Gráficos estatísticos: histograma. Série Software ferramenta

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1 Gráficos estatísticos: histograma Série Software ferramenta Funcionalidade Este software permite a construção de histogramas a partir de uma tabela de dados digitada pelo usuário.

2 Gráficos estatísticos: histogramas Série Software ferramenta Conteúdos Dados quantitativos; histograma; medidas-resumo; quantis. Objetivos 1. Representar variáveis graficamente; 2. Construir e interpretar histogramas; 3. Conhecer e investigar os quantis; Funcionalidade Este software permite a construção de histogramas a partir de uma tabela de dados digitada pelo usuário. Material relacionado Software: Medidas do corpo: gráficos univariados; Gráficos estatísticos: barras e setores; Experimentos: Variáveis antropométricas; Vídeo: Cada gráfico no seu galho.

3 Introdução Sobre os softwares ferramenta Os softwares que chamamos de ferramenta, diferentemente dos demais, têm como objetivo oferecer ao usuário uma ferramenta poderosa que permita a ele explorar alguns conteúdos de Matemática. Nossos softwares ferramenta abordam os conteúdos: matrizes, sólidos de revolução, padrões geométricos, gráficos de barra e setores e histogramas. Cada um deles traz uma sugestão de atividade e instruções para que o aluno saiba explorar toda a potencialidade do software. Para cada um destes softwares, há um software análogo em termos de conteúdo, mas em outro formato. Ele oferece, além de ferramentas interativas direcionadas ao problema que será investigado, um roteiro de questões que orientam o trabalho do aluno desde a introdução até a sua resolução, através de questões. É recomendado que estes softwares sejam utilizados antes dos softwares ferramenta. Neste Guia do professor, você vai encontrar uma descrição um pouco mais detalhada sobre os recursos do software e mais algumas sugestões de atividades que podem ser apresentadas aos alunos. Se você procura aprofundamentos no que diz respeito ao conteúdo explorado neste software, sugerimos que leia o Guia do Professor do outro software relacionado a esta ferramenta. Sobre este software Este software permite a construção e visualização dinâmica de histogramas a partir de uma tabela de dados digitada pelo usuário que pode, inclusive, definir o número de intervalos (de amplitudes iguais) em que a amostra será dividida para gerar o gráfico. Gráficos estatísticos: histograma 3/11

4 Em termos de funcionamento, este software é muito semelhante ao software Gráficos estatísticos: barras e setores. Inclusive, o usuário pode utilizar os dados deste e de outros softwares e experimentos da coleção matemática Multimídia (disponíveis em bem como qualquer conjunto de dados que tenha interesse em analisar. A abordagem gráfica de um conjunto de dados é o primeiro passo para sua análise e para a construção de modelos probabilísticos que permitam estudos mais aprofundados, como previsão ou diagnóstico para dados futuros do mesmo experimento. Instruções de uso Antes de começar o uso do software, sugerimos fortemente a leitura das instruções, disponíveis para parte inferior esquerda da tela. Elas não apenas explicam como utilizar o software como também deixam claras todas as suas potencialidades. A tela principal deste software está representada abaixo. Gráficos estatísticos: histograma 4/11

5 Do lado superior esquerdo, encontramos a tabela onde devem ser inseridos os dados coletados. Cada coluna corresponde a uma variável observada, e cada linha corresponde a um valor observado dessa variável. Se forem observadas duas ou mais variáveis é importante que cada linha corresponda a um único indivíduo observado. Por exemplo, se as variáveis forem: Gênero da pessoa, Número do calçado e Altura, então na linha 1, devemos colocar os valores observados dessas variáveis para a pessoa 1, na linha 2, os valores correspondentes à pessoa 2, e assim por diante. Na seta azul, no topo de cada coluna, a opção Configurar permite definir o Nome da variável e o Tipo, se quantitativa (Numérico) ou qualitativa (Categorias). Apesar de o gráfico do tipo histograma ser adequado apenas a variáveis numéricas, as outras opções estão disponíveis pois o mesmo conjunto de dados pode ser utilizado em outros softwares da coleção Matemática Multimídia. Depois de inseridos os dados, o usuário pode definir o número de intervalos em que deseja dividir a sua amostra e então visualizar o histograma corresponde. Gráficos estatísticos: histograma 5/11

6 O número de intervalos pode ser mudado sem que os dados sejam alterados. Ao clicar em Atualizar gráfico, o software gera o gráfico novamente incorporando qualquer alteração que tenha sido feita. Acionando as opções abaixo do gráfico, a ferramenta exibe uma reta vertical posicionada sobre o valor da medida-resumo em questão, como mostrado abaixo para a média. Outra potencialidade importante deste software é a visualização dinâmica de quantis (para mais explicações sobre este conteúdo, Gráficos estatísticos: histograma 6/11

