Matemática. Atividades. complementares. FUNDAMENTAL 8-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 8. uso escolar. Venda proibida.

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1 8 ENSINO FUNDAMENTAL 8-º ano Matemática Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 8 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

2 Equações 1. Resolva as equações, sendo que Z. ( 1 ) ( )? ( ) 0 ( 1 3) ( 1 )? ( ) 0 c) ( 1 1) ( 1 ) 0 d) ( 1 ) 1 ( 3 ). Faça o que se pede em cada item: Determine a medida do lado do quadrado de área 9 cm. Determine, se possível, o número que pertence ao conjunto dos reais, cujo quadrado é. c) Determine as medidas dos lados de um retângulo cujo perímetro é 0 cm e o comprimento ecede a largura em cm. d) Determine a área de um retângulo cujo perímetro é cm e o comprimento ecede a largura em cm. e) A área de um quadrado de lado é igual à área de um retângulo de largura e comprimento 1 6. Calcule as medidas dos lados do quadrado e do retângulo. f) Qual é o número cuja diferença entre o dobro do quadrado de um número e o quadrado do dobro desse número é igual a? g) Determine um número real cujo quadrado menos o próprio número é igual ao quádruplo desse número. 3. Resolva as seguintes equações, sendo que R. 10y (1 1 y) 3(y ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 1 1 c) ( 1 6). Eistem dois números cujo quadrado da soma é um número negativo? Eplique.. Se alguém lhe pedisse para resolver a equação ( 1 ) 81, qual seria a primeira coisa que você faria? Bem, muitos responderiam que a primeira coisa a ser feita é desenvolver ( 1 ), aplicando os conhecimentos de produtos notáveis. Esse procedimento está correto, mas não será o mais rápido. Alguns tipos de equações podem ser resolvidas com uma mudança de variável. Nesse eemplo podemos substituir ( 1 ) por uma outra variável, por eemplo y. Assim: (y) 81 y dxxx 81 y ± 9 Como ( 1 ) y: ( 1 ) ± 9 Então: ( 1 ) 9 ou ( 1 ) 9 ou 13 Portanto, S {13, }. Agora é a sua vez. Resolva as equações abaio, utilizando uma mudança de variável. ( 1) 100 ( ) ( ) 0 c) ( 1 ) ( 1 ) 0 d) ( 1 dxx ) 8 e) ( 1 dxx 3 ) ( 1 dxx 3 ) 0 f) ( 1 ) ( 1 ) 0 6. Resolva as equações abaio, com soluções nos conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Utilize uma mudança de variável Escreva a equação que representa cada situação das balanças nos itens abaio e determine o conjunto-solução, para R. c) 30 g 30 g 00 g g 1, kg AMj Studio/ID/BR Atividades complementares 10

3 8. Para cada um dos itens abaio escreva a sentença matemática correspondente e responda ao que se pede. Eiste um número inteiro que adicionado à sete seja igual à diferença desse número e sete? Eiste um número inteiro cujo triplo da soma dele com um seja igual a três mais o triplo desse número? c) Eiste um número inteiro cujo dobro dele subtraído de quatro seja menor do que ou igual ao dobro da diferença entre dois e esse número? Frações algébricas 9. Márcio pinta a parte eterna de um sobrado em 10 dias. Fernando faz o mesmo trabalho em dias. Juntos, eles pintam em 6 dias. Determine quantos dias Fernando demora para pintar o sobrado sozinho. 10. Simplifique as seguintes frações algébricas y 1 y c) d) 3 1 e) Resolva as seguintes equações fracionárias em R, indicando as restrições c) d) A densidade d de um corpo é determinada pela razão entre a sua massa m e o seu volume v: d m v. Um corpo de massa e volume inicial cm 3 sofre dilatação de modo que a sua densidade é diminuída de /cm 3 e a densidade final fica igual a 0 g/cm 3. Qual é o volume anterior à dilatação desse corpo? 13. Em uma aula de computação, Eva criou um programa que, dado um número inteiro positivo n, calcula a divisão do quadrado desse número por seu sucessor. Que resultado o programa indica quando o valor n é 3? Escreva uma fração algébrica que represente o cálculo efetuado por esse programa. 1. Simplifique as frações algébricas. a3 b a b 1 ab 3 a b y 1 y y 1 y c) y 1 y 1. Indique o conjunto universo das equações fracionárias e resolva-as c) d) Sistema de equações do 1 o grau com duas incógnitas 16. Dados os sistemas de equações com duas incógnitas abaio, verifique se possuem solução em R. Justifique a resposta. 1 y y 1 1 y 1 y 8 c) 1 y 1 y Resolva em R o sistema de equações abaio pelo método gráfico. 1 y 7 y 18. Luísa devia fazer um trabalho para a escola. Para cumprir o prazo dado pela professora, ela planejou fazer seis páginas por dia. Entretanto, somente começou o trabalho oito dias depois do previsto. Por causa disso, precisou fazer quatro páginas a mais por dia, e conseguiu terminar o trabalho a tempo. Qual foi o prazo dado pela professora? Quantas páginas tinha o trabalho? Atividades complementares Eastwest Imaging/Dreamstime.com 11

