ). Eercício. Determine um número cujo dobro de seu antecessor, menos é igual a. Eercício 9. Ricardo tem em seu bolso apenas moedas de e 0 centavos, num total de 1 moedas. Sabe-se ainda que o número de moedas de centavos ecede em unidades o número de moedas de 0 centavos. Qual a quantia, em reais, que Ricardo tem no bolso? Eercício 10. Em um restaurante há 1 mesas, todas ocupadas. Algumas, são ocupadas por pessoas, outras, por apenas pessoas, num total de fregueses. Determine o número de mesas ocupadas por pessoas. Eercício 11. A soma de dois números pares consecutivos é 6. Determine esses dois números. Eercício 1. Cláudio e Mário possuem juntos R$0, 00. Cláudio possui R$90, 00 a mais que o dobro da quantia de Mário. Quanto possui Cláudio? Eercício 1. Nas últimas etapas da volta de Portugal, um ciclista percorreu, ao todo, 60km. A primeira etapa tinha 10km a mais do que a segunda; a última etapa era quatro vezes maior que a segunda. Calcule o comprimento de cada etapa. Eercício 1. Júlia e Luísa plantaram juntas árvores, sendo que Júlia plantou da quantidade de árvores plantadas por Luísa. Qual a quantidade de árvores plantadas por Luísa? Eercício 1. A soma de quatro números naturais consecutivos é 6. Determine esses números. Eercício 16. Em um quintal eistem rinocerontes e galinhas, num total de animais e 66 patas. Quantos são os rinocerontes? Eercícios de Aprofundamento e de Eames Eercício 17. é igual a Numa empresa, o número de mulheres do número de homens. Se fossem admitihttp://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br

3 das mais 0 mulheres, o número destas ficaria igual ao número de homens. Quantos homens e quantas mulheres trabalham nessa empresa? Eercício 1. A soma dos três algarismos de um número é 19. O algarismo das dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas, e o algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas. Qual é esse número? Eercício 19. São dados quatro números. Sabe-se que a soma dos três primeiros é 90; que a soma do primeiro, do segundo e do quarto é 9; que a soma do primeiro do terceiro e do quarto é 96 e que a soma dos três últimos é 99. Quais são esses números? Eercício 0. Um famoso problema registrado por volta de 110a.C., na Índia, diz o seguinte: De uma quantidade de puras flores de lótus, 1, 1 e 1 6 foram oferecidos para os deuses Siva, Vishnu e Sol. Da quantidade original, 1 foi oferecido a Bhavani. Os 6 lótus restantes foram dados ao venerável preceptor. Diga qual o número total de flores de lótus. Eercício 1. Maria acaba de ganhar uma barra enorme de chocolate como presente de Páscoa. Ela decide dividila em pedaços para comê-la aos poucos. No primeiro dia, ela a divide em 10 pedaços e come apenas um deles. No segundo dia, ela divide um dos pedaços que sobraram do dia anterior em mais 10 pedaços e come apenas um deles. No terceiro dia, ela faz o mesmo, ou seja, divide um dos pedaços que sobraram do dia anterior em 10 outros e come apenas um deles. Ela continua repetindo esse procedimento até a Páscoa do ano seguinte. a) Quantos pedaços ela terá no final do terceiro dia? b) É possível que ela obtenha eatamente 01 pedaços em algum dia? matematica@obmep.org.br

4 1. a) b) c) d) e) f) S = {7}. S = {10}. S = {}. S = {}. Respostas e Soluções. 7 = = 7 = 7. = = = = = 1 6 = 6 = 6 =. + = 0 + = = =. + 9 = = 9 Como U = N, então S =. = 9 = 9 =. = g) h) S = {}. + 1 = = = + = Como U = N, então S =. i) 1 = = 1 = = = + 6 = 6. = = = = = 9 1 = 9 6. Como U = N, então S =. a) Fazendo =, temos = 0, portanto é raiz da equação. b) Fazendo =, temos + = 11, portanto é raiz da equação. c) Fazendo =, temos + 6 = 1, para o primeiro membro da equação e + = 1, também para o segundo membro, portanto é raiz da equação. S = {}. + = + = + =. d) Fazendo =, temos 1 = 6 =, portanto NÃO é raiz da equação. e) Fazendo =, temos + = 1 + = =, portanto é raiz da equação. matematica@obmep.org.br

5 . Podemos simplesmente verificar que o número cujo dobro é 0, é 10. Se quisermos montar a equação, chamamos o número de e temos, então = 0 = 0 = 10. Portanto, o número em questão realmente é 10.. Sabemos que a área de um retângulo é o produto das medidas do comprimento e da largura, então temos Assim, a largura mede cm. c l = A 0 l = 100 0l = l =.. (Etraído da Vídeo Aula) Maitê tem 7 anos a mais que os gêmeos. Se a idade dos gêmeos é, então a idade de Maitê é ( + 7). Temos então + + ( + 7) = + 7 = = 7 = 7 = 9. Assim, os gêmeos têm 9 anos e Maitê tem 16 anos. 6. (Etraído da Vídeo Aula) Chamando a idade de minha filha de, temos 6 = = + 6 = + 6 = 6 = 6 = 1. Temos que a idade de minha filha é 1 anos. 7. a) Temos dois denominadores na equação: e. Como o mmc(, ) = 1, vamos multiplicar todos os termos da equação por 1. S = { 1}. 1 = 1( 1) 1( ) 1 = ( 1) 1 = ( ) 1 = = + = = 1. b) Temos apenas como denominador na equação. Assim, vamos multiplicar todos os termos desta por. S = { } 19. n n = 7 n ( n) ( n) n + = 7 n + ( n) = ( n) n + n = + n n n n = n = 19 n = 19 c) Inicialmente, vamos realizar a multiplicação utilizando a propriedade distributiva. Após isso, obteremos frações, sendo algumas com denominadores diferentes, deveremos então multiplicar todos os termos da equação pelo mmc destes denominadores. S = { } ( + 1 ) = 1 ( 1 ) = = = + = + = 16 = 1 = matematica@obmep.org.br

