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1 Do princípio da casa dos pombos a computação móvel! Instituto de Matemática e Estatística - IME - USP Maio, 2012

2 Introdução Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas Redes reais Grafos aleatórios Fatos sobre grafos aleatórios Modelos de para redes complexas Computação móvel

3 Grafos aleatórios e Redes complexas Começando a pensar...

4 Grafos aleatórios e Redes complexas Começando a pensar...

5 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Paul Erdős...

6 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Paul Erdős... Um matemático é uma máquina para transformar café em teoremas (Paul Erdős)

7 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Definição

8 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Definição Grafo G = (V,E)

9 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Definição Grafo G = (V,E) V(G) = [n] = {1,2,...,n}

10 Grafos aleatórios e Redes complexas Grafos aleatórios Definição Grafo G = (V,E) V(G) = [n] = {1,2,...,n} Arestas com probabilidade p

11 Grafos aleatórios e Redes complexas Parece-nos proveitoso considerar, além de grafos, também estruturas mais complexas a partir do mesmo ponto de vista, i.e., para investigar as leis que regem a sua evolução em um espírito similar. Desta forma, seria interessante não só do ponto de vista puramente matemático. Na verdade, a evolução de grafos pode ser vista como um modelo mais simplificado de evolução de certas redes de comunicação... (1960 Erdős e Rényi)

12 Grafos aleatórios e Redes complexas Parece-nos proveitoso considerar, além de grafos, também estruturas mais complexas a partir do mesmo ponto de vista, i.e., para investigar as leis que regem a sua evolução em um espírito similar. Desta forma, seria interessante não só do ponto de vista puramente matemático. Na verdade, a evolução de grafos pode ser vista como um modelo mais simplificado de evolução de certas redes de comunicação... (1960 Erdős e Rényi) Primeiro celular foi criado em Abril de 1973

13 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas

14 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas Rede Complexa é uma forma de modelar a natureza onde as propriedades de um elemento são resumidas às conexões que ele estabelece com outros elementos do mesmo sistema. (Fonte: Wikipedia)

15 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas Rede Complexa é uma forma de modelar a natureza onde as propriedades de um elemento são resumidas às conexões que ele estabelece com outros elementos do mesmo sistema. (Fonte: Wikipedia) Redes muito grandes

16 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas Rede Complexa é uma forma de modelar a natureza onde as propriedades de um elemento são resumidas às conexões que ele estabelece com outros elementos do mesmo sistema. (Fonte: Wikipedia) Redes muito grandes Motivação:

17 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas Rede Complexa é uma forma de modelar a natureza onde as propriedades de um elemento são resumidas às conexões que ele estabelece com outros elementos do mesmo sistema. (Fonte: Wikipedia) Redes muito grandes Motivação: Crescente interesse em estudar propriedades fundamentais de redes reais...

18 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas - Internet

19 Grafos aleatórios e Redes complexas Redes complexas - Internet Figura: https://www.fractalus.com/steve/stuff/ipmap/

20 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns.

21 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns. Modelo Small Word

22 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns. Modelo Small Word : A distância entre dois vértices é pequena.

23 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns. Modelo Small Word : A distância entre dois vértices é pequena. Modelo Scall-free

24 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns. Modelo Small Word : A distância entre dois vértices é pequena. Modelo Scall-free : Número de vértices com grau k decai como uma potência inversa de k:

25 Redes reais Redes reais Compartilham algumas características comuns. Modelo Small Word : A distância entre dois vértices é pequena. Modelo Scall-free : Número de vértices com grau k decai como uma potência inversa de k: N k c n K τ, onde N k é número de vértices com grau k.