4 19. Determine os valores de e y nos retângulos a seguir. 3 y 3y inequação 1 00 g 70 g 17 6 y y 0. A soma dos dois algarismos de um número é 8. Adicionando 18 unidades a esse número, o resultado é formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa. Determine esse número. 1. Olga tem em sua carteira cédulas de RS,00 e de RS 10,00, que totalizam RS 100,00. Se ela tem 13 cédulas, quantas são de cada tipo? Escreva o sistema de equações apropriado e resolva-o.. Um hotel tem quartos com uma cama e quartos com duas camas. No total são 0 quartos e 87 camas. Quantos são os quartos com uma cama? Quantos são os quartos com duas camas? Sistema de inequações do 1 o grau com uma incógnita 3. Resolva os seguintes sistemas de inequações e determine o conjunto-solução, para R. inequação g 0 g 0 g AMj Studio/ID/BR inequação. Resolva o seguinte sistema de inequações em R: Resolva o seguinte sistema de inequações em Z: 3 1 inequação Atividades complementares 1

5 8 ENSINO Matemática FUNDAMENTAL 8-º ano Resolução comentada Este material é um complemento da obra Matemática 8 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

6 Equações 1. ( 1 ) ( )? ( ) ( 1 ) S {0} ( 1 3) ( 1 )? ( ) Como 17 Ó Z a solução é vazia: 16 S [ ou S { } c) ( 1 1) ( 1 ) ( ) Assim a solução é indeterminada, pois possui infinitas soluções: S Z d) ( 1 ) 1 ( 3 ) S {13}. 9 ± 7 Portanto, a medida do lado do quadrado com área 9 cm é 7 cm.. Não eiste um número pertencente ao conjunto dos números reais cujo quadrado é, pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo. c)? ( 1 1 ) Portanto, os lados têm medidas 8 cm e 1 cm. d) ( 1 1 ) 1 10 Os lados do retângulo medem 10 cm e 1 cm. Portanto, a área do retângulo será 10 cm? 1 cm 10 cm. e) () ( 1 6) ( 1) ou 1 0, ou seja, 1 Como representa o lado do quadrado, Þ 0. A solução é 1. Portanto, o lado L do quadrado mede: L cm Os lados do retângulo medem: e f) () 1 ± 1 O número é 1 ou 1. g) 0 ( ) 0 0 ou 3. 10y (1 1 y) 3(y ) 0 10y y 6y 6 0 y 1 y 1 S {1} ( 1 ) 1 ( ) S { } c) ( 1 6) ( 1) 0 0 ou ou 1 S {0, 1}. Não eistem dois números cujo quadrado da soma é um número negativo, pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo. Eemplo: Se a. 0: ( 1 y) a ( 1 y) dxxxx a O que é impossível, pois a. 0.. ( 1) 100 Para 1 y y 100 y ± 10 Resolução comentada 10

7 1 10 ou ou 9 S {9, 11} ( ) ( ) 0 Para y y y 0 y(y ) 0 y 0 ou y 0 ou ou S {, } c) ( 1 ) ( 1 ) 0 Para 1 y y y 0 y (y ) 0 y 0 ou y 1 0 ou 1 ou S {, } d) ( 1 dxx ) 8 Para 1 dxx y y 8 y ± dxx y dxx ou y dxx 1 dxx dxx ou 1 dxx dxx 3dXX ou dxx, dxx } S { 3dXX e) ( 1 dxx 3 ) ( 1 dxx 3 ) 0 Para 1 dxx 3 y y y 0 y(y ) 0 y 0 ou y 1 dxx 3 0 ou 1 dxx 3 dxx 3 ou dxx 3 S { dxx 3, dxx 3 } f) ( 1 ) ( 1 ) 0 Para 1 y y y 0 y(y ) 0 y 0 ou y 1 0 ou 1 1 ou 9 S 1, (3 1 ) 3 1 ou ou 7 3 S 7 3, ( 1 ) ( 1 ) 1 1 ou ou 1 S {1, 3} S {00} S {300} c) Portanto, não eiste um número inteiro que adicionado a sete seja igual à diferença desse número e sete. 3( 1 1) Portanto, infinitos valores satisfazem a equação. c) < ( ) < < 8 < S { R < } Frações algébricas 9. Se t corresponde ao trabalho eecutado e ao tempo que Fernando demora para eecutar o trabalho, temos: t 10 1 t t Fernando demora 1 dias para pintar sozinho a parte eterna do sobrado. Resolução comentada 11

