Introdução. Introdução. Introdução. Distância euclidiana. Superfícies de custo

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1 Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica ula Superfícies de custo lexandre Gonçalves DECivil - IST alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt Superfícies de custo. Introdução. Matrizes de distâncias, alocação e direções Usando distância euclidiana ou célula-a-célula Com custos uniformes ou variáveis. Superfícies de custo Construção Isotropia e anisotropia Vizinhanças e métricas locais Regras de obtenção do caminho Extensões. Exemplos em SIG Introdução Localizar um equipamento linear (estrada, caminho-deferro, oleoduto, linha elétrica) ou o caminho ideal para ligar dois pontos pode ser um problema complexo. lém do custo desse equipamento, há custos desiguais consoante o território atravessado, interessando minimizar um custo total. Introdução Problema das sete pontes de Königsberg (resolvido por Euler em 5, deu origem à teoria de grafos) Traçar percursos de custo mínimo, com origem e destino fixos, é um problema clássico modelado por grafos. Problema do caixeiro viajante (Hamilton, séc. XIX) Problema do carteiro chinês (Kuan, ) Problema do caminho de menor custo (Dijkstra, 5) Introdução Caminho de menor custo, facilmente resolvido pelo algoritmo de Dijkstra. Calcula o caminho de menor custo do vértice de origem até todos os outros no grafo. Só funciona com custos positivos. Tem baixa complexidade computacional (não explode num número intratável de soluções possíveis). Distância euclidiana distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células

2 Distância euclidiana há várias células com empate na distância a mais que uma célula de origem: podiam ter outro valor de alocação Distância euclidiana Matriz de alocação com base na distância euclidiana: cada célula tem o valor da célula de origem mais próxima 0 0= Matriz de direções: azimute até à célula de origem mais próxima Distância célula-a-célula 0 0 Diferença entre a distância euclidiana e a distância célula-a-célula distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células consecutivas euclidiana acumulada (Euc) célula-a-célula acumulada (Cost) (Euc-Cost)/Euc Diferença máxima no comprimento ~,% Diferença Distância célula-a-célula iguais iguais Diferença máxima no comprimen to ~,% (Tomlin 0) Matriz de direções ou back-link Cada célula indica a direção da célula vizinha pela qual se atinge a origem mais próxima

3 Distância célula-a-célula Distância célula-a-célula Porque se utiliza? Uma distância é sempre um caminho de menor custo Se se considerar que o custo de atravessamento do espaço não é uniforme, é preciso calcular a proporção do atravessamento de cada célula segundo a distância euclidiana Segundo a distância célula-a-célula, não é necessário células NULL podem representar locais de não-passagem Matriz de alocação Células que mudaram face à matriz de distância euclidiana Superfície de custo Construção de uma superfície de custo. Consideram-se variáveis que expressam os diversos fatores e critérios que determinam o custo (ou esforço, impedância, resistência, tempo, risco...).. Constrói-se a superfície de custo combinando fatores e critérios reduzidos a uma escala comum e ponderados entre si. exemplo: Custo = f(declive; distância a algo; aptidão para algo; ; ) Cada célula representa o custo do seu atravessamento Sinónimos de superfície de custo: matriz de pesos, matriz de custo, matriz de atrito, matriz de resistência, matriz de forças... Construção de uma superfície de custo Obtenção do caminho de menor custo. O grafo é induzido pelas transições entre células. 5 8 Definem-se vizinhanças e transições entre as células que correspondem às arestas do grafo Obtenção do caminho de menor custo. Selecionam-se as células (nós) de origem e destino e executa-se o algoritmo de caminho de menor custo (Dijkstra).

4 0 0 5 > custo Obtenção do caminho de menor custo ,,, 5, 8,0 8,0,,0,0,,0.0, 5,8,8,8, 5,5 0 C (custo,) D (custo,50) Superfície de custo Superfície de custo acumulado resultante do algoritmo de Dijkstra C Sequência de células resultante do algoritmo de Dijkstra D Sequência de células resultante da regra da maior descida Só a sequência de células resultante do algoritmo de Dijkstra garante o caminho de menor custo 5 tipos de matriz. Matriz de pesos, de custo, de atrito, de resistência, superfície de custo (dada). acumulada, de peso acumulado, de custo acumulado (obtida a partir da. e local(ais) de origem). Matriz de direções, de direção de fluxo, de back-link (obtida a partir da. e local(ais) de origem). Caminho ótimo, caminho de menor custo (com base na. e local de destino) 5. Matriz de alocação/associação (com base na.) O caminho de menor custo pode também apresentar-se como uma linha Críticas Extensões Modelo simplista e de aplicação limitada Não modela corretamente certas deslocações ou intervenções no espaço ponte praça migração dos gnus Limitações/ extensões/ possibilidades / problemas... Nulos são barreiras absolutas. Como modelar sentidos proibidos? Como modelar custos dependentes do sentido de atravessamento das células? Como modelar saltos entre células nãoadjacentes? Como modelar novas direções? Como obter faixas / corredores Extensões: anisotropia Extensões: anisotropia nisotropia = custo dependente do sentido Solução por bombagem Solução gravítica < declive (negativo) 0 > declive (positivo) S líquidos em canais (para abastecimento ou condução a estações de tratamento) C isotropia;, e D anisotropia C D

5 uments/sww08menke.pdf Extensões: novas direções e métricas Extensões: novas direções (pontes e túneis) Novas direções +comum Pontes e túneis são saltos entre células não adjacentes Outras métricas 0 0 0,0 0, 0, 0,0 0,,0 0,,0 C D erro máximo absoluto em relação à distância euclidiana: :,%; :,%; C:,%; D:,% +comum exemplo de formulação SC norm ( ) SCnorm ( H H C(, ( ) h D(, C(, ponte D(, custo _ unit _ ponte custo _ altura_ ponte C(, túnel D(, custo_ unit _ túnel norm Extensões: corredores Corredores: faixas que ligam dois locais não excedendo um custo máximo Muito usados em modelação ambiental Extensões: corredores Os corredores obtêm-se:. somando duas superfícies de custo acumulado a partir de dois locais. reclassificando as células da matrizsoma que estão abaixo de certo valor Extensões: corredores s faixas dos corredores não têm largura constante Extensões: desenho de redes com + pontos C caso geral ideal do ponto de vista da minimização do comprimento total - árvore de Steiner C ideal do ponto de vista da utilização distância mínima entre vértices 5

6 Extensões: desenho de redes com + pontos s n Total Número de árvores topologicamente distintas com n vértices e s pontos de Steiner n= s=5 Extensões: desenho de redes com + pontos É fácil encontrar o ponto de Steiner para uma rede que ligue três locais: Somam-se as três superfícies de custo acumulado célula com valor mínimo na matrizsoma é a do ponto de Steiner Com + pontos, o problema é muito mais difícil!