Códigos Corretores de Erros e Cliques de Grafos

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1 Códigos Corretores de Erros e Cliques de Grafos Natália Pedroza Jayme Szwarcfiter Paulo Eustáquio UFRJ/UERJ 2016 Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

2 Apresentação Códigos corretores de erros; Códigos Lineares; Generalização do código Hamming; Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

3 Introdução Códigos corretores de erros de tamanho fixo A = {a 1,, a s } símbolos a serem codificados; F = {0, 1} alfabeto; c = c 1 c 2 c n, com c i F palavra; Código C = {c 1,, c M } conjunto de palavras. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

4 Distância Hamming entre duas palavras, d H (c 1, c 2 ) número de posições em que c 1 e c 2 diferem. Ex.: d H (000, 011) = 2 Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

5 Distância Hamming entre duas palavras, d H (c 1, c 2 ) número de posições em que c 1 e c 2 diferem. Ex.: d H (000, 011) = 2 d H (C) - distância Hamming de um código C menor distância entre duas palavras quaisquer. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

6 Distância Hamming entre duas palavras, d H (c 1, c 2 ) número de posições em que c 1 e c 2 diferem. Ex.: d H (000, 011) = 2 d H (C) - distância Hamming de um código C menor distância entre duas palavras quaisquer. Teorema C é capaz de corrigir até t erros se d(c) = 2t + 1. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

7 A q (n, d) o maior valor de M tal que existe um código de tamanho fixo q-ário com M palavras de n bits e distância Hamming d. Theorem Seja d um número ímpar. Um código binário com M palavras de tamanho n com distância d existe se, e somente se, um código binário com M palavras de tamanho n + 1 com distância d + 1 existe. Corollary Se d é ímpar, então A 2 (n + 1, d + 1) = A 2 (n, d). Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

8 n d Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

9 Clique Determinar A 2 (n, d) Determinar a clique máxima de um grafo G. V (G) 2 n vetores binários de tamanho n uv E(G) d H (u, v) d. d(u, v) tamanho do caminho mínimo entre u e v. Grafo potência d de um grafo G = (V, E) grafo G d = (V, E d ) tal que uv E d d(u, v) d. n-cubo = Q n d(u, v) = d H (u, v). Arestas de Q d 1 n Arestas correspondentes às distâncias 1, 2,, d 1 de K n. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

10 Problema: Máximo de palavras Entrada: Um grafo G = K 2 n E[Q d 1 n ]. Propriedade: O conjunto de vértices C forma uma clique máxima. Grafo regular Grau de v: d 1 ( ) n d(v) = 2 n. i i=0 Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

11 Cliques Parte do grafo para n = 5 e d = 3. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

12 Códigos Lineares Seja F q um corpo de q elementos. Um código C q-ário é dito [n, k]-código linear se é um subespaço vetorial de dimensão k de F n q. Isto é: 1 u + v C, u e v C e 2 au C, u C, a F q. Em particular, um código binário é linear se, e somente se, a soma de duas palavras quaisquer do código é também uma palavra do código. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

13 Peso w de uma palavra - número de bits não nulos da palavra. Peso de um código C - o menor dos pesos das palavras não nulas de C. Theorem Se C é um código linear, então d(c) = w(c). Demonstração: Existem x e y C tais que d(c) = d(x, y) = w(x y). d(c) = w(x y) w(c), pois x y é uma palavra do código. Por outro lado, para alguma palavra x C, w(c) = w(x) = d(x, 0) d(c). Obs.: 0 pertence a todo código linear. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

14 Matriz geradora - matriz cujas linhas formam uma base de um [n, k]-código. Exemplo [5, 2, 3]-código = G = [ ] Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

15 Matriz geradora - matriz cujas linhas formam uma base de um [n, k]-código. Exemplo [5, 2, 3]-código = G = [ ] Codificação M = 2 k ; Identificamos as mensagens com u F k ; Codificamos as mensagens multiplicando u por G; ug C é uma combinação linear das linhas da matriz geradora. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

16 Matriz geradora na forma padrão: G = [I k A k (n k) ]. Exemplo A forma padrão de uma matriz geradora do [7, 4]-código é dada por: G = O vetor mensagem 1000 é codificado como Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

17 Código dual de C: C = {u F n c, u = 0, c C}. Lemma Se C é um [n, k]-código linear com matriz geradora G, então u C ug T = 0. Theorem Se C é um [n, k]-código linear, então C é [n, n k]-código linear. Exemplo C = C = { Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

18 H matriz de paridade de C: matriz geradora de C. H satisfaz GH T = 0. Theorem C = {c F n ch T = 0}. Se G = [I k A] é uma matriz geradora na forma padrão de um [n, k]-código C, então a matriz de paridade de C é H = [ A T I n k ]. Exemplo G = I H = I 3 Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

19 Códigos Hamming Ham(r) - matriz de paridade H r (2 r 1) cujas colunas são os vetores não nulos de F r. Exemplo Ham(3) H = Theorem Um código Hamming, Ham(r), para r 2, 1 é um [2 r 1, 2 r 1 r]-código; 2 tem distância mínima 3; 3 é um código perfeito. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

20 Uma generalização dos Códigos Hamming Código linear; Distância Hamming 3; M = 2 k palavras. Gham(n) = {c n 1, c n 2,, c n M} c n i = informação b(c n i ) }{{} k bits paridade p(c n i ) }{{} r bits n = r + k, onde r = log 2 (n + 1). Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

