Matemática. Euclides Roxo. David Hilbert. George F. B. Riemann. George Boole. Niels Henrik Abel. Karl Friedrich Gauss.

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1 Matemática Jacob Palis Álgebra 1 Euclides Roxo David Hilbert George F. B. Riemann George Boole Niels Henrik Abel Karl Friedrich Gauss René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Nicolaus Bernoulli II

2 2 Matemática Álgebra

3 MATEMÁTICA Matemática Álgebra 3 SUMÁRIO DO VOLUME ÁLGEBRA Introdução Equação linear Sistema de equações lineares Classifi cação de um sistema linear Sistema linear homogêneo Sistema linear escalonado Escalonamento de um sistema linear Noções sobre matrizes Introdução Defi nição Matriz transposta Matrizes especiais Operações com matrizes Matrizes comutáveis Matrizes associadas a um sistema linear Matriz inversa 79

4 4 Matemática Álgebra SUMÁRIO DO VOLUME TRIGONOMETRIA Circunferência e arcos Circunferência Arcos de circunferência Medida de um arco Comprimento da circunferência Comprimento de um arco de uma circunferência Conversão de unidades Circunferência trigonométrica Introdução Defi nições e elementos Arcos trigonométricos Extensão do conceito de arco trigonométrico Arcos Côngruos Arcos e Números Funções trigonométricas Introdução A razão seno A razão cosseno A razão tangente Função tangente 152

5 MATEMÁTICA Matemática Álgebra 5 SUMÁRIO COMPLETO VOLUME 1 UNIDADE: ÁLGEBRA 1. Sistemas lineares 2. Noções sobre matrizes UNIDADE: TRIGONOMETRIA 1. Circunferência e arcos 2. Circunferência trigonométrica 3. Funções Trigonométrica: Seno, Cosseno e Tangente VOLUME 2 UNIDADE: ÁLGEBRA 3. Noções sobre determinantes 4. Análise combinatória UNIDADE: TRIGONOMETRIA 4. Funções Trigonométrica: Cotangente, Secante e Cossecante 5. Equações trigonométricas 6. Inequações trigonométricas 7. Noções sobre áreas de fi guras planas UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL 1. Noções sobre Geometria Espacial de Posição 2. Poliedros 3. Prismas VOLUME 3 UNIDADE: ÁLGEBRA 5. Probabilidade 6. Somatório 7. Números binomiais UNIDADE: GEOMETRIA ESPACIAL 4. Pirâmides 5. Cilindro 6. Cone 7. Esfera

6 6 Matemática Álgebra

7 Matemática Álgebra 7 ÁLGEBRA 1. SISTEMAS LINEARES 1.1 Introdução Em Matemática, a palavra linear está intimamente ligada à ideia de expressão de primeiro grau. Isso ocorre porque, quando uma variável é função linear de outra, existe uma sentença matemática de primeiro grau que as relaciona. Existem diversas situações cotidianas, físicas, dentre outras, que podem ser representadas por meio de interessantes problemas matemáticos, os quais resolvemos utilizando equações e sistemas lineares. Observe as seguintes situações-problema: Situação-problema 1 Uma certa loja de materiais esportivos realiza uma promoção, na qual está vendendo, por um mesmo preço, qualquer par de tênis; por um mesmo preço, qualquer par de meias, e por um mesmo preço, qualquer tipo de camiseta. Luciana comprou 1 par de tênis, 2 camisetas e 2 pares de meias, gastando R$ 340,00. Luís comprou 2 pares de tênis, 2 pares de meias e 1 camiseta, gastando R$ 420,00. Patrícia comprou 3 camisetas, 3 pares de meias e 1 par de tênis, gastando R$ 435,00. Qual é o preço de cada um desses produtos? Situação-problema 2 Sabe-se sobre a Física que, num circuito elétrico, a corrente que entra num nó (cruzamento de fios) é igual à corrente que sai desse nó. Observe esta figura que mostra parte de um circuito elétrico percorrido pelas correntes elétricas i 1, i 2, i 3, 2A, 3A, 4A e 8A indicadas e, depois, faça o que se pede. i 1 2A 8A i 2 i 3 4A 3A a) Obtenha as equações lineares que relacionam i 1 e i 2 bem como i 2 e i 3. b) Obtenha os valores de i 1, i 2 e i 3, sabendo que i 3 = 6i 1. Logo, para resolvermos problemas como esses e outros que se permeiam por vários outros campos do raciocínio matemático é que estudaremos, a seguir, as definições e os métodos de resolução de sistemas lineares. 1.2 Equação linear Suponha que, num certo mês, Gustavo receba seu salário de R$ 1.000,00 apenas em cédulas de R$ 100,00. Porém, decide trocá-las apenas por cédulas de R$ 5,00, R$ 20,00 e/ou R$ 50,00. Sabendo-se que ele deseja receber o maior número possível de notas de R$ 50,00 e que receberá notas dos três valores considerados, determine o menor número possível de cédulas que Gustavo receberá.