7 sugerimos a resolução do software Medidas do corpo: gráficos univariados e a leitura do seu Guia do Professor). Para isso, o usuário deve arrastar o ponto roxo situado inicialmente sobre o eixo Y. Ao fazê-lo, a ferramenta exibe o resultado mostrado abaixo. O valor mostrado à esquerda do ponto roxo é o valor de p e o valor do p-quantil aparece abaixo do eixo X, próximo à reta tracejada. Traduzindo a imagem anterior, temos que o quantil 0.25 da amostra é igual a 35,79, ou seja, pelo menos 25% dos dados da amostra têm valores iguais ou menores a 35,79 e, equivalentemente, pelo menos 75% dos dados da amostra têm valores maiores ou igual a 35,79. Estas porcentagens são representadas pelas áreas do gráfico à sua esquerda e à sua direita, respectivamente. Esse recurso permite visualizar dinamicamente o valor de qualquer quantil de uma amostra dada. Gráficos estatísticos: histograma 7/11

8 Por fim, salientamos que este software calcula a média, moda e mediana a partir dos dados da amostra, enquanto que os quantis são obtidos a partir do histograma. Sugestões de atividades Disponíveis no software Logo abaixo do gráfico, estão sugeridas três atividades que permitem olhar o gráfico de forma crítica, analisando algumas de suas características importantes. Sugestão de atividade 1 A partir de uma amostra qualquer de dados, visualize os histogramas gerados por diversos números de intervalos e observe as semelhanças e diferenças. 1. O que acontece com um histograma com poucos intervalos? 2. E com muitos intervalos? 3. Qual a quantidade de intervalos que parece mais adequada ao seu conjunto de dados? Será que essa quantidade vale para qualquer conjunto de dados? Comentários O número de intervalos mais adequado para uma amostra depende intrinsecamente da amostra, tanto do número de dados presentes nela quanto da maneira que esses dados estão distribuídos. Poucos intervalos geram histogramas de fácil leitura, mas que podem mascarar características locais da amostra, enquanto que muitos intervalos aumentam o detalhamento da informação. Sugestão de atividade 2 Gráficos estatísticos: histograma 8/11

9 Utilizando uma amostra de dados qualquer, responda os itens abaixo: 1. Identifique os quantis 0.25, 0.5 e 0.75 da amostra 2. Deseja-se categorizar os dados da sua amostra em pequeno, médio e grande, de modo que a quantidade de elementos em cada categoria seja aproximadamente a mesma. Como deve ser feita essa categorização? Comentários A resposta da primeira questão pode ser obtida diretamente da ferramenta arrastando o ponto roxo originalmente sobre o eixo Y e o objetivo dela é apenas familiarizar o usuário com o conceito de quantil. A questão 2 sugere o uso dos quantis 0.33 e 0.66 para dividir uma amostra em 3 categorias, assim, todas elas terão aproximadamente o mesmo número de dados. Sugestão de atividade 3 Agora, ao invés de analisar um conjunto de dados coletados, vamos criar amostras fictícias que tenham certas características. Cada amostra deve ter, pelo menos, 20 dados e satisfazer uma das condições abaixo. 1. A média e a mediana devem estar muito distantes uma da outra. 2. A amostra deve ser bimodal e a mediana não deve estar no ponto médio entre as modas. 3. O intervalo do quantil 0.1 deve ser muito pequeno enquanto que o do quantil 0.9 deve ser muito grande. A amostra deve satisfazer cada uma das condições isoladamente, não é necessário que satisfaça os 4 itens ao mesmo tempo. Gráficos estatísticos: histograma 9/11

10 Comentários Para o primeiro caso, basta criar uma amostra que tenha perto de 50% dos dados concentrados em uma das extremidades, assim a mediana deverá ficar próxima desses dados, e os restantes muito dispersos, fazendo com que a média se afaste dos dados mais concentrados. Para o segundo caso, basta criar uma amostra bimodal (com duas modas) que tenha mais dados concentrados ao redor de uma delas. Para o terceiro caso, basta criar uma amostra que seja muito concentrada no centro do intervalo dos dados e tenha valores extremos bem afastados desse centro. Adicionais A Sugestão de Atividade 3 mostrada anteriormente admite uma infinidade de variações que podem ser formuladas de acordo com o conteúdo que esteja sendo estudado no momento. Além disso, a segunda questão da Sugestão de Atividade 2 pode ser aplicada a contextos específicos e acessíveis aos alunos, como a definição de tamanhos P, M e G para camisetas a partir das medidas dos alunos da própria escola. Esse tipo de questão pode gerar trabalhos interessantes que vão desde a definição das variáveis até a análise dos dados passando pela coleta dos dados. Sugestões de leitura COSTA NETO, Pedro L. de Oliveira. Estatística. Editora Edgard Blücher, MEYER, Paul. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora, Ficha técnica Autor Leonardo Barichello Gráficos estatísticos: histograma 10/11

11 Revisor Laura Leticia Ramos Rifo Coordenador de software Leonardo Barichello Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Gráficos estatísticos: histograma 11/11