26 Redes reais Exemplo de rede complexa Small world e Scall-free :

27 Redes reais Exemplo de rede complexa Small world e Scall-free : Paul Erdős novamente...

28 Redes reais Exemplo de rede complexa Small world e Scall-free : Paul Erdős novamente... A rede do número de Erdős. (Mais informações:

29 Redes reais Grafo de colaboradores Figura:

30 Redes reais Grau do grafo de colaboradores Figura: Pegar referência!!!!

31 Redes reais Outras redes reais

32 Redes reais Outras redes reais Seis graus de separação e Redes sociais

33 Redes reais Outras redes reais Seis graus de separação e Redes sociais Jogo Kevin Bacon

34 Redes reais Outras redes reais Seis graus de separação e Redes sociais Jogo Kevin Bacon World-wide web

35 Fatos sobre grafos aleatórios Voltando aos grafos aleatórios de Erdős-Rényi

36 Fatos sobre grafos aleatórios Voltando aos grafos aleatórios de Erdős-Rényi Giant component é um fato muito interessante

37 Fatos sobre grafos aleatórios Voltando aos grafos aleatórios de Erdős-Rényi Giant component é um fato muito interessante Não é scale free

38 Fatos sobre grafos aleatórios Voltando aos grafos aleatórios de Erdős-Rényi Giant component é um fato muito interessante Não é scale free Base de outros modelos

39 Fatos sobre grafos aleatórios Voltando aos grafos aleatórios de Erdős-Rényi Giant component é um fato muito interessante Não é scale free Base de outros modelos Claro que, se com objetivos de descrever uma situação real, devemos substituir a hipótese de equiprobabilidade de todas as ligações por alguma hipótese mais realista (1960 Erdős e Rényi)

40 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios

41 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios Grafos aleatórios generalizado: Modificação de G(n, p) para ser scale-free pesos nos vértice s.

42 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios Grafos aleatórios generalizado: Modificação de G(n, p) para ser scale-free pesos nos vértice s. Estático!

43 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios Grafos aleatórios generalizado: Modificação de G(n, p) para ser scale-free pesos nos vértice s. Estático! Modelos de configuração: Criar aleatoriamente um grafo onde o grau de seus vértices são pre-determinados e satisfazem uma sequência (d i ) i [n].

44 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios Grafos aleatórios generalizado: Modificação de G(n, p) para ser scale-free pesos nos vértice s. Estático! Modelos de configuração: Criar aleatoriamente um grafo onde o grau de seus vértices são pre-determinados e satisfazem uma sequência (d i ) i [n]. Estático!

45 Modelos de para redes complexas Modelos de grafos aleatórios para redes complexas Outros modelos de grafos aleatórios Grafos aleatórios generalizado: Modificação de G(n, p) para ser scale-free pesos nos vértice s. Estático! Modelos de configuração: Criar aleatoriamente um grafo onde o grau de seus vértices são pre-determinados e satisfazem uma sequência (d i ) i [n]. Estático! Modelos de ligação preferêncial: Grafo evolui adicionando e/ou removendo um vértice ao grafo a cada passo.

46 Exemplo de pesquisa em computação móvel

47 Exemplo de pesquisa em computação móvel Understanding robustness of mobile networks through temporal network measures Salvatore Scellato - Cambridge Ilias Leontiadis - Cambridge Cecilia Mascolo - Cambridge Prithwish Basu - BBN Technologies Murtaza Zafer - IBM Research Doi: IEEE INFOCOMM 11: International Conference on Computer Communications

48 Apresentando o trabalho Contribuições

49 Apresentando o trabalho Contribuições Descrever o conceito de redes temporais robustas

50 Apresentando o trabalho Contribuições Descrever o conceito de redes temporais robustas Como mensurar a robustez de uma rede sobre diferentes classes de modelos aleatórios.

51 Apresentando o trabalho Contribuições Descrever o conceito de redes temporais robustas Como mensurar a robustez de uma rede sobre diferentes classes de modelos aleatórios. Aproximações estáticas podem dar falsas informações!

52 Robustez de redes

53 Robustez de redes Comportamento das métricas

54 Robustez de redes Comportamento das métricas Remoção de arestas

55 Robustez de redes Comportamento das métricas Remoção de arestas cresce as distâncias entre os nós

56 Métricas Métricas para redes temporais

57 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i )

58 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i ) Caminho temporal

59 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i ) Caminho temporal: tempo para informação entre dois vértices.