8 8 Matemática Álgebra Nessas condições, podemos supor que Gustavo irá receber x notas de R$ 5,00, y notas de R$ 20,00 e z notas de R$ 50,00. Desse modo, a relação existente entre as quantidades x, y e z pode ser expressa por 5x + 20y + 50z = A essa expressão dá-se o nome de equação linear ou equação do 1 o grau com três incógnitas. Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante e variáveis do primeiro grau, podendo apresentar mais de um tipo de variável. Formalmente, dizemos que uma equação linear é toda igualdade indicada por uma expressão do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b, sendo: x 1, x 2, x 3,..., x n as incógnitas, cujos expoentes devem ser, necessariamente, unitários (1 o grau). a 11, a 12, a 13,..., a 1n são constantes reais chamadas de coeficientes das incógnitas. b é o termo independente da equação. São equações lineares: 2x 1 x 2 = 4 x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 3x + 2y = 12 x + 2y + z 3w = 5 Não são equações lineares: x 1 3 x 2 2 = 7 2x 1 + 3x 1 x 2 5x 3 = 3 5x + 2 y = 12 Observações: Quando o termo independente da equação linear for nulo (igual a zero), dizemos que a equação linear é homogênea; Equações lineares não apresentam termos mistos (xy, yz,...). 1 A equação x + y 2 + z = 2 é uma equação linear? E a equação x + y + z = 3? E a equação x. y = 6? Solução de uma equação linear Retomando o problema proposto por Gustavo, podemos atribuir valores a x e a y e, com eles, obter os correspondentes valores de z, ou vice-versa, conforme exemplos a seguir: para x = 30 e y = 20; obtemos z = 9 para x = 20 e y = 15; obtemos z = 12 para x = 10 e y = 5; obtemos z = 17 para x = 2 e y = 2; obtemos z = 19 De fato, essa equação admite várias outras soluções, pois x, y e z podem assumir outros valores que tornam a igualdade verdadeira. Neste, caso, cada uma dessas sequências pode ser indicada na forma de uma terna ou tripla ordenada (x, y, z). Dizemos, assim, que as ternas (30; 20, 9), (20, 15, 12), (10, 5, 17), (2, 2, 19), entre outras, representam as possíveis trocas de notas feitas por Gustavo. Logo essas ternas são tidas como soluções da equação linear 5x + 20y + 50z = Formalmente, dizemos que a solução de uma equação linear é qualquer sequência ordenada, de valores das incógnitas, que torna verdadeira essa equação.

