Sinais, sistemas, e processamento de sinais; Classificação de sinais; O conceito de freqüência em sinais de tempo contínuo e discreto

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1 Sinais, sistemas, e processamento de sinais; Classificação de sinais; O conceito de freqüência em sinais de tempo contínuo e discreto

2 Sinais, sistemas, e processamento de sinais U sinal é definido como qualquer quantidade física que varia com o tempo, espaço, ou qualquer outra(s) variável(eis) independente(s). Matematicamente, descrevemos um sinal como uma função de uma ou mais variáveis independentes. s 1( t) 5t s(t) 0t s(x,y) 3x + xy + 10y Sinais descritos por essas equações pertencem a classe de sinais que são precisamente definidos especificando a dependência funcional na variável independente. Existem sinais onde a relação de dependência funcional é desconhecida ou muito complicada para ser de qualquer uso prático ( Exemplo: sinal de voz). Em geral, um segmento de voz pode ser representado com um alto grau de precisão como uma soma de várias senóides de diferentes amplitudes, frequencias e fase, isto é, como N A ( t) sen[πf ( t) t + θ ( t)] i 1 i i i

3 Sinais, sistemas, e processamento de sinais Para se interpretar a mensagem transportada por qualquer curto segmento de tempo, no sinal de voz, deve-se medir a amplitude, freqüência e a fase neste segmento de tempo. Sinal ECG contém informações sobre o coração do paciente. Sinal EEG contém informações sobre a atividade cerebral. Sinal de voz, ECG e EEG são sinais que carregam informação com uma única variável independente, o tempo. Sinal de imagem possui duas variáveis independentes, coordenadas espaciais. A geração de sinais é geralmente associada com um sistema que responde para um estímulo ou força.( Ex: sinal de voz sistema: cordas vocais e cavidade vocal ) Um sistema também pode ser um aparelho físico executa uma operação no sinal. ( Ex: filtro )

4 Sinais, sistemas, e processamento de sinais Quando um sinal passa através de um sistema, como em um filtro, é dito que o sinal foi processado. Em geral, os sistemas são caracterizados pelo tipo de operação que eles realizam no sinal. Tais operações são geralmente referenciadas como processamento de sinal. Ex: sistema linear e não linear. Um sistema digital pode ser implementado como uma combinação de hardware e software, sendo que cada um realiza seu próprio conjunto de operações especificadas. O principal tópico no estudo de processamento digital de sinal é a discussão de algoritmos eficientes para a realização de operações como filtragem, correlação, e análise espectral.

5 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA DE PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAL A maior parte dos sinais encontrados na ciência e engenharia são analógicos. Eles podem ser processados diretamente por sistemas analógicos apropriados ( tais como filtros, analizadores de frequencia, multiplicadores de frequencia, amplificadores ). PDS fornecem um método alternativo para processar o sinal analógico. DSP fornecem flexibilidade para mudar a operação de processamento do sinal através da mudança no software. No entanto, em processamento onde as operações são bem definidas, uma implementação de hardware das operações podem ser otimizadas resultando em um DSP mais barato e mais rápido do que um DSP programável.

6 VANTAGENS DO PDS SOBRE O PAS Um sistema PDS pode ser programável permitindo flexibilidade em reconfigurar as operações de processamento simplesmente mudando o programa. PAS reprojetar o hardware. No PAS a tolerância dos componentes fazem com que seja extremamente difícil para o projetista controlar a precisão do sistema. No PDS é muito mais fácil controlar a precisão através da especificação do conversor A/D e do DSP em termos de comprimento de palavra, e etc. Sinais digitais são facilmente armazenados em mídia magnéticas sem deterioração ou perda da fidelidade do sinal. Consequentemente, os sinais tornam-se transportáveis e podem ser processados off-line em um laboratorio remoto. PDS permite a implementação de mais sofisticados algoritmos de processamento de sinais. Em alguns casos PDS é mais barato do que PAS devido ao hardware digital ser mais barato ou como resultado da flexibilidade para modificações. Entretanto, PDS fica limitado a velocidade do conversor A/D e do DSP. Em aplicações onde o sinal tem grande largura de banda, exigindo altas velocidades de processamento, o PAS é a única opção.

