Redes Complexas: teoria, algoritmos e aplicações em computação. Virgilio A. F. Almeida DCC UFMG 02/ /10/2009. SOLUÇÕES Propostas

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1 Redes Complexas: teoria, algoritmos e aplicações em computação Virgilio A. F. Almeida DCC UFMG 02/ /10/2009 SOLUÇÕES Propostas Leia e responda precisa e sucintamente as questões. Deixe a memória de cálculo quando for o caso 1) 20 pontos Calcule o coeficiente de agrupamento para cada uma das treliças (lattices) infinitos. No caso (A), cada nodo está conectado a 4 nodos próximos, enquanto no caso (B) são 8 nodos. (A) lattice A: O ``clustering coefficient é 0, pois não existem links diretos entre os vizinhos dos nós. (B) lattice B: : O ``clustering coefficient é 3/7. Cada nodo tem 8 vizinhos, que significa (8 *7/2) conexões possíveis entre eles. Exitem 12 conexões presentes, portanto o CC = 12/28 = 3/7 2) (a) 15 pontos Estime o coeficiente de agrupamento seu no facebook/orkut/(vida real) i.e. estime qual a fração de seus amigos são amigos. Para qualquer valor que voce chegar na sua estimativa do coeficiente de agrupamento, descreva extamente como voce chegou nesse valor. Especificamente, liste todos os passos e formulas usadas. Pontos não serão atribuidos se uma detalhada e lógica descrição da derivação nao for apresentada. Parte (a) Para calcular o CC, nós podemos começar olhando a definição de clustering coefficient, que no caso do seu CC no facebook pode ser definido como o número real de links entre seus amigos dividido pelo total de links se todos amigos resolvessem ser amigos entre si. Assim, se voce tem "N" amigos

2 no facebook e se existem "F" links de amizades entre eles, seu clustering coefficient (CC) é CC = F / ( N * (N 1) / 2 ), pois "N * (N 1) / 2" é o número máximo possível de links de amizade entre N pessoas. Tipicamente voces devem ter uma idéia do valor de ``N (lembram de um colega de sala que disse ter 150 amigos?), então o problema se reduz a estimar o valor de "F". A seguir, estã descritas algumas formas possíveis de fazer uma estimativa para ``F. I) Se voce soubesse que na média, voce compartilha K amigos comuns com cada um dos amigos facebook, então voce poderia calcular o valor de F como F = N * K / 2. A lógica aqui é que cada um de seus amigos compartilha K amigos com voce na média, portanto devem existir um total de N * K / 2 amizades entre seus amigos. Divide se por 2 para evitar dupla contagem de casos como A >B e B >A como amizades distintas. Assim, o problema de estimar CC se reduz estimar K. Isso pode não ser tão dificil em Online Social Networks. Por exemplo, facebook oferece a informação Amigos em comum, para cada amigo da lista. Pode se então selecionar uma amostra do facebook e estimar um valor médio. Se esse número for K', então CC é dado por CC = F / ( N * (N 1) / 2 ), = (N * K' / 2 )/ ( N * (N 1) / 2 ) = K' / ( N 1 ) II) Uma segunda maneira de estimar K é assumir que voce pretence a vários grupos de amigos, onde todos os membros são amigos entre si, mas não são amigos de ninguém fora do grupo É uma hipótese muito forte, mas pode ser uma aproximação representativa de alguém que pertence a vários grupos disjuntos de amigo, cada um extremamente coeso e isolado. Nesse caso, então podemos agrupar nossos amigos em "m" grupos G1, G2,..., Gm, e assumir que o número de amizades (links) dentro de cada grupo é igual a Fi = Ni * ( Ni 1 ) / 2, onde Ni é o tamanho do i ésimo grupo, Gi. Isso nos permite estimar o ``clustering coefficient como CC = ( F1 + F Fm ) / ( N * (N 1) / 2 ) pois existe um total de "F = F1 + F Fm" amizades, considerando que não exitem amizades inter grupos i.e., (fora do clique) III) Uma terceira possibilidade seria especificar aplicações que estimam F diretamente. Se voce tem muito poucos amigos no facebook, poderia manualmente visitor todos e contar as vizinhanças. Existem as seguinets aplicações que poderiam ajudar: "Friends Wheel", "Nexus Friend Grapher", ou"most Mutual Friends". (b) 15 pontos Discuta até onde voce confia ou não na sua estimative. Isto é, quão precisa voce pensa que sua estimativa é. Como voce poderia melhorar sua precisão se tivesse tempo e recursos adicionais. Quais recursos seriam esses? Nesta resposta, era necesário discutir as hipóteses e as fórmulas usadas para estimar CC, nos métodos da parte (a). No que se refere a melhorias, algumas possibilidades são: usar maiores amostras, encontrar meios de refinar as

