INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos. RESOLUÇÃO DA RESPESCAGEM DO 2 o TESTE

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos Ano Lectivo de 2006/ o Semestre RESOLUÇÃO DA RESPESCAGEM DO 2 o TESTE I. (2,0+2,0+2,0 = 6,0 val.) 1) Calcule o valor óptimo da função objectivo e o respectivo valor das variáveis x 1, x 2 e x 3 para o programa linear utilizando o algoritmo Simplex. max 2x 1 + 3x 2 + x 3 s.a. x 1 + 2x 2 + x x 1 + 4x 3 20 x 2 + 2x 3 20 x 1,x 2,x 3 0 x 1 = 10, x 2 = 15, x 3 = 0, função objectivo= 65. 1/11

2 2) Calcule o valor óptimo da função objectivo e o respectivo valor das variáveis x 1, x 2 e x 3 para o programa linear utilizando o algoritmo Simplex. min 2x 1 x 2 4x 3 s.a. x 1 x 2 2x x 1 + 2x 2 3x 3 50 x 1,x 3 0 Não Limitado. 2/11

3 3) Considere que é o ministro do petróleo de um país produtor que consegue exportar 10 milhões de barris de petróleo por dia. Os seus 3 países vizinhos (aqui designados por P 1, P 2 e P 3 ) não têm petróleo e nos contactos bilaterais que tiveram consigo mostraram interesse em adquirir a totalidade das respectivas necessidades de petróelo que são, respectivamente, 4, 7 e 5 milhões de barris diários. No entanto, o lucro líquido que obtém na venda do petróleo não é o mesmo para todos os países devido a custos de produção e transporte. Assim, dependendo de quem compra ser o país P 1, P 2 ou P 3, o seu lucro será, respectivamente, 19, 17 e 20 euros por cada barril de petróleo. O seu objectivo é naturalmente procurar encontrar a melhor solução para o seu país. Todavia, deve ter em consideração que qualquer um dos seus países vizinhos tem um exército poderoso e todos prometeram invadir o seu país se não for satisfeita pelo menos metade da sua procura diária de petróleo. Indique a formulação de programação linear que permite resolver o problema exposto. As variáveis x i representam a quantidade de petróleo a exportar para o país P i. A função objectivo denota o lucro líquido em milhões de euros. max 19x x x 3 s.a. x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 2 x 1 4 x 2 3,5 x 2 7 x 3 2,5 x 3 5 3/11

4 II. (2,0+1,5+1,5 = 5,0 val.) 1) Assuma que é um mergulhador amador que por sorte descobriu o local de uma caravela afundada. Esta caravela transportava um tesouro fabuloso, que se encontra agora espalhado no fundo do mar, mas a uma profundidade acessível. Infelizmente acontece que só tem uma garrafa de ar disponível. O problema que tem em mãos é decidir quais os objectos do tesouro a recolher de forma a maximizar o seu valor sem ficar sem ar no fundo do mar! Para isso, assuma que tem conhecimento exacto do valor v i de cada objecto i do tesouro, e da profundidade p i a que se encontra, sendo portanto fácil determinar para cada objecto o tempo t i dentro de água necessário para o recolher. Considere ainda que: N é o número de objectos que prefazem o tesouro. C representa a capacidade da garrafa de ar, medida em termos do tempo que permite estar dentro de água. em cada mergulho apenas pode recolher um objecto. todos os valores são inteiros. Indique a recorrência, em termos de v i,t i,n,c, que permite calcular através de programação dinâmica a solução óptima para este problema. Semelhante ao problema da mochila! max(c[i 1, j],c[i 1, j t i ] + v i ) 0 < i N,0 < j C 0 0 i N, j = 0 c[i, j] = 0 i = 0,0 j C j < 0 Solução óptima em c[n,c]. 4/11

5 2) Considere o problema da identificação da maior subsequência comum. Dadas as sequências S =BEETHOVEN e T =EINSTEIN, determine o comprimento da maior subsequência comum. Admita que o comprimento da maior subsequência comum entre as sequências s i e t j é definido por: 0 i = 0 j = 0 c[i, j] = c[i 1, j 1] + 1 i, j > 0 s i = t j max(c[i 1, j],c[i, j 1]) i, j > 0 s i t j NIL i = 0 j = 0 (i 1, j 1) i, j > 0 s π[i, j] = i = t j (i 1, j) i, j > 0 s i t j c[i 1, j] c[i, j 1] (i, j 1) i, j > 0 s i t j c[i 1, j] < c[i, j 1] Assumindo que as linhas da matriz c representam os caracteres da sequência S e as colunas os caracteres da sequência T, calcule os valores de c e π para as coordenadas (1,8), (3,1), (7,5), (8,8), (9,8). j i E I N S T E I N 1 B E E T H O V E N j i E I N S T E I N 1 B 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 2 E 1,0 2,1 2,2 2,3 2,4 1,5 2,6 2,7 3 E 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,5 3,6 3,7 4 T 3,1 3,2 3,3 3,4 3,4 3,6 3,7 3,8 5 H 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 6 O 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 7 V 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 8 E 7,0 7,2 7,3 7,4 7,5 7,5 8,6 8,7 9 N 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,5 8,7 8,7 5/11