7 CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS Os métodos usados para processar ou analizar a resposta de um sistema a um sinal depende fortemente dos atributos característicos do especificado sinal. Existem técnicas que se aplicam somente para específicas famílias de sinais.

8 SINAIS MULTICANAIS E MULTIDIMENSIONAIS Um sinal é descrito por uma função de uma ou mais variáveis independentes. O valor da função pode ser uma quantidade real, uma quantidade complexa, ou talvez um vetor. Em algumas aplicações, os sinais são gerados por multiplas fontes ou multiplos sensores. Tais sinais podem ser representados na forma de vetores. Exemplo: a aceleração da terra em um teremoto tem três direções: longitudinal, transversal e vertical. Estes sinais, que são funções do tempo, podem ser representados em um vetor de três linhas, por exemplo. ( sinal multicanal ) Sinais com uma variável independente são chamados de um-dimensional e sinais com M variáveis independentes são chamados de M-dimensionais. Em uma imagem de TV o sinal de brilho I(x,y,t) é de 3 dimensões, pois depende da posição (x,y,t) e tempo. Foto dimensões (x,y) ( imagem fixa ). A figura em uma TV colorida possuí três funções de brilho, RGB, portanto I esse sinal é de 3 canais e de 3 dimensões. r ( x, y, t) I ( x, y, t) I I g b ( x, y, t) ( ) x, y, t

9 SINAIS DE TEMPO CONTÍNUO VERSUS SINAIS DE TEMPO DISCRETO Sinais de tempo contínuo, ou sinais analógicos, são definidos para todo valor de tempo em um intervalo contínuo (a,b). Sinais de tempo discreto são definidos somente em específicos valores de tempo. Na prática estes instantes de tempo são espaçados em intervalos iguais de tempo para conveniente tratamento matemático e computacional. ( Ex: amostragem de sinais contínuos, memorizando o valor do dollar todos os dias )

10 SINAIS DE VALOR CONTÍNUO VERSUS SINAIS DE VALOR DISCRETO Os valores de um sinal de tempo contínuo ou discreto podem ser contínuos ou discretos. Sinais de valor contínuo são aqueles que podem assumir todos os valores em um finito ou infinito intervalo. Sinais de valor discreto são aqueles que assumem valores de um conjunto finito de possíveis valores. Geralmente, estes valores são equidistantes. Para PDS o sinal deve ser discreto no tempo e seu valor deve ser discreto sinal digital. Para processar um sinal analógico converte-se ele para digital: amostando o sinal em instantes discretos de tempo e então quantizado sua amplitude para um conjunto discreto de valores. Sinais de tempo contínuo para sinais de tempo discreto amostragem. Sinais de valor contínuo para sinais de valor discreto quantização ( processo de aproximação, arredondamento ).

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12 SINAIS DETERMINÍSTICOS VERSUS SINAIS RANDÔMICOS Qualquer sinal que pode ser exclusivamente descrito por um expressão matemática explícita, uma tabela de dados, ou uma bem definida regra é chamado de determinístico. Valor passado, presente, e futuro do sinal são conhecidos precisamente, sem qualquer incerteza. Qualquer sinal que não podem ser descritos por qualquer grau razoável de precisão por formulas matemáticas explícitas ou a descrição é muito complicada para ser de uso prático é um sinal que evolui no tempo de maneira imprevisível. A estes sinais chamamos de randômicos. ( Ex: ruido, sinal de voz ) Para sinais randômicos usa-se a teoria da probabilidade e processos estocásticos. A classificação de sinais, no mundo real, como determinísticos ou randômicos não é sempre clara.