9 Matemática Álgebra 9 Assim, uma sequência ordenada ou ênupla de números reais (α 1, α 2,..., α n ) é solução da equação a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b se, e somente se, a expressão a 11 α 1 + a 12 α 2 + a 13 α a 1n α n = b for verdadeira. Desse modo, é importante observarmos que: em uma equação linear de n incógnitas, se atribuirmos valores para (n 1) delas, podemos obter o valor da restante. equações do tipo 0x 1 + 0x x n = 0 admitem qualquer solução e são chamadas de equações indeterminadas. equações do tipo 0x 1 + 0x x n = b, com b 0, não admitem solução alguma e são chamadas de equações impossíveis. Observe alguns exemplos: Seja a equação linear 3x 1 + x 2 + 2x 3 3x 4 = 7. É fácil notar que a sequência ( 1, 3, 2, 1) é solução da equação, pois 3( 1) + 1(3) + 2(2) 3( 1) = 7 é uma sentença verdadeira. No entanto, se considerarmos a sequência (2, 1, 3, 1), ela não será solução, pois 3(2) + 1( 1) + 2(3) 3(1) = 7 é falso. Seja a equação linear 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 0. Também é fácil notar que qualquer tripla ordenada (α 1, α 2, α 3 ) é solução desta equação indeterminada. Já a equação linear 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 4 não tem solução, pois nenhuma tripla ordenada (α 1, α 2, α 3 ) irá satisfazer a esta equação, o que torna sua solução impossível. 2 Considerando a equação linear 3x + 2y = 16, faça o que se pede nos itens a seguir. a) Verifi que se (2,5) é solução da equação. b) Determine a solução da equação para x = 2. c) Determine a solução da equação para y = 1. d) Indique outra solução para a equação dada, que seja diferente das encontras nos itens b e c. 3 As soluções da equação linear 20x + 10y = 150 são as mesmas soluções da equação 2x + y = 15? Justifi que sua resposta. 1.3 Sistema de equações lineares Veremos, a partir de agora que, em muitos casos, as variáveis de um problema obedecerão a mais de uma condição (equação). Assim, se todas essas equações forem lineares, dizemos, então, que elas constituem um sistema de equações lineares. Retornemos à situação-problema 1 com a qual iniciamos este capítulo. Uma certa loja de materiais esportivos realiza uma promoção, na qual está vendendo, por um mesmo preço, qualquer par de tênis; por um mesmo preço, qualquer par de meias, e por um mesmo preço, qualquer tipo de camiseta. Luciana comprou 1 par de tênis, 2 camisetas e 2 pares de meias, gastando R$ 340,00. Luís comprou 2 pares de tênis, 2 pares de meias e 1 camiseta, gastando R$ 420,00. Patrícia comprou 3 camisetas, 3 pares de meias e 1 par de tênis, gastando R$ 435,00. Qual é o preço de cada um desses produtos? Inicialmente, o problema diz que em sua promoção a loja está vendendo tênis, cujo preço indicaremos por x, meias, cujo preço indicaremos por y, e camiseta, cujo preço indicaremos por z. Assim, podemos montar, de acordo com as quantias indicadas no problema, as seguintes equações lineares: Luciana: x + 2y + 2z = 340 Luís: 2x + y + 2z = 420 Patrícia: x + 3y + 3z = 435

