Problema. Quantas cores são necessárias para pintar este mapa? Número. Cromático. Estruturas de Dados - Grafos. Problema. Problema

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1 Problema Número Quantas cores são necessárias para pintar este mapa? romático Problema Problema

2 Problema Um problema mais complicado este? Número cromático oloridos ótimos menor número de cores necessárias para colorir todos os vértices de um grafo, de modo que nodos adjacentes tenham cores diferentes liques Um clique é um subgrafo completo máximo Não contido em outro subgrafo completo Quando todos os pares de vértices são adjacentes v v v v v v v v v v v v

3 liques Um clique é um subgrafo completo máximo Quando todos os pares de vértices são adjacentes liques Não contido em outro subgrafo completo { } { } { } { } onjunto de vértices interiormente estável máximo (VIM)( onjunto de vértices interiormente estável máximo (VIM)( Vértices não adjacentes entre si Não contido em outro conjunto de vértices interiormente estável Vértices não adjacentes entre si Não contido em outro conjunto de vértices interiormente estável { } S = { } S = { } S = { } S = { }

4 onjunto de vértices interiormente estável máximo (VIM)( Grafo complemento de um grafo Grafo complemento de um grafo liques x VIMs Os VIMs são os cliques do grafo complemento, para grafos não orientados Grafo complemento liques { } { } { } VIMs

5 lgoritmo para gerar os cliques de um grafo Procedimento cliques() // V: onjunto de vértices de um clique // N: andidatos a inclusão em V // NT: Vértices já esgotados início V {}; NT {}; N V(G); rliques(v, N, NT) fim; // cliques Procedimento rliques (onjunto V, onjunto N, onjunto NT) // etermina os cliques de G // Se todos os candidatos foram examinados e V é // independente dos cliques já formadas,então V é um clique Vértice v; onjunto V, N, NT; início se N = {} e NT = {} então *** ncontrou lique V ***; // xamina candidato para estender V senão enquanto N {} faça início v N.escolhe(); V V {v}; N N adj(v); NT NT adj(v); rliques(v,n,nt); N N - {v}; NT NT {v}; fim fim; // rliques xemplo Número cromático?? <V, NT, N> v= <{}, {}, {,,}> v= <{,}, {}, {}> v= <{,,},{},{}> lique {,,} <{,},{},{}> <{},{},{,}> v= <{,},{},{}> lique {,} v= <{,},{},{}>

6 lgoritmo para determinar o número cromático de um grafo xemplo de determinação do número cromático de um grafo. eterminar os conjuntos de vértices interiormente estáveis máximos (IVMs) (cliques do grafo complemento). scolher um dos conjuntos analisar os vértices que sobram Se existe algum conjunto dentro deles, pode ser de outra cor Repetir até esgotar todos os vértices. S ij conjunto a ser colorido com uma cor xemplo de determinação do número cromático de um grafo VIMs: S ={,,} S ={,,} S ={,,} S ={,} S ={,,} sobra: {,,, } xemplo de determinação do número cromático de um grafo {,,} {,,,,} {,,,, } # {,,,,} {,,,, } # {,,} {,,,,} {,,,, } # {,,} {,,,,} {,,,, } # S S ={,,,,} sobra: { } S ={,,,, } cores possibilidade {,} {, } #

7 lgoritmos lgoritmos Procurar um número próximo ao número cromático!!!! Solução : lista de adjacências vetor com as regiões que devem ser coloridas; lgoritmos lgoritmos Solução : lista de adjacências vetor com as regiões que devem ser coloridas; lista com os demais elementos que são as regiões adjacentes a este. [,, ] [,, ] [,,,, ] [,, ] [,, ] [, ] scolhe-se uma região inicial (exemplo: ) e atribui uma cor; Para atribuir cor a, é verificado se dentre as cores existentes, existe uma que não esteja colorindo nenhuma região adjacente a, então essa cor deverá ser escolhida. Se todas as cores existentes estiverem sendo utilizadas em regiões vizinhas a, então uma nova cor é criada. o raciocínio é repetido analogamente para cada uma das regiões subsequentes.

8 usca em Profundidade Programa Principal Montar a lista de adjacências Inicializar a estrutura de cores scolher o vertice Vi de maior grau para ser colorido primeiro hamar a sub-rotina olore_vertice para colorir o vertice Vi escolhido Sub-rotina OLOR-VRTI se o vertice Vk ainda nao foi colorido procurar a cor apropriada se nao existir cor apropriada para colorir o vertice Vk criar uma nova cor fim se colorir o vertice Vk com a cor para todo vertice Vj adjacente a Vk faça chamar a sub-rotina olore_vertice para colorir o vertice Vj fim se usca em Profundidade usca em Profundidade usca em Profundidade djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ]

9 usca em Profundidade usca em Profundidade djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] usca em Profundidade usca em Profundidade djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ]

10 usca em Profundidade número cromático djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] usca em Largura montar a lista de adjacências Programa Principal inicializar a estrutura de cores inicializar a estrutura de fila escolher o verticevi de maior grau para ser colorido primeiro chamar a sub-rotina olore_vertice para colorir o verticevi escolhido inserir o verticevi na fila Q enquanto a fila Q nao estiver vazia faca remove o verticevk da fila para todo verticevj adjacente a Vk faça chamar a sub-rotina olore_vertice para colorir o verticevj inserir Vj na fila fim para fim enquanto se o verticevk ainda nao foi colorido Sub-rotina OLOR-VRTI procurar a cor apropriada se nao existir cor apropriada para colorir o verticevk criar uma nova cor fim se colorir o verticevk com a cor fim se usca em Largura usca em Largura djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ]

11 usca em Largura usca em Largura djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] usca em Largura usca em Largura djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ]

12 usca em Largura número cromático djacência: Vértice : [, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,,, ] Vértice : [,, ] Vértice : [,, ] xercício onsidere a relação de exames requeridos, na mesma época, pelos alunos de uma universidade: ódigo luno 8 isciplinas,,,,,,,,, G dmitindo que um aluno pode executar, no máximo, exame por dia, qual é o menor número de dias necessários para executar todos os exames?. Montar o grafo para a situação descrita acima, considerando: os vértices representam as disciplinas oferecidas uma aresta entre duas disciplina indica que pelo menos um aluno estará cursando as duas disciplinas onclusão: elas não podem acontecer no mesmo período. efinir o número de cliques do grafo. efinir o VIM do grafo. efinir o número cromático ótimo para o grafo gerado no item. Simular o algoritmo de coloração em largura e em profundidade para verificar o número de cores gerado para o grafo. Outro problema: como organizar um horário com o menor número possível de períodos? Os vértices representam disciplinas oferecidas Uma aresta entre duas disciplinas indica que pelo menos um aluno estará cursando ambas onclusão: elas não poderão acontecer no mesmo período