Teoria dos Grafos Caminhos. Profª. Alessandra Martins Coelho

Transcrição

1 Teoria dos Grafos Caminhos Profª. Alessandra Martins Coelho junho/2014

2 Conexidade Em grande parte de aplicações do modelo em grafos, as relações que envolvem os vértices formam uma estrutura contínua; Os vértices são todos ligados entre si através das relações. Os percursos em grafos normalmente também são definidos sobre grafos conexos.

3 Conexidade Tema que antecede grande parte dos problemas em grafos, não somente os percursos ou caminhos. Aplicações: Comunicações Planejamento da produção Logística Transporte

4 Vértices Fortemente Conectados Dois vértices i e j estão fortemente conectados em um grafo direcionado G, se existe caminho direcionado de i para j e de j para i em G. Dois vértices i e j estão fortemente conectados em um grafo não direcionado G, se existem dois caminhos distintos em arestas de i para j em G.

5 Vértices Fracamente Conectados Conceitos exclusivo de grafos direcionados. Dois vértices i e j estão fracamente conectados em um grafo direcionado G, se existe apenas um caminho direcionado de i para j ou de j para i em G.

6 Grafo Fracamente Conexo Um grafo direcionado G conexo é dito fracamente conexo quando existe pelo menos um par de vértices i e j em G tal que o número de caminhos entre i e j é menor que 1.

7 k-conexidade Os grafos direcionados das figuras (1) e (2) são conexos. fortemente conexo? (1) (2)

8 k-conexidade Os grafos direcionados das figuras (1) e (2) são conexos. Entretanto, apenas o grafo (1) é fortemente conexo (todos os pares de vértice estão fortemente conectados). Em (2) não existe caminho direcionado do vértice 5 para qualquer vértice do grafo. Grafo fortemente conexo Grafo fracamente conexo

9 Se um grafo não é fortemente conexo, podemos estar interessados em saber quais são os seus subgrafos que são fortemente conexos. Cada um desses subgrafos é chamado componente fortemente conexo

10 Se um grafo não é fortemente conexo, podemos estar interessados em saber quais são os seus subgrafos que são fortemente conexos. Cada um desses subgrafos é chamado componente fortemente conexo

11 Se um grafo não é fortemente conexo, podemos estar interessados em saber quais são os seus subgrafos que são fortemente conexos. Cada um desses subgrafos é chamado componente fortemente conexo

12 Se um grafo não é fortemente conexo, podemos estar interessados em saber quais são os seus subgrafos que são fortemente conexos. Cada um desses subgrafos é chamado componente fortemente conexo

13 Se um grafo não é fortemente conexo, podemos estar interessados em saber quais são os seus subgrafos que são fortemente conexos. Cada um desses subgrafos é chamado componente fortemente conexo

14 Considerando cada componente conexo como um vértice, o grafo pode ser visualizado como:

15 Considerando cada componente conexo como um vértice, o grafo pode ser visualizado como: uma representação de como ir de um componente a outro componente

16 k-conexidade Generaliza o conceito de conexidade forte. Uma sequência de graus é dita k-conexa se existe um grafo k-conexo que corresponda à sequência de graus. Exemplo: {1,2,1} é 1-conexa {2,2,2} é 2-conexa

17 Grafo k-aresta-conexo Um grafo é dito k-aresta-conexo se é necessário remover pelo menos k arestas para desconectar G.

18 Grafo k-vértice-conexo Um grafo é dito k-vértice-conexo se é necessário remover pelo menos k vértices para desconectar G.

19 k-conexidade Um grafo é dito k-conexo quando nele existem pelo menos k caminhos disjuntos em vértices ligando cada para de vértices. Um grafo dito 2-conexo é um grafo fortemente conexo e vice-versa.

20 k-conexidade Um grafo é dito k-conexo quando nele existem pelo menos k caminhos disjuntos em vértices ligando cada para de vértices. Um grafo dito 2-conexo é um grafo fortemente conexo e vice-versa. grafo 3-conexo

21 k-conexidade Um grafo é dito k-conexo quando nele existem pelo menos k caminhos disjuntos em vértices ligando cada para de vértices. Um grafo dito 2-conexo é um grafo fortemente conexo e vice-versa. grafo 3-conexo Caminho entre os vértices 3 e 2 3-desconexão em vértices