10 10 Matemática Álgebra Desse modo, podemos observar que neste problema, temos três equações lineares e que, em cada uma delas, existem três incógnitas distintas. E a este conjunto de três equações com três incógnitas iremos denominar de sistema linear 3x3, o qual podemos indicar por: x + 2y + 2z = 340 2x + y + 2z = 420 x + 3y + 3z = 435 Outros exemplos: Considere as funções y = 10 3x e y = 2x + 5. Existe um ponto comum aos seus gráficos, representado pelo par ordenado P(x, y). Esse ponto comum é a solução do sistema linear 2 x 2, constituído pelas leis de formação destas funções, mostradas a seguir: y = 10 3x y = 2x + 5 3x + y = 10 2x + y = 5 Consideremos que num mercado competitivo, o preço p de um produto, a quantidade consumida q c, a quantidade vendida q v e a renda da população (total) R. Suponhamos que q c = 200 2p + 0,05R e que q v = 30 + p e que ocorre equilíbrio nesse mercado quando q v = q c. Esse equilíbrio pode ser indicado pelo sistema: q c = 200 2p + 0,05R q v = 30 + p q v = q c q c + 2p 0,05R = 200 q v p = 30 q c q v = 0 o que representa um sistema linear 3 x 4. Definimos sistema linear como qualquer conjunto simultâneo de m equações lineares a n incógnitas (sistema m x n), como indicado a seguir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m De modo particular, se um sistema linear tem quantidade de equações igual à quantidade de incógnitas (m = n), ele será dito normal. Observe que, nesta notação, os coeficientes das incógnitas possuem dois índices: o primeiro representa a equação, e o segundo, a incógnita à qual o coeficiente pertence. Por exemplo: a 22 representa, na segunda equação, o coeficiente de x 2 ; a 13 representa, na primeira equação, o coeficiente de x 3 ; a mn representa, na e-nésima equação, o coeficiente de x n. Vejamos outros exemplos: 2x 1 x 2 + 2x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + x 3 = 15 Sistema 2 x 3 5x + 2y + 3z = 18 2x + y + z = 11 x + y + z = 6 Sistema normal 3 x 3

11 x + y + z = 2 3x + y z = 6 Sistema 4 x 3 x 2y + z = 11 x + 2y + 3z = 1 Matemática Álgebra 11 Em nosso estudo, daremos maior ênfase ao casos nos quais o número de equações seja menor ou igual ao número de incógnitas. Exemplo 1 Um caminhão de três eixos pode transportar, segundo as normas do CONTRAN, no máximo, kg de carga. Uma grande empresa do setor atacadista decide enviar, para uma de suas filiais, algumas caixas de um produto A, embaladas em caixas de 300 kg, e algumas de um produto B, embaladas em caixas de 200 kg, num total de 150 caixas. De acordo com os dados apresentados, construa o sistema linear que forneça a quantidade de caixas de cada tipo. Resolução: Consideremos que x representa o número de caixas do produto A, e y indica o número de caixas do produto B. Além disso, sabemos que a cada caixa do tipo A corresponde a 300 kg, e cada do tipo B, 200 kg. Desse modo, temos: x y. 200 = x + 2y = 415 3x + 2y = 415 O sistema é x + y = Solução de um sistema linear Voltando ao exemplo introdutório da unidade (situação-problema 1), podemos notar que a tripla ordenada (150, 70, 25) é solução do sistema. Além disso, nos outros dois exemplos introdutórios do item 1.3, podemos perceber que P(x, y) = (1, 7) é solução das duas equações do primeiro, e (q c, P, q v, R) = (230, 10, 230, 1 000) é solução das três equações do segundo. Podemos, então, formalmente, dizer que uma solução de um sistema linear é toda sequência ordenada de valores das incógnitas que torna verdadeiras todas as equações do sistema. Veja alguns exemplos: A sequência (1, 2, 3) é solução do sistema linear Já a sequência ( 1, 1, 2) não é solução do sistema linear primeira equação, não verifica a segunda. Exemplo 2 O sistema x + 2y z = 2 2x y + 3z = 9 3x + 3y 2z = 3, pois verifica suas três equações 3x + 2y + 4z = 7, pois, apesar de verificar a x + 3z = 2 ax + y = 8 x by = 2 tem por solução a sequência (2, 4). Calcule o valor de E = log a b. Resolução: Fazendo as substituições (x = 2 e y = 4), temos: a(2) + 4 = 8 a = 2 2 b(4) = 2 b = 1 E = log a b E = log 2 1 E = 0