8 ( 1 1) y 1 y)? ( y) ( y 1 y 1 y c) (3 1 1) 3( 1 1) ( 1 1)? ( 1 1) d) 3 1 ( 1)? ( 1 1 1) ( 1) e) ( 3)? ( ) ( 3) ( 3) restrição: Þ 1 e Þ ( 1 ) 1( 1 3) S 7 3 restrição: Þ S {1} c) restrição: Þ S 7 d) restrição: Þ ± ( 1 1) S [ 1. d m v d i m i v i d f m i v i cm , n n a3 b a b 1 ab 3 ab(a ab 1 b ) a b a b a ab 1 b a 3 y 1 y y 1 (y 1 )? (y ) 1 y c) y 1 y 1 y 1 y ( y) ( y) 1 ( y) ( y) ( y) ( 1 y) y 1 y Þ Þ c) Þ d) Þ ± 1 ( 1)? ( 1 ) 3 1 ( 1 1)? ( 1) ( 1 1)? ( 1) Resolução comentada 1

9 Sistema de equações do 1 o grau com duas incógnitas 16. Adicionando as equações, obtemos: 1 y y Substituindo na primeira equação, obtemos: 1 y 1 1 y y 3 S {1, 3} y 1 y 8 y 1 y 8 Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos: ( y) 1 y 8 8 y 1 y 8 0y 0 Verifica-se que o sistema possui infinitas soluções, portanto, o sistema é indeterminado. S R c) 1 y 1 y 1 ä y 1 y 1 Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos: ( y) 1 y 1 y 1 y 1 0y 6 Verifica-se que a equação não possui solução, logo o sistema é impossível. S [ y y P(, 3) y 7 Portanto, a solução do sistema é o ponto em que os gráficos das duas equações se intersectam. Pelo gráfico temos e y 3, que é a solução do sistema. 18. : número de dias de leitura y: número total de páginas y 6 y 10( 8) O prazo da professora foi de 0 dias. y 6 6? 0 10 O trabalho tinha 10 páginas. 3y y 17 3y 3y (3 1 y 17)? y 1 3y 9 1 3y 1 11 Retomando a equação 3 1 y 17, substituímos o valor encontrado de. 3? 1 y y 17 y 1 6 y y ( y 6)? (1) 1 y 6 y y 1 y 6 y y Substituindo y em 1 6 y, obtemos: 1 6? 0. Supondo que o número é XY, sendo X o número da dezena e Y o número da unidade. Desse modo o valor do número será: XY 10 1 y Sabemos que a soma dos algarismos é 8, assim 1 y 8 Ao adicionarmos 18 unidades ao número XY, obtemos o número YX 10y 1. Assim temos: (XY) 1 18 (YX) (10 1 y) 1 18 (10y 1 ) 9 9y ( y) 18 y Temos, assim, duas equações que relacionam e y. Resolução comentada 13

10 y 1 y 8 Assim, ao adicionarmos ambas, temos: y 1 y Substituindo na segunda equação: 3 1 y 8 y Portanto o número formado XY será: XY 10 1 y 10? : quantidade de cédulas de reais y: quantidade de cédulas de 10 reais Assim, temos duas equações do enunciado: 1 10y y y 100 (1 y 13)? ( ) 1 10y 100 y y 100 y 6 y 3 y 7 Substituindo esse valor em 1 y 13, obtemos: Assim, Olga tem, em sua carteira, 6 cédulas de reais e 7 cédulas de 10 reais.. : quantidade de quartos com uma cama y: quantidade de quartos com duas camas Do enunciado temos as seguintes equações: 1 y 0 1 y 87 ( 1 y 0)? ( 1) 1 y 87 y 0 1 y 87 y 37 y 0 1 y 87 Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos: 1 y O hotel tem 13 quartos com uma cama e 37 quartos com duas camas. Sistema de inequações do 1 o grau com uma incógnita 3. inequação 1:, 800, 00 inequação : S { 7 R 0,, 00} inequação 1: inequação : , 300 S { 7 R 17,, 300}. I. 3, , 0 3 1, 0 3, 1, II. 1 1, 0 0 0, 0 1, 0 9, 9. 1 Pelas duas soluções, temos: S { 7 R 1,, }. I II., 1 1, 0 1, 0, 0, Pelas duas soluções percebemos que não eiste intersecção, pois, em I, e, em II,, 1 3. S [ Resolução comentada 1