3 partições de amigos em cliques, ou escrever scripts para crawl sua rede amigos, identificando as relações de amizades, no facebook, orkut, twitter. Numa possibilidade inviável, poderia se fazer um dump detalhado de memória, numa planilha ir identificando os amigos e estimando quem é amigo de quem. 3) Lembre se que o pior diâmetro de uma rede não orientada é o maior caminho entre dois pares quaisquer de vertices da rede. a) 10 pontos desenhe uma rede não orientada de 12 vertices com maior diâmetro possível. Indique os 2 vértices que tem o maior caminho mínimo. DIÂMETRO = 11 obs: nos desenhos abaixo tem se 10 nodos ao invés de 11, apenas para re usar desenhos prontos. b) 10 pontos Desenhe uma rede não orientada de 12 vertices consistindo de 11 vértices e 10 arestas com o menor diâmetro possível. Qual é o diâmetro? DiÂMETRO = 2 c) 10 pontos Desenhe uma rede não orientada de 12 vertices, cada um de grau 2, com o menor diâmetro possível. Qual é o diâmetro? DIÂMETRO = 6

4 4) 20 pontos Em uma rede de computadores, cada vértice é um computador e cada aresta uma conexão da rede. O mapa da rede ou a topologia da rede (vertices e suas coenxões) é armazenada em cada computador vértice da rede. As mensagens são enviadas nessa rede contend o nome do destino e são passadas e cada vértice para os vizinhos até chegarem no destino. Quando um computador recebe uma mensagem destinada para outro computador, ele procura a localização do destino e calcula o menor caminho para o destinousando o mapa armazendo em sua memória e encaminah a mensagem para o próximo vértice no caminho. Considere dois projetos para essa rede. O primeiro usa um pequeno número de hubs conectados um ao outro e a maior parte dos vértices é conectado aos hubs. O segundo projeto é mais distribuido com cada vértice conectado a vários outros, mas não existem vértices com alto graus (ie, não existem hubs). Quais são as vantagens e desvantagens de cada projeto? Considere coisas como roteamento de mensagens, custo, suscetibilidade a falhas, velocidade da entrega das mensagens, e qualquer coisa que seja relevante pensar Vamos pensar em modelos para os dois projetos que se modelam como uma rede do tipo do tipo free scale e random network. A primeira tem alto grau de agrupamento Assumindo que os hubs podem tratar a capacidade de tráfego que eles recebem, as messagens chegarão mais rapidamente ao destino com o primeiro

5 projeto, pois a rede de hubs terá um diâmetro médio menor. (i.e., power-law graphs having 2 < γ < 3 will also have ultra-small diameter d ~ ln ln N.) Entretanto, a maior parte das mensagens sera roteada através dos hubs e se os hubs ``ficarem lentos devido a congestionamento, a maior parte do tráfego será afetada. Desde que os hubs recebem maior parte do tráfego, os sistemas dos hubs devem ser mais rápidos e ter maior capacidade, que pode aumentar o custo do projeto. No segundo projeto, as demandas sao mais baixas e requerem conexões mais baratas. No entanto o segundo projeto tem mais conexões, que pode aumentar o custo total dependendo do número de links da rede. Os dois projetos tem diferentes respostas para falhas de nodos da rede. Se assumirmos que um vértice falha ao acaso (aleatoriamente), então o projeto dos hubs é mais resistente a falhas. Ou seja, a probabilidade da falha ocorrer em um hub é menor que para os outros nodos (que são mais numerosos). Assim a saída da rede de um nó comum não afetará muito o tráfego, desde que os hubs transportam maior parte das mensagens. Nos sistemas reais no entanto a probabilidade falha não é uniforme. Se considerarmos que um sistema muito usado (ex.: memory leakage) é mais provável de falhar, então os hubs são mais suscetíveis a falhas que os nodos comuns. No primeiro projeto, se os hubs falaham, a rede separar se em partes desconexas e nessa situação é melhor não ter hubs.

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