Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Aula #2c

Transcrição

1 Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Aula #2c Virgílio A. F. Almeida Abril 2010 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais

2 Sobre o método científico Nature April 2010

3 Servidor Web: medições experimentais Request No. CPU time (sec) I/O time (sec) Elapsed time (sec) Average

4 Servidor Web: medições experimentais como descrever? e se fosse uma grande quantidade de dados? Request No. CPU time (sec) I/O time (sec) Elapsed time (sec) Average

5 Servidor Web: medições Request No. CPU time (sec) I/O time (sec) Elapsed time (sec) Average Como sumarizar os dados experimentais?

6 P f B D i M é& Al id Performance By Design, Menascé & Almeida exemplos preparados por Daniel Menascé

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49 Distribuições ib i Comuns de Variáveis i Aleatórias Discretas 1. Uniforme 2. Bernoulli 3. Binomial 4. Geometrica 5. Poisson

50 Distribuição Discreta Uniforme A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade p X (i) = 1/n, 1 i n pmf p X ( x i ) 1/ = 0, n, se caso x i X contrário CDF: F( t) t = p X ( i) = i=1 t n

51 Variável de Bernoulli V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {0,1} A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que: Função de massa de probabilidade: p = P(X ( = 1) q = 1 p = P ( X = 0)

52 Distribuição de Bernoulli CDF p+q=1 q x

53 Binomial Numa distribuição binomial, tem se: 1. Todos experimentos são independentes. 2. Número de sucessos x numa sequência de experimentos de Bernoulli. 2. Cd Cada resultado é um successo ou falha. 3. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1 p. 4. Uso do modelo: número de processadores down num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

54 Binomial

55 Distribuição Binomial A distribuição binomial com parâmetros n 0 and 0 < p < 1, is n x n x px ( ) = x p ( p ) 1 Qual a média e variância????

56 Distribuição Binomial A distribuição binomial comparametros n 0 and 0 < p < 1, is n x n x px ( ) = x p ( p ) 1 A média e variância i da binomial i são: μ 2 = np σ = np( 1 p)

57 Distribuição Geométrica Número de experimentos até incluir o 1 o sucesso. Em geral, S pode ter um tamanho infinitamente contável Definir a v.a Z ( S): amostra: 0 i-1 1 = i Por causa da independência:

58 Geométrica

59 Geométrica A distribuição geometrica é a única distribuição discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS. Resultados futuros são independentes de eventos passados. n experimentos completaram todos com falhas. Y experimentos adicionais são executados antes de um sucesso, i.e. Z = n+y or Y=Z-n

60 Geométrica: ausência de memória Y=Z-n ) ( ) ( n Z i n Z P n Z i Y P > = = > = = ) ( ) ( n Z and i n Z P n Z i n Z P > + = = > + = = ) ( ) ( ) ( ) ( i n p i n Z P i n Z P n Z P Z + = + = = + = = > = ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 i pq n F n F n Z P i i n Z Z = = > = + ) ( ) (1 1 i p pq q pq Z i n = = =

61 V.A. Geometrica Exercício: Mostre que x= 1 P ( x) = 1 and E( x) = X 1 p

62 Poisson: propriedades Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto: Espera se que: O início de cada transação é independente dos outros; Para cada pequeno intervalo de tempo Δt, a probabilidade de uma nova transação chegar é λδt A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo é zero! O processo de Poisson tem as propriedades acima.

63 Distribuição ib i de Poisson Função de massa de probabilidade bilid d (pmf): p k = { ( ) = k} P N t = e λt ( λtλ t ) k! k CDF: F ( x) = x e λt k=00 ( λ t ) k! k

64 Poisson

65 Poisson pmf p k λt=1.0

66 Poisson pmf p k λt=4.0

67 Poisson Uma v.a. de Poisson X tem sua pmf:: λ x λ P( X = x) = e x= 0,1,2,... x! Onde λ > 0 é uma constante λ Exercicio: i mostre que: E(X) = λ Σ P ( x ) = 1 E(X) = λ Σ x= 0 X

68 Poisson: aplicações A v.a. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chega num servidor em uma hora, ou o número de queries que chega numa máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chega num roteador em 1 segundo.

69 Exponencial

70 Search Algorithms: Is the Web Graph a Random graph? No! Random graph G n,p : n nodes Every directed edge occurs with probability p Is the Web graph a random graph G n,p? The probability of high degrees decrease exponentially In a random graph degrees are distributed according to a Poisson distribution Therefore: The degree of a random graph does not obey a power law

71 Experimental results Player/Stage simulations; Sensor Network of 25 motes; Groups of 1-4 robots, 10 trials/group 10Alarmsaredrawnfrom the Poisson distribution with λ=1/60; Empty environment, A = 576 m 2

72 Exercícios 1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t Calcule a seguintes probabilidades: Exatamente tres mensagens chegarão num intervalo de 10 seg. No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg. O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails. 2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10 ( 4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?