Serão suficientes quatro cores para pintar um mapa plano de forma a que dois países vizinhos não partilhem a mesma cor?
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- Marina Mota Fonseca
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1 MAPA DAS QUATRO CORES Um dos mais famosos problemas em Matemática, relacionado com gráfico e regiões, é o problema do mapa das quatro cores. Serão suficientes quatro cores para pintar um mapa plano de forma a que dois países vizinhos não partilhem a mesma cor? Esta questão surgiu em 23 de Outubro de 1852, enquanto coloria um mapa, representando os condados ingleses, o matemático Francis Guthrie percebeu que eram necessárias apenas quatro cores satisfazendo o critério que condados vizinhos deviam ter cores diferentes. Fez uma conjetura então que isto era verdade para qualquer mapa, real ou imaginário. Vejamos alguns exemplos de mapas: Note que dois países se dizem vizinhos quando têm uma fronteira com pelo menos uma linha em comum. Quantas cores são necessárias para colorir este mapa, de forma que dois vizinhos não partilhem a mesma cor? Deste exemplo, pode-se concluir que existem mapas nos quais é necessária a utilização de pelo menos quatro cores.
2 Volltando agora à primeira questão. Serão suficientes quatro cores para pintar qualquer mapa plano, de forma a que dois países vizinhos não partilhem a mesma cor? Como resposta a este problema, surge o Teorema das quatro cores. Quatro cores são suficientes para pintar qualquer mapa plano. Ao dizer-se que quatro cores são suficientes para qualquer mapa, isto não significa que sejam necessárias para cada mapa, isto é, no máximo são necessárias quatro cores. Por exemplo, se considerarmos um tabuleiro de xadrez como sendo um mapa, e cada "casa" do tabuleiro representar um país, então a coloração habitual de um tabuleiro de xadrez mostra-nos que, nesse caso, bastam apenas duas cores. O Teorema das Quatro Cores é um teorema cuja interpretação é acessível a qualquer pessoa, mesmo que não tenha conhecimentos matemáticos. No entanto, a demonstração encontrada até hoje é bastante complicada, exige um longo trabalho, sendo necessária a ajuda do computador. Passaram mais de 100 anos antes que fosse encontrada uma demonstração correta do teorema das quatro cores. A demonstração de APPEL e HAKEN, em 1976, provou que a conjetura do matemático FRANCIS GUTHRIE em 1852, era correta. Os cálculos são tão extensos, tão vastos, que é humanamente impossível confirmá-los à mão, só foi possível graças aos cálculos computacionais. SUGESTÕES DE ATIVIDADES A idéia é trabalhar com as crianças um tema que é de fácil compreensão, mas que é preciso desenvolver estratégias para resolver os problemas e ainda pode-se abrir uma discussão sobre este teorema que os matemáticos precisaram de tanto tempo para demonstrá-lo.
3 1. Brincadeira Quatro cores O azul não se encosta ao azul, o verde não se encosta ao verde. Com esse jogo, a turma aprende a planejar e a corrigir. IDADE: A partir de quatro anos. O QUE DESENVOLVE: Capacidade de planejamento e de análise de erros e coordenação motora. COMO FAZER: Em uma folha de papel, faça o contorno de uma figura qualquer, um objeto, um animal ou uma forma geométrica. Divida-a aleatoriamente. Para os pequenos de quatro a seis anos e para os iniciantes de 7 a 10, faça até dez subdivisões para não dificultar muito. Quando sentir que os alunos maiores já dominam a atividade, aumente as subdivisões ou deixe que criem as próprias figuras. COMO JOGAR: O jogo é individual. Cada aluno recebe quatro canetas hidrocor ou lápis de cores diferentes e a folha com a figura desenhada. Os pequenos podem trabalhar com giz de cera grosso, pintura a dedo e colagem de papéis ou de tecidos. O objetivo é colorir a figura usando as quatro cores, sem deixar regiões vizinhas da mesma cor. Áreas limitadas pelo vértice podem ter tonalidades iguais. Se a criança não conseguir completar a figura, dê a ela a oportunidade de repintar algumas áreas. VARIAÇÃO É possível trabalhar em duplas. As crianças têm de encontrar juntas uma solução para o desafio. Exemplos de possíveis mapas:
4 2. Variação do mesmo problema das quatro cores: Peça aos alunos para desenhar uma ilha, dividida em diversas regiões como quiser e colorir cada região, obedecendo a seguinte regra: duas regiões vizinhas deverão ter cores diferentes, a menos que tenham apenas um ponto comum. Nosso objetivo é usar o menor número de cores possível, contanto que seja obedecida a regra. Podem-se usar as seguintes etapas: a) Desenhe a ilha e divida-a de tal modo que você tenha necessidade de quatro cores. Pinte as regiões. Você deverá ter, naturalmente, mais de quatro regiões. b) Desenhe a ilha e divida-a de modo que apenas duas cores sejam necessárias. Pinte as regiões. Você deverá ter, naturalmente, mais de duas regiões. c) Desenhe a ilha divida-a de tal modo que mais de três cores sejam necessárias. Pinte as regiões. Você deverá ter, naturalmente, mais de três regiões. d) Desenhe a ilha e divida-a de tal modo que mais de quatro cores sejam necessárias. Você deverá ter, naturalmente, mais de quatro regiões. Isso é possível?
5 3. Podemos ilustrar o teorema das quatro cores com o mapa do Brasil ou de outras regiões. O aluno poderá colorir o mapa e desenvolver estratégias para obter uma coloração correta segundo essas regras mencionadas acima.
6 Pinte o desenho abaixo com quatro cores diferentes, duas partes vizinhas não podem ter a mesma cor. Referências: SILVA, Jorge Nuno; Educação e Matemática, Revista da Associação Professores de Matemática, n.º 60, Novembro/Dezembro (2000). DIENES, GOLDING; A geometria pelas transformações, Topologia, Geometria projetiva e afim. E.P.U. MEC São Paulo em 2/03/10
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