Módulo de Plano Cartesiano e Sistemas de Equações. O Plano Cartesiano. Professores: Tiago Miranda e Cleber Assis

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1 Módulo de Plano artesiano e Sistemas de Equações O Plano artesiano 7 ano E.F. Professores: Tiago Miranda e leber ssis

2 Plano artesiano e Sistemas de Equações O Plano artesiano Eercícios Introdutórios Eercício. Observe o plano cartesiano abaio e escreva em qual quadrante estão todos os pontos e suas respectivas coordenadas. Eercício. Figura Marque no plano cartesiano os pontos: (, ), (, ), (0, ), (, 0) e E(, ), determinando os seus respectivos quadrantes. Eercício. que se pede. nalisando o gráfico abaio, responda o Figura a) quais os pares ordenados dos vértices? b) qual a área do retângulo? c) qual o perímetro do retângulo? Eercícios de Fiação Observando o plano cartesiano abaio, res- Eercício. ponta: Figura a) No segmento destacado, quantos são os pontos de coordenadas inteiras? Quais são esses pontos? b) Quais os pontos do segmento também pertencem aos eios coordenados? c) Qual a área do triângulo? Eercício. om relação ao círculo abaio, responda: Figura a) Quais as coordenadas dos pontos e? b) Quais as coordenadas dos pontos de interseção das circunferências? c) Uma terceira circunferência tem centro em e é tangente às duas circunferências eibidas, qual o valor de seu raio? matematica@obmep.org.br

3 Eercícios de profundamento e de Eames Eercício. Se a < 0 e b > 0, os pontos P(a; b) e Q(b; a) pertencem respectivamente a quais quadrantes? Eercício 7. Em um jogo de tabuleiro para dois participantes, em cada rodada o atacante lança um dado e o defensor lança outro. O atacante vence se o número obtido no lançamento se seu dado for maior do que o número obtido no lançamento do dado defensor. aso contrário, vence o defensor. Os dados utilizados nesse jogo são dados convencionais, em formato cúbico, com suas faces numeradas de a. Qual a probabilidade do atacante vencer uma rodada? Eercício 8. Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (, ) e (, ) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice, se ele pertence ao eio das ordenadas? Eercício 9. Quais as coordenadas (, ) do ponto do paralelogramo sabendo que = (, ), = (, ) e = (, )? Eercício 0. distância d entre dois pontos e pode ser calculada pela fórmula d = ( ) + ( ) gora, sejam os pontos (, ) e (, ). Qual a medida do segmento de reta? Eercício. Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (, ) e (, ) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice se ele pertence ao eio das ordenadas? Eercício. Os pontos P(, ) e Q(, ) são vértices do triângulo PQR. Sabe-se que o lado PR mede cm e o lado QR mede cm. Quais as possíveis coordenadas do ponto R? matematica@obmep.org.br

4 Respostas e Soluções.. O gráfico possui todos os pontos marcados no primeiro quadrante e as coordenadas são: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ). Marcando os pontos solicitados, teremos a figura a seguir: Figura Para completar, está no II quadrante, está no III, está no semieio positivo das ordenadas, está no semieio positivo das abscissas, E está no quarto.. om relação ao retângulo temos a) Os vértices são: (, ), (, ), (, ) e (, ). b) O comprimento é dado por ( ) = e a altura é ( ) =, logo, a área é igual a = u.a.. c) O perímetro pode ser calculado por. + = u.c. a) No segmento, estão pontos de coordenadas inteiras: (, ), (, ), (0, ), (, 0) e (, ). b) O segmento corta O em (0, ) e O em (, 0). c) s medidas de e são e 8. E como, a área é igual a 8 = u.a.. E. a) Temos = (0, ) e = (, ). b) Temos = (, ) e = (0, ). c) Sendo o centro e dado que a circunferência é tangente às duas que estão já desenhadas possuindo diâmetro, então o raio da nova circunferência mede u.c... (daptado do vestibular da ESEM) Sendo a < 0, então a > 0 e, para b > 0, temos b < 0. Portanto, o ponto P tem abscissa e ordenada negativas, logo está no quadrante. Para o ponto Q, temos abscissa e ordenada positivas, então ele está no quadrante. 7. Temos que a probabilidade de ganhar varia de acordo com o dado do atacante. Observe os pares (, ), onde é o valor que o atacante obteve e o valor do defensor. s vitórias do atacante são os pares do conjunto: {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, Figura Esse é um subconjunto do universo que e possui = pares ordenados. Logo, a probabilidade é igual a =. 8. (Etraído do vestibular da VUNESP (SP)) Todo ponto sobre o eio das ordenadas tem = 0 como abscissa. gora, seja (0, ) o terceiro vértice. omo o triângulo é isósceles e os vértices da base foram dados, temos que as distâncias de aos pontos dados no matematica@obmep.org.br

5 enunciados são iguais. Logo (0 ) + ( ( )) = (0 ( )) + ( ) = = (daptado do vestibular da escem) (Etraído do vestibular da VUNESP (SP)) Todo ponto sobre o eio das ordenadas tem = 0 como abscissa. gora, seja = (0, ) o terceiro vértice. omo o triângulo é isósceles de e os vértices da base foram dados, teremos que as distâncias de a tais pontos são iguais, ou seja, (0 ) + ( ( )) = (0 ( )) + ( ) = = 0.. (daptado do vestibular da UEL (PR)) Sendo R = (, ), podemos construir o sistema: d PR = ( ) + ( ) = d QR = ( ) + ( ) = Resolvendo-o, teremos R = (, 8;, ) ou R = (, 8; 0, ). Outra solução: omo PR =, QR =, e PQ = ( ) + ( ) =, pela recíproca do Teorema de Pitágoras, segue que PQR é retângulo em R, com hipotenusa PQ, e catetos PR e QR. Sendo h a altura do triângulo, a ordenada de R será igual a + h ou, por simetria, h. Usando as relações métricas no triângulo retângulo, obtemos h =,. Sendo m a projeção de PQ sobre a hipotenusa, a abscissa de R será igual a + m e, usando que = m, teremos m = 9 =, 8. Então R(, 8;, ) ou R(, 8; 0, ). - Figura 7 Sendo um paralelogramo, os pontos médios das diagonais coincidem. omo as coordenadas do ponto médio de um segmento é dado pela média aritmética das coordenadas de seus vértices, temos: + ( ) + Portanto, = e =. = + ( ) = + ( ) 0. (daptado do vestibular da UNIFOR (E)) medida do segmento será igual a distância entre os pontos e, que pode ser calculada por d = ( ) + ( ( )) = 0 u.c.. Produzido por rquimedes urso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br