6 3) Considere as frequências de ocorrência dos seguintes caracteres num dado ficheiro: f (a) = 0,05, f (b) = 0,07, f (c) = 0,55, f (d) = 0,23, f (e) = 0,03, f ( f ) = 0,07. Calcule o tamanho, em bits, de um ficheiro com 10,000 caracteres usando a codificação de Huffman bits 6/11

7 III. (1,5+1,5+2,0 = 5,0 val.) 1) Considere o algoritmo baseado em autómatos para o emparelhamento de cadeias de caracteres. Seja P = aababaa um padrão e T = ababaababaabbabaabba um texto. Calcule o estado q do autómato reconhecedor de P após ler os caracteres do texto T. Indique o estado q para os índices 1, 11, 12, 18 e 19. T a b a b a a b a b a a b b a b a a b b a q /11

8 2) Considere o algoritmo de Knuth-Morris-Pratt. Indique qual das seguintes afirmações é incorrecta. a. Seja π a função de prefixo, tem-se que π( P ) = P 1 qualquer que seja o padrão P. b. Dado um padrão P e um texto T o algorimto KMP é O( T + P ). c. Seja π a função de prefixo e P um padrão, tem-se que π(i+1) π(i)+1 para 0 < i < P. d. Dados dois textos T e T, é possível verificar se T é rotação de T em tempo O( T ). e. Podem existir padrões tais que a função prefixo é 0 qualquer que seja a posição i. f. Seja π a função prefixo e P um padrão, tem-se sempre que π(i) < P para 1 i P. a. 8/11

9 3) Para cada uma das afirmações seguintes indique se é verdadeira (V), se é falsa (F) ou se não se sabe (D). a. P NP conp. b. NP NP-difícil = NPC. c. NP = NPC. d. P NP-difícil. e. P NP = /0. f. P NP. g. NPC NP. h. NP P. V V D D F V V D. 9/11

10 IV. (2,0+2,0 = 4,0 val.) 1) O problema INDEPENDENT-SET consiste em determinar se existe algum conjunto I de vértices de um grafo G(V,E), com I V, com dimensão igual ou superior a um valor k tal que nenhum dos elementos de I é adjacente de outro elemento (isto é, não existem arcos entre elementos de I). Formalmente: Dados: um grafo G(V,E) e um k N Questão: existe I V tal que I k e u,v I, (u,v) E? Prove que o problema INDEPENDENT-SET é NP-Completo. Pista: provou-se nas aulas que o problema cobertura de vértices, VERTEX-COVER, é NP-Completo. Notar também que qualquer arco em G(V,E) tem pelo menos um dos nós extremos incluído na cobertura de vértices. Provar que está em NP: dado um conjunto I, verificar que tem cardinalidade igual ou superior a k é trivial. Verificar que não existem nós em I com arcos de G entre eles pode ser feito em tempo O(E). Provar que é NP-difícil: redução de VERTEX-COVER a INDEPENDENT-SET. Dada uma instância de VERTEX-COVER, G(V, E), n, criar uma instância de INDEPENDENT-SET G(V, E), k, em que k = V n. Claramente, esta redução é realizada em tempo polinomial, O(1)! Seja C V uma cobertura de vértices de tamanho n ou menor. Então I = V \C é uma cobertura de conjuntos de tamanho k = V n ou maior ( C S = C V ). Isto porque, por C ser uma cobertura de vértices, todos os arcos têm que ter um dos extremos num dos nós de C. Assim, não poderá haver nenhum arco entre dois nós que não pertençam a C. Seja I V um conjunto de vértices independentes com cardinalidade igual ou superior a k. Como não há arcos entre os vértices em I, os restantes vértices de G, V \ I cobrem todos os arcos de G, portanto formam uma cobertura de vértices com cardinalidade igual ou inferior a n = V k. 10/11

11 2) Dado um conjunto de N objectos, s 1,...,s N, com comprimento 0 < s i < 1, o problema BIN-PACKING é definido como a minimização do número de contentores, com capacidade unitária, necessários para guardar esses N objectos. A solução gananciosa consiste em colocar cada objecto, por uma ordem qualquer, no primeiro contentor em que ainda caiba. Prove que este é um algoritmo de aproximação com razão de aproximação 2. Pista: demonstrar primeiro que a solução retornada por esta abordagem tem no máximo S contentores, que também tem no máximo um contentor que está mais de metade vazio e analisar o pior caso. Se os objectos enchessem completamente cada contentor necessitariamos exactamente de S contentores. Qualquer outra solução deixa espaços livres e implica a utilização de um número maior de contentores. Logo, temos que a solução óptima, C S. Por contradição, não podem haver 2 contentores a menos de metade da capacidade pois o algoritmo ganancioso teria colocado o conteúdo de um no outro contentor. Seja C o número de contentores retornado por este algoritmo e a capacidade usada em cada contentor c i. Então, S = C i=1 c i 0,5(C 1) + c N. Assim, 2S C, logo 2C C. O algoritmo é polinomial, corre em O(n 2 ). 11/11

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