60 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i ) Caminho temporal: tempo para informação entre dois vértices. Menor distancia temporal

61 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i ) Caminho temporal: tempo para informação entre dois vértices. Menor distancia temporal: se não existe caminho!

62 Métricas Métricas para redes temporais Grafo temporal: Sequência de grafos G(t 1 ),G(t 2 ),...,G(t i ) Caminho temporal: tempo para informação entre dois vértices. Menor distancia temporal: se não existe caminho! Média da distancia tempral: L(t 1,t 2 ) = 1 N(N 1) d ij (t 1,t 2 ) i,j

63 Métricas Eficiência temporal: E(t 1,t 2 ) = 1 1 N(N 1) d ij (t 1,t 2 ) [0,1] i,j

64 Métricas Eficiência temporal: E(t 1,t 2 ) = d ij e d ji contribuem 2x! 1 1 N(N 1) d ij (t 1,t 2 ) [0,1] i,j

65 Métricas Métrica de robustez temporal!

66 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D.

67 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D. D Remoção de arestas no tempo t D

68 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D. D Remoção de arestas no tempo t D E GD E G

69 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D. D Remoção de arestas no tempo t D E GD E G Perda de eficiência: E(G,D) = E G E GD

70 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D. D Remoção de arestas no tempo t D E GD E G Perda de eficiência: E(G,D) = E G E GD Robustez temporal:

71 Métricas Métrica de robustez temporal! Grafo temporal G e dano D. D Remoção de arestas no tempo t D E GD E G Perda de eficiência: E(G,D) = E G E GD Robustez temporal: R G (D) = 1 E(G,D) E G = E G D E G [0,1]

72 Modelos temporais Modelos comparados no artigo

73 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi

74 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p)

75 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T)

76 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos

77 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov

78 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar.

79 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar. Modelo de rede temporal baseado em mobilidade

80 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar. Modelo de rede temporal baseado em mobilidade: Usa modelo de mobilidade!

81 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar. Modelo de rede temporal baseado em mobilidade: Usa modelo de mobilidade! Distância espacial influencia!

82 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar. Modelo de rede temporal baseado em mobilidade: Usa modelo de mobilidade! Distância espacial influencia! Random waypoint model(rwp): Individual

83 Modelos temporais Modelos comparados no artigo Modelo de rede temporal Erdős e Rényi : G(n,p) G(n,p,T) Não existe relação entre a sequência de grafos Modelo de rede temporal baseado em cadeias de Markov : Probabilidade q: remover e p: adicionar. Modelo de rede temporal baseado em mobilidade: Usa modelo de mobilidade! Distância espacial influencia! Random waypoint model(rwp): Individual Random Wapoint Group Model(RWGP): Grupos liderados

84 Estratégia de simulação Simulação

85 UFA!!!!

86 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad

87 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number

88 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1)

89 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!!

90 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!! Festas:

91 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!! Festas: Liberté, Egalité, SeCSualité - Sociais (FFLCH) BEER PONG - PSICO/RI

92 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!! Festas: Liberté, Egalité, SeCSualité - Sociais (FFLCH) BEER PONG - PSICO/RI Bar: Turabão - Começo da vital

93 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!! Festas: Liberté, Egalité, SeCSualité - Sociais (FFLCH) BEER PONG - PSICO/RI Bar: Turabão - Começo da vital Vila Madalena

94 Sugestões Livro: Random Graphs and Complex Networks - R. van der Hofstad Filme: N is a number Disciplina: Métodos probabiĺısticos para teoria da computação e combinatória, Prof. Yoshiharu Kohayakawa (Erdős number 1) Use L A TEX!!! Festas: Liberté, Egalité, SeCSualité - Sociais (FFLCH) BEER PONG - PSICO/RI Bar: Turabão - Começo da vital Vila Madalena Seja Vegano! 2

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