21 Recursão Criar Gham(n) = {c n 1,, cn M } A partir de Gham(n 1) = {c n 1 1,, c n 1 M } com M = 2n 1 log 2 (n) palavras. Base: Gham(3) = {000, 111}. Se n 2 m, então: { c n i = 0c n 1 i, para 1 i M 1[c n 1 i Se n = 2 m, então: c n i = c n 1 i 1 n], para M + 1 i 2M c n 1 i k 0c n 1 i k+1 c n 1 i n 1, para 1 i M. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

22 Exemplo Gham(3) Gham(4) r = log 2 (n + 1) = 2 e k = 1. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

23 Exemplo Gham(3) Gham(4) Gham(5) Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

24 Exemplo Gham(3) Gham(4) Gham(5) Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

25 Exemplo Gham(3) Gham(4) Gham(5) Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

26 Propriedade O código Gham(n) é gerado ordenadamente e b(c n i ) corresponde à representação binária, usando k bits, de todos os inteiros de 0 a 2 k 1. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

27 Propriedade O código Gham(n) é gerado ordenadamente e b(c n i ) corresponde à representação binária, usando k bits, de todos os inteiros de 0 a 2 k 1. Tabela 1: Gham(n) para n de 3 a 8 n = 3 n = 4 n = n = 6 n = 7 n = Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

28 Propriedade Os códigos Gham(n) são códigos lineares, cujas matrizes geradoras podem ser escritas na forma G = [I k k A k n k ], onde as linhas de A k n k são formadas pelas representações binárias dos números de 3 a n que não são potências de 2, em ordem decrescente, usando n k bits. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

29 Algoritmo de codificação Tomar b(c n i ) = uk i = u i k u ik 1 u i1. Calcular p(c n i ): se u i j = 1, fazer a operação xor de } 0 {{ 0} com A(j). bits Algoritmo 1: Obtenção de c n i : início A [3, 5, 6, 7,..., n]; p(c i ) 0; para j de k a 1 : se (u ij = 1) então p(c i ) p(c i ) A[k j + 1]; fp c n i u i p(c i ); retorna c n i ; fim Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

30 Exemplo Determinar c 8 13 Tome b(c 8 13 ) = u4 13 = Bits 1 da direita para a esquerda: 1 o, 3 o e 4 o. c 8 13 = }{{} }{{} b(c 8 13 ) p(c 8 13 ) A[1] = A[3] = A[4] = 7 p(c 8 13 ) 0010 Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

31 Decodificação Se um vetor yi n é recebido, calculamos p(yi n ) e fazemos a operação xor dos r bits finais de yi n com p(yi n ). Se o resultado: Contém apenas 0 s, então não ocorreu erro; Contém apenas um bit 1, então o erro está nos r bits finais de y n i, na posição correspondente ao 1; É o i-ésimo elemento do vetor A, então o erro está posição i; Caso contrário, houve mais de um erro e a mensagem não é decodificada. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

32 Propriedade A distância Hamming de Gham(n) é 3. Demonstração. Provar: w(gham(n)) = 3. Seja c n i Gham(n). 1 w(b(c n i )) = 1 p(cn i ) = 0 n 1 w(p(c n i )) 2. Pois n 1 2 m e portanto w(n 1 ). 2 w(b(c n i )) = 2 p(cn i ) = 0 n 1 n 2 w(p(c n i )) 1. Pois como n 1 n 2, temos que n 1 n w(b(c n i )) 3 w(cn i ) 3. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

33 Lemma A matriz de paridade H do código Gham(n) é formada pelas representações binárias dos números de 1 a n escritos em coluna utilizando n k bits. G = [I k A k n k ] H = [A T n k k I n k]. As colunas de A T n k k são formadas pelas representações binárias dos números de 3 a n que não são potências de 2, em ordem decrescente, usando n k bits. As linhas de I n k são formadas pelas representações binárias dos números de 1 a n que são potências de 2, em ordem decrescente, usando n k bits. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

34 Theorem Os códigos de Hamming Ham(r) são um caso particular dos códigos Gham(n). O código Ham(r) tem matriz de paridade H cujas colunas são formadas pelos vetores não nulos de F r que são exatamente as representações binárias dos números de 1 a n utilizando r = n k bits. Assim, a matriz de paridade do código Ham(r) é equivalente a matriz de paridade do código Gham(n), para n = 2 r 1. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

35 Theorem Um código linear ótimo de tamanho n e distância Hamming 3 tem dimensão k = n log 2 (n + 1). Corollary Os códigos Gham(n) são códigos lineares ótimos. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

36 Obtenção gulosa de Gham(n) Propriedade O código Gham(n) pode ser obtido por um algoritmo guloso. Inicialmente coloca-se 0 F k no código e, em seguida, para cada u F k \ {0}, concatena-se a menor paridade p F r possível, tal que a palavra resultante tenha distância 3 para as palavras anteriores já definidas. Com pequenas alterações no algoritmo, conseguimos obter os códigos ótimos para n de 8 a 11, que são códigos não lineares. Ao invés de se concatenar uma única paridade v F r a cada elemento u F k \ 0 pode-se ter nenhuma ou mais de uma concatenação. E acrescenta-se ao código além de 0 F k algumas palavras v F n. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

37 Conclusão Desenvolvemos uma generalização para os códigos de Hamming para todo inteiro n 3. Tais códigos são lineares, têm capacidade de corrigir um erro e são facilmente implementáveis. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

38 Trabalhos futuros Estender os códigos Gham(n) para distâncias Hamming d > 3. Generalizar a construção feita para os códigos Gham(n) para códigos não lineares buscando obter códigos não lineares ótimos. Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

39 Obrigada Natália Pedroza (UFRJ/UERJ) Códigos Corretores / 32

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