13 O conceito de freqüência em sinais de tempo contínuo e discreto

14 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO CONTÍNUO Uma simples oscilação harmônica é matematicamente descrita pelo seguinte sinal senoidal de tempo contínuo: x ( t) Acos( Ωt + θ ), - < t < a Ω πf x a ( t) Acos(πFt + θ ), - x a ( t) Acos(π Ft + θ ) < t <

15 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO CONTÍNUO O sinal senoidal analógico seguintes propriedades: ( t) Acos(π Ft + θ ) Para todo valor fixo de F, (t) é periodico. x a x a xa ( t + TP ) xa( t) TP 1/ F é caracterizado pelas Sinais senoidas de tempo contínuo com diferentes frequencias são distintos. Aumentando a frequencia resulta em um aumento na taxa de oscilação do sinal, ou seja, mais periodos são incluidos em um dado intervalo de tempo. Devido a continuidade da variável tempo t, pode-se aumentar a frequencia F, sem limite, com um correspondente aumento na taxa de oscilação.

16 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO CONTÍNUO Sinais senoidais na classe de sinais exponenciais complexos: x j( Ω t+ θ ) ± jφ a ( t) Ae e cosφ ± jsenφ Por conveniência matemática, precisa-se introduzir frequencia negativa x a ( t) Acos( Ωt + θ ) A e j( Ω t+ θ ) j( Ωt+ θ ) Frequência positiva o movimento angular é no sentido anti-horário. + A e Frequência negativa o movimento angular é no sentido horário.

17 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO DISCRETO Um sinal senoidal de tempo discreto pode ser discrito como: ω x ( n) Acos( n + θ ) - Onde n é uma variável inteira, chamada de o número da amostra, A é a amplitude senoidal, ω é a frequencia em radianos por amostra, e θ é a fase em radianos. f é em ciclos por amostra. ω πf < n < x ( n) Acos(πfn + θ ), - < n <

18 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO DISCRETO O sinais senoidais de tempo discreto são caracterizados pelas seguintes propriedades: Uma senoide de tempo discreto é periódica somente se sua frequencia f é um número racional ( f pode ser expresso como uma razão de dois inteiros). x ( n + N) x( n) para todo n cos[ π f0 ( N + n ) + θ ] cos( π f0 n + θ ) Esta relação é verdadeira se e somente se existe um inteiro k tal que πf N kπ o f o k N

19 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO DISCRETO Senóides de tempo discreto cujas frequências são separadas por um multiplo inteiro de π são identicas. cos[( ω + ) n + ] cos( n + n + ) cos( ω0n + π θ ω0 π θ Como resultado, toda sequência senoidal 0 θ xk ( n) Acos( ωkn + θ ), k 0,1,,... onde ω ω + k π, -π ω π k 0 0 são identicos. A mais alta taxa de oscilação em uma senóide de tempo discreto é atingido quando ω π ou ω π ou equivalentemente 1 ou 1 f f. )

20 SINAIS SENOIDAIS DE TEMPO DISCRETO A taxa de oscilação aumenta quando a frequência aumenta. π π π ω 0 0,,,, π 8 4 Para ver o que acontece com π ω0 π, considere as senóides com frequencia ω e. Note que enquanto varie de 1 ω 0 ω π ω ω 0 1 π a π ω varia de π a 0. x 1( n) Acos( ω1n) Acos( ω0n) x ( n) Acos( ω n) Acos(π ω ) n 0 x ( n) Acos( ω n) 0 x 1 ( n) Quando aumenta-se a frequência ω 0 de uma senóide de tempo discreto de π a π, a taxa de oscilação diminui. Ou seja, variar de π a π é a mesma coisa que variar de π a 0. A faixa de frequências duração de π. para senóides de tempo discreto é finita com

21 EXPONENCIAIS COMPLEXAS HARMONICAMENTE RELACIONADAS Exponenciais de tempo discreto Conjunto de exponenciais harmonicamente relacionadas: f0 sk ( n) e, k 0, ± 1, ±,... N Nota-se que: s ( n) 1 jπkf 0 j π n ( k + N )/ N j π n k + N e e sk ( n) n ( n) Isto significa que há somente N exponenciais complexas periódicas e distintas e todas elas tem um periodo comum de N amostras. Pode-se escolher qualquer N consecutivas exponenciais complexas: jπkn / N s ( n) e, k 0,1,,..., N 1 N k A combinação linear de sk ( n) k resulta em um sinal periódico com periodo fundamental N. s 1 0 k c k e jπkn / N