12 12 Matemática Álgebra Sistemas lineares equivalentes Se dois sistemas lineares são tais que todas as soluções de um são soluções do outro e vice-versa, eles serão chamados de sistemas equivalentes (fato indicado por ). Observe: Os sistemas x + y = 4 3x y = 0 e 3x + 2y = 9 x 2y = 5 são equivalentes, pois admitem, ambos, a mesma solução (1, 3). 4 É possível que dois sistemas sejam equivalentes sem que tenham o mesmo número de equações? Em séries anteriores, já estudamos alguns métodos de resolução de sistemas lineares (adição, substituição e comparação). Porém, neste capítulo, apresentaremos, a seu tempo, um outro método de resolução, chamado de escalonamento. Até lá, quando necessário, usaremos os métodos já conhecidos. 5 Se dois sistemas são equivalentes, é preciso que cada equação do primeiro seja equivalente a uma equação do segundo? 1.4 Classificação de um sistema linear Um sistema linear m x n pode ser classificado, quanto à sua quantidade de soluções, como: sistema possível e determinado (S.P.D.), se ele apresentar solução única; sistema possível e indeterminado (S.P.I.), se ele admitir mais de uma solução. Nesse caso, ele apresentará infinitas soluções; sistema impossível (S.I.), se ele não admitir solução. É importante destacarmos que: um sistema que admite alguma solução será dito sistema compatível; um sistema que não admite solução será dito sistema incompatível. Você se lembra... Nas séries fi nais do Ensino Fundamental, em algumas oportunidades, trabalhamos com a interpretação geométrica e classifi cação de sistemas lineares do tipo 2 x2. Num referencial cartesiano, as equações do tipo ax + by = c, com a e b não simultaneamente nulos, representam retas. Assim, em termos gráfi cos, resolver um sistema linear de duas equações e duas variáveis equivale a encontrar as posições relativas às retas que representam essas equações. Neste tipo de resolução, devemos considerar que uma equação linear com duas incógnitas também pode corresponder com a lei de formação de uma função de primeiro grau, cujo gráfi co é uma reta. Considerando o sistema S = a 11. x 1 + a 12. x 2 = b 1 a 21. x 1+ a 22. x 2 = b, sob esse ponto de vista, ao representarmos as retas 2 destas equações no plano, teremos três casos a considerar ao classifi carmos os sistemas: 1) As retas das equações são concorrentes, ou seja, há um único ponto comum às retas, o par ordenado (x 1, x 2 ). Logo existirá uma única solução para o sistema linear e o classifi camos como sistema possível e determinado (S.P.D.);

13 Matemática Álgebra 13 2) As retas das equações são paralelas distintas, ou seja, não há nenhum ponto comum às retas e, assim, não existirá uma solução simultânea para as equações do sistema. Logo, ele será classifi cado como sistema impossível (S.I.); 3) As retas das equações são paralelas coincidentes, ou seja, as retas terão infi nitos pontos em comum. Assim, existirão infi nitas soluções, e o sistema será classifi cado como sistema possível e indeterminado (S.P.I.). 1.5 Sistema linear homogêneo Denomina-se sistema linear homogêneo a todo sistema linear em que todos os termos independentes são nulos. Exemplos de sistemas homogêneos: 2x y = 0 x + y + 2z = 0 x y 3z = 0 x + 3y = 0 x + 4y = 0 6 O sistema linear x + y a = 0, nas incógnitas x e y, pode ser homogêneo? Em caso x 2y b = 0 afi rmativo, quando isso ocorrerá? É também importante notarmos que a sequência (0, 0, 0,..., 0) é, sempre, solução para um sistema linear homogêneo. A essa solução dá-se o nome de solução trivial ou solução imprópria do referido sistema. Observe os exemplos: 3x 4y = 0 6x + 8y = 0 O par (0, 0) é solução do sistema. x + y = 0 2x + 2y + 4z = 0 x + y + 3z = 0 A terna (0, 0, 0) é solução do sistema. Logo todo sistema linear homogêneo é compatível.