6 d) Inicialmente, vamos realizar a multiplicação utilizando a propriedade distributiva. Após isso, obteremos frações, sendo algumas com denominadores diferentes, deveremos então multiplicar todos os termos da equação pelo mmc destes denominadores ou por qualquer múltiplo deles. S = {}. + 1 ( + ) = 1 ( ) + + = + + = = 10 = 10 = 66 =.. (Etraído da Vídeo Aula) Chamando esse número de, seu antecessor será ( 1). Temos então ( 1) = = = + = 0 = 1. Portanto, o número procurado é (Etraído da Vídeo Aula) Chamando a quantidade de moedas de 0 centavos de, a quantidade de moedas de centavos será ( + ), pois ecede em unidades a quantidade de moedas de 0. Como o total de moedas é 1, temos + ( + ) = 1 = 1 = 6 = 1. Portanto, a quantidade de moedas de 0 é 1 e a quantidade de moedas de é 1. Assim, Ricardo tem no bolso = = R$11, (Etraído da Vídeo Aula) Chamando a quantidade de mesas com pessoas de, a quantidade de mesas com pessoas será (1 ), já que são 1 mesas ao todo. Como são fregueses ao todo, temos + (1 ) = + = = = 0 = 0 = 10. Assim, são 10 mesas com pessoas. 11. Como são dois números pares consecutivos, vamos chamar o primeiro de e o segundo de ( + ). Como sabemos sua soma, temos + ( + ) = 6 = 6 = 6 = 1. Assim, esses número são 1 e. 1. Chamando a quantidade que Mário possui de, então Cláudio possui ( + 90). Se juntos eles possuem R$0, 00, temos + ( + 90) = 0 = 0 90 = 10 = 0. Se Mário possui R$0, 00, então Cláudio possui R$190, (Etraído da Vídeo Aula) Se o comprimento da segunda etapa for, então o comprimento da primeira etapa será ( + 10) e o comprimento da terceira etapa será (). Como o comprimento total é 60km, temos ( + 10) + + () = 60 6 = = 0 = 0 6 = 0. Assim, o comprimento da primeira etapa é 0km, o da segunda é 160km e o da terceira é 160km. 1. Chamando a quantidade de árvores plantadas por matematica@obmep.org.br

7 Luísa de, temos + = + = 11 = = = 6. Portanto, Luísa plantou 6 árvores. 1. Como são quatro números naturais consecutivos, vamos chamá-los de, ( + 1), ( + ) e ( + ). Temos então + ( + 1) + ( + ) + ( + ) = = 6 Portanto, os números são 1, 1, 16 e 17. = 6 = Chamando a quantidade de galinhas de g, a quantidade de rinocerontes será ( g), já que o total de animais é. Como o total de patas é 66, temos g + ( g) = 66 g g = 66 g = g = g = g = 17. Assim, temos que a quantidade de rinocerontes é 17 =. 17. Chamando o número de homens de h, o número de mulheres será h. Como a quantidade de homens e mulheres seria igual se tivéssemos mais 0 mulheres, temos então h = h + 0 h = h h h = 100 h = 100 h = 0. Concluímos que o total de homens é 0 e o total de mulheres é 0 = Se o algarismos das centenas é c, então o algarismo das dezenas é c e o algarismo das unidades é (c + 1). Temos então c + c + (c + 1) = 19 9c + 1 = 19 9c = 1 c =. Assim, temos que o algarismo das centenas é, o algarismo das dezenas é e o algarismo das unidades é 9. Portanto, o número é (Etraído da Vídeo Aula) Observe que, se somarmos 90, 9, 96 e 99, obteremos um resultado que corresponde a três vezes o primeiro número, mais três vezes o segundo, mais três vezes o terceiro, mais três vezes o último, ou seja, três vezes a soma P dos quatro números. Temos então P = = 7 e daí segue que P = 16. Como a soma dos três primeiros é 90, significa que o quarto número é = 6. De forma análoga, encontramos que o terceiro é, que o segundo é 0 e que o primeiro é 7. Outra maneira de resolver esse problema é trabalhar com equações com mais de uma incógnita. Chamando os quatro números, em ordem crescente, de a, b, c e d, temos as a + b + c = 90 a + b + d = 9 seguintes equações: a + c + d = 96 b + c + d = 99. Basta agora somar todas as equações que obtemos a + b + c + d = 7, que é o mesmo que a + b + c + d = 16. Agora é só continuar como na primeira solução para encontrar os quatro números. 0. Chamando a quantidade de flores de, temos: = = = = 60 = 60 = 60 = 10. Portanto, a quantidade de flores é (Etraído do Banco de Problemas da OBMEP) 6 matematica@obmep.org.br

8 a) No final do primeiro dia, ela terá 10 1 = 9 pedaços. No final do dia seguinte, ela terá = 17 pedaços. Do ponto de vista prático, é como se ela tivesse acrescentado = pedaços novos, pois um pedaço sempre é perdido para a divisão em 10 e outro sempre é comido. No final do terceiro dia ela acrescenta mais oito novos pedaços e passa a ter. b) Como a soma sempre aumenta de em, após n dias, a partir do dia inicial, ela terá 9 + n pedaços. Se for possível obter eatamente 01 pedaços, devemos ter: Como n = 01 n = 00. não é inteiro, tal dia nunca acontecerá. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 7 matematica@obmep.org.br