22 k-conexidade Um grafo é dito k-conexo quando nele existem pelo menos k caminhos disjuntos em vértices ligando cada par de vértices. Um grafo dito 2-conexo é um grafo fortemente conexo e vice-versa. grafo 3-conexo Caminho entre os vértices 3 e 2 3-desconexão em vértices 3-desconexão em arestas

23 Matriz de Ciclos Dado um grafo G=(N,M) com p ciclos distintos, uma matriz de ciclos de G, B=[bij], é uma matriz cxm com elementos bij [0,1], tais que: bij=1, se a aresta j pertence ao ciclo i bij = 0, caso contrário

24 Matriz de Ciclos

25 Matriz de Ciclos Fundamentais Uma matriz de ciclos fundamentais ou de fciclos de um grafo conexo G=(N,M) com número ciclomático γ e m arestas, em relação a uma subárvore geradora T de G é uma matriz de dimensão γxm com elementos bij [0,1], tais que: Bij=1, se a aresta j participa do ciclo fundamental i de G em relação a T. bij = 0, caso contrário

26 Matriz de Ciclos Fundamentais Considere o subgrafo T do Grafo G dado, induzido pelo conjunto de arestas {e,f,g,h}. T é é uma árvore geradora de G. Com tais arestas é possível formar quais ciclos fundamentais?

27 Matriz de Ciclos Fundamentais Considere o subgrafo T do Grafo G dado, induzido pelo conjunto de arestas {e,f,g,h}. T é é uma árvore geradora de G. Com tais arestas é possível formar quais ciclos fundamentais?

28 Algoritmo de Warshall para fechos transitivos O algoritmo constrói umas sequências de grafos Gi, 0<=i<=n, representados por suas matrizes de adjacência, através da adição de arestas.

29 Algoritmo de Warshall para fechos transitivos Ler G = (N,M) //direcionado fecho A //matriz de adjacência para(k=1;k<=n;k++) para(i=1;i<=n;i++) para(j=1;j<=n;j++) fecho[i][j]=fecho[i][j] (fecho[i][k] && fecho[k][j]); fim-para; fim-para; fim-para.

30 Exemplo 1

31 Exemplo 2

32 Caminhos em grafos Dentre os caminhos existentes em grafo, o caminho mais curto é o mais importante. Possui diversas variantes Algumas caracterizam problemas de otimização e são NP-difíceis.

33 Caminho mais curto grafo não ponderado O caminho mais curto entre os vértices v e w em um grafo não ponderado é aquele que acumula o menor número de arestas entre os referidos vértices.

34 Caminho mais curto grafo não ponderado O caminho mais curto entre os vértices v e w e um grafo não ponderado é aquele que acumula o menor número de arestas entre os referidos vértices.

35 Caminho mais curto grafo ponderado O caminho mais curto entre os vértices v e w de um grafo G ponderado em arestas é aquele cuja soma dos pesos das arestas tem o menor valor possível dentre todos os caminhos existentes entre v e w.

36 Caminho mais longo grafo não ponderado É aquele que acumula o maior valor possível dentre todos os caminhos existentes entre v e w (grafo ponderado)

37 Caminho mais longo grafo ponderado É aquele percorre o maior número de arestas entre os referidos vértices (grafo não ponderado)

38 Caminho mais curto com custos nos vértices O caminho mais curto entre os vértices i e j de um grafo G ponderado em vértices e arestas é aquele cuja soma dos pesos das arestas e dos vértices tem o menor valor possível dentre todos os caminhos existente entre i e j.

39 Caminho disjuntos em arestas Dois caminhos v-w são ditos disjuntos em arestas quando não possuem aresta em comum.

40 Partição de G em Caminhos Disjuntos Dado um grafo G=(N,M), uma partição de G em caminhos disjuntos em vértices é um conjuntos de caminhos P1=(N1, M1),..., r=(nr, Mr) em G.

41 O problema dos Caminhos Disjuntos em Arestas Dados um grafo G=(N,M) não direcionado e um conjunto S de pares de vértices terminais, o problema dos caminhos disjuntos em arestas consiste em conectar através de caminhos disjuntos em arestas tantos pares do conjunto S quantos forem possíveis.

42 O problema de Caminhos Disjuntos em Vértices Dados um grafo G=(N,M) não direcionado e um conjunto S de pares de vértices terminais, o problema dos caminhos disjunto em vértices consiste em conectar através de caminhos disjuntos em vértices tantos pares do conjunto S quantos forem possíveis.

43 Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de rotulação de vértices para encontrar os caminhos mais curtos de uma origem para todos os outros vértices em grafos com custos positivos nos arcos.