14 14 Matemática Álgebra Além da solução trivial, um sistema linear homogêneo pode admitir outras soluções, chamadas soluções próprias. No sistema 3x + y z = 0 6x + y 2z = 0, as ternas (0, 0, 0) e (2, 0, 6), dentre outras, são soluções do sistema. 7 Dois sistemas não equivalentes podem admitir alguma solução comum a ambos? Práxis Utilizando o software GeoGebra, podemos, através de gráfi cos, fazer uma análise de um sistema linear. Vejamos o exemplo a seguir. x + y = 7 Resolver o sistema. 2x + y = 12 Para construirmos os gráfi cos e, assim, determinarmos o tipo de classifi cação do sistema linear utilizando o GeoGebra, devemos seguir o roteiro a seguir. Clicar em exibir Janela de Álgebra e habilitar malha. Fixar a escala dos eixos: Clicar na região quadriculada com o botão direito do mouse; Clicar em janela de visualização; Em eixo x, habilitar a caixa de distância (1); Em eixo y, habilitar a caixa de distância (1); Fechar. Digitar na caixa entrada (embaixo na tela) uma das equações do sistema, nas variáveis x e y; Uma reta será traçada; Clicar no botão inserir texto (1 o ); Digitar a equação referente à reta traçada; Se necessário, clicar no botão mover (1 o ) e arrastar a equação até próximo à reta; Repetir os procedimentos para a segunda equação do sistema; Clicar no botão interseção de dois objetos (2 o ); Marcar o ponto de interseção das duas retas; Portanto, o sistema apresenta como solução um único par ordenado (5, 2); logo, é sistema possível e determinado. Seguindo o roteiro apresentado no exemplo anterior, faça a atividade para os seguintes itens: a) x + y = 10 b) x y = 4 3x + y = 15 6x + 2y = 30 2x + y = 8 c) 2x + y = 5

15 Matemática Álgebra Sistema linear escalonado Dizemos que um sistema linear está na forma escalonada quando, em cada uma de suas linhas, seu primeiro elemento não nulo estiver situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha abaixo, ou seja, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b a 33 x a 3n x n = b a mn x n = b m Note que, nesse formato, a primeira equação inicia-se pela primeira incógnita, a segunda equação, pela segunda incógnita, e assim por diante. O sistema escalonado pode ser visualmente reconhecido pela presença de uma escada de zeros à esquerda. Além disso, num sistema linear escalonado, observamos que: em todas as equações, as incógnitas se apresentam numa mesma ordem; cada equação apresenta pelo menos um coeficiente, de alguma incógnita, diferente de zero, ou seja, não nulo; de uma equação para outra há um aumento do número de coeficientes nulos antecedendo o primeiro termo não nulo. Exemplos de sistemas escalonados: x + 2y z = 5 3y + z = 2 z = 1 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 x 2 2x 3 = 0 Se, num sistema linear escalonado, a quantidade de equações for menor que a quantidade de incógnitas, chamaremos de variável livre toda incógnita que não iniciar alguma equação. Observe os exemplos: x 1 + x 2 + x 3 = 1 3x 2 x 3 = 0 x 3 é variável livre x + y + z + w = 1 z w = 6 3w = 4 y é variável livre x + y + z + w = 4 3y z + 2w = 0 z e w são variáveis livres Quando o sistema linear escalonado apresenta mais incógnitas do que equações, é do tipo possível e indeterminado, pois possui infinitas soluções. O número de variáveis livres de um sistema linear possível e indeterminado indica o grau de indeterminação do sistema. Exemplo 3 Verifique quais dos sistemas lineares a seguir estão na forma escalonada e, caso haja, indique as variáveis livres. a) x + y = 8 3y = 9 c) x y + z + w = 4 y + z = 2 y z + w = 1 b) 3x + 2y z = 3 y + 4z = 3 d) x + 2z w = 1 y w = 0

16 Prezado leitor, Agradecemos o interesse em nosso material. Entretanto, essa é somente uma amostra gratuita. Caso haja interesse, todos os materiais do Sistema de Ensino CNEC estão disponíveis para aquisição através de nossa loja virtual. loja.cneceduca.com.br

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