Redes Complexas Aula 3

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1 Redes Complexas Aula 3 Aula passada Caracterizando redes grandes Grau Distâncias Clusterização Aula de hoje Características de redes reais Centralidade de vértices Betweeness, Closeness

2 Três Importantes Características Observed in various real networks ᴏ beginning of modern empirical studies (98, 99) Small world effect My friends are also friends effect Down with democracy effect

3 Small World It's a small world, after all Average distance is very small, diameter is also small Even for very large networks Web 2x10 8 nodes Collaboration network 10 6 nodes Global social network nodes six degrees of separation and many, many others networks! Orders of magnitude smaller, seems logarithmic

4 My Friends are Also Friends If A is related to B and C, then B and C are much more likely to be related Triangles tend to form in networks high clustering coefficient Density: # edges / # nodes = chance of two nodes being related AS Graph: density Neural net C. Elegans: density 0.05 Biology coauthorship: density Orders of magnitude larger!

5 Down with Democracy Node degree is very unequal Many have small degree, few have very large degree Similar to wealth distribution! AS Graph 10 4 nodes avg degree: 5.9 Max degree: ~2100 Citations 10 6 nodes Avg degree: 8.6 Max degree: ~9000 Degree distribution is heavy tail Spans several orders of magnitude Well modeled by power laws in some cases

6 Curiosity and Knowledge Fact I: Many networks have peculiar structural properties (characteristics not expected) Degree, distances, clustering, etc Fact II: Many different networks have similar structural properties Web, Facebook, AS Graph, Neural network, etc. Million dollar question Why? Some answers, but in large we are still trying to understand it

7 Why this Network Structure? Structure as a result of network formation ᴏ Evolution in biological networks (eg. your brain) ᴏ Optimizations in man made network (eg. Internet) But what are is being optimized? ᴏ Desirable network functions, desirable network properties (implicitly or explicitly) Network function determines influences Network structure Co-evolution of function and structure!

8 Centralidade Como medir a importância de um vértice? Utilizando apenas a estrutura Grau do vértice Betweeness Closeness Autovetor Random walks etc. Métricas locais dependem apenas da vizinhança do vértice (Ex. grau) Métrica globais Dependem do grafo inteiro (Ex. Closeness)

9 Centralidade de Grau Grau do vértice Grau do vértice normalizado valor entre 0 e 1 C v = d v n 1 Grafo direcionado, grau de entrada/saída Duas centralidades em grau por vértice

10 Centralidade de Betweeness Considerar todos os caminhos mínimos do grafo Número de caminhos mínimos que passam pelo vértice Exemplo Grafo completo, K n? Grafo estrela, com n folhas?

11 Centralidade de Betweeness Problema: Como definir métrica quando mais de um caminho mínimo existe entre um par origem/destino? empate no custo do caminho mínimo Exemplo Caminho mínimo entre 2 e 4? 2,1,4 ou 2,3,4? Centralidade do vértice 1 e 3?

12 Centralidade de Betweeness Duas abordagens Cada caminho mínimo conta 1 vez Carga dividida pelos caminhos mínimos (cada caminho mínimo conta 1/k para a métrica, para k caminhos) Exemplo B 1 = 1 B 1 = Para muitas redes, diferença é pequena Mas nem sempre!

13 Calculando Betweeness Mais precisamente C v = s, t V ; s, t v v s,t s, t Número de caminhos mais curtos entre s e t que passam por v ou C v = s, t V v s,t Número de caminhos mais curtos entre s e t Pode ser normalizada pelo número total de pares origem/destino (sem contar v) métrica entre 0 e 1

14 Exemplo Cores indicam betweeness Vermelho = 0, azul = máximo Ilustra vértices mais centrais

15 Centralidade de Closeness Utiliza noções de distancia com ou sem pesos Distancia média entre vértice e o resto do grafo C v = capturar o quão central é o vértice t V {v} d v,t n 1 Velocidade com a qual informação se propara de um vértice para o resto da rede

16 Centralidade de Closeness Outras definições Maior distancia a qualquer outro vértice do grafo ecentricidade (eccentricity) do vértice C v =max t V {v } d v, t