Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense

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Matheus Salgado Barata
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1 Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 2 Universidade Portucalense

2 Funções reais de variável real

3 Deinição e generalidades Uma unção é uma correspondência que a qualquer elemento de um conjunto D az corresponder um e um só elemento de um outro conjunto B. Exemplo 1: A seguinte correspondência é uma unção: 1 7 2,1-3,3 3,5 2 D -4 π B

4 Exemplo 2: A seguinte correspondência não é uma unção: D e -3 1/7 0 Esta correspondência não é uma unção porque o número 1/7 az corresponder dois números do conjunto B. Também não é uma unção porque o elemento 0 D não tem nenhuma correspondência em B. 3-1,3(3) -5 0 B

5 O conjunto D (conjunto de partida) chama-se o domínio da unção. Os elementos do domínio denominam-se os objectos da unção. O conjunto B chama-se o conjunto de chegada da unção. Os elementos do conjunto de chegada que são correspondidos por um objecto do domínio denominam-se as imagens da unção. O conjunto das imagens designa-se o contradomínio ou o conjunto imagem da unção. O contradomínio está contido no conjunto de chegada da unção.

6 Exemplo: A seguinte correspondência é uma unção: e 0 π D Esta unção tem: domínio D com objectos 0, π e e; Conjunto de chegada B = {0, π, e}; CD B imagens 0 e e que ormam o contradomínio da unção. e 0 π

7 Uma unção diz-se injectiva se a quaisquer dois objectos dierentes correspondem sempre duas imagens dierentes. Numa unção injectiva, dois objectos dierentes não podem ter a mesma imagem. Exemplo 1: A seguinte unção é injectiva: D a b c B

8 Exemplo 2: A seguinte unção não é injectiva: e 9-1/2 0 1,4 2-4 D B Note-se que a imagem 1,4 é correspondida por dois objectos, o e e o 0.

9 Uma unção diz-se sobrejectiva se o seu contradomínio or igual ao conjunto de chegada. Numa unção sobrejectiva não pode existir um elemento do conjunto de chegada que não seja correspondido por um objecto. Exemplo 1: A seguinte unção é sobrejectiva: D B

10 Exemplo 2: A seguinte unção não é sobrejectiva: D B Note-se que 0 B, mas 0 não é uma imagem. Não existe nenhum objeto que az corresponder o 0.

11 Uma unção diz-se bijectiva se ela or simultaneamente injectiva e sobrejectiva. Numa unção bijectiva, qualquer elemento do conjunto de chegada é correspondido por um, e um só, elemento do domínio. Exemplo 1: A seguinte unção é bijectiva: D B

12 Exemplo 2: A seguinte unção não é bijectiva: a b c D B Note-se que esta unção não é injectiva nem sobrejectiva.

13 É possível representar qualquer unção de uma orma mais simples, usando a expressão analítica que deine a unção: : D B x y ( x). Esta notação lê-se: a unção é uma unção de domínio D e conjunto de chegada B, que a cada objecto x D az corresponder uma e uma só imagem y = (x) B. Neste caso, x diz-se a variável independente e y a variável dependente da unção. y depende do valor que a variável x assume.

14 Daqui para a rente interessa-nos estudar unções reais de variável real. Uma unção diz-se uma unção real de variável real se o seu domínio e o seu contradomínio são dois subconjuntos de R. Exemplo: : x y ( x) 2 x. Para o objecto 1, a imagem é y = (1) = 2 1 = 2; Para o objecto 1, a imagem é y = ( 1) = 2 ( 1) = 2; Para o objecto 0.4, a imagem é y = (0.4) = = 0.8; Para o objecto π, a imagem é y = (π) = 2 π = 2π;

15 Funções polinomiais: Diz-se que é uma unção polinomial (ou um polinómio) de grau n N {0}, se a sua expressão analítica or dada por : x y ( x) a x a x a x... a x a x a, n n 1 n 2 2 n n 1 n onde, para qualquer i = 0,, n, a i R e a n 0. Exemplo 1: as unções constantes deinidas por : x y ( x) a, a, 0 0 são unções polinomiais de grau zero. Qualquer que seja o objecto do domínio, az sempre corresponder a imagem a 0.

16 Gráicos de unções polinomiais de grau 0:

17 O gráico de uma unção constante é uma recta horizontal que passa pelo ponto de coordenadas (x = 0, y = a 0 ). Dizemos que a recta tem ordenada na origem igual a a 0. Estas unções têm domínio R e contradomínio {a 0 }. Não são unções injectivas todos os objectos têm a mesma imagem. Exemplo 2: as unções lineares deinidas por : x y ( x) a x a, a, a ( a 0), são unções polinomiais de grau um.

18 Gráicos de unções polinomiais de grau 1:

19 O gráico de uma unção polinomial de grau 1 é uma recta oblíqua que tem ordenada na origem igual a a 0. O coeiciente de x, a 1, chama-se o declive da recta. O declive está relacionado com a inclinação da recta (o declive é a tangente da inclinação). Estas unções têm domínio R e contradomínio R. São unções bijectivas. Exemplo 3: as unções quadráticas deinidas por : x y ( x) a x a x a, a, a, a ( a 0), são unções polinomiais de grau dois

20 Gráicos de unções polinomiais de grau 2:

21 O gráico de uma unção polinomial de grau 2 é uma curva chamada parábola. O coeiciente de x 2, a 2, determina a concavidade da parábola. Se a 2 or negativo, a parábola tem concavidade voltada parta baixo. Se a 2 or positivo, a parábola tem concavidade voltada para cima. Estas unções têm domínio R mas o seu contradomínio nunca é R. Não são unções injectivas porque conseguimos sempre encontrar dois objectos dierentes que correspondem à mesma imagem.

22 Funções racionais: Diz-se que é uma unção racional se ela or deinida como o quociente entre duas unções polinomiais. Sejam n(x) e d(x) duas unções polinomiais quaisquer. A unção é uma unção racional. Exemplo: :D nx ( ) x y x : \{0} a x... a x a n n 1 0 ( ), m d( x) bm x... b1x b0 1 x y ( x). x

24 O gráico da unção anterior é uma curva chamada hipérbole. Note-se que o número zero não pertence ao domínio da unção anterior, uma vez que 1/0 não tem sentido. Geralmente, o domínio das unções racionais não é o conjunto dos números reais. nx ( ) Considere-se uma unção racional deinida por ( x). d( x) O domínio de é o conjunto uma vez que o denominador da unção racional não pode ser zero. Dividir por zero não tem sentido. D x : d( x) 0,

25 Exemplo: determine o domínio da unção racional 2 x gx ( ). 2 x 1 Resolução: o domínio de g é o conjunto ormado por todos os x que azem com que x 2 1 não seja igual a zero. Comecemos por determinar quando é que x 2 1 é igual a zero: x 2 1 = 0 (x 1)(x + 1) = 0 x = 1 x = 1. Então x não pode ser 1 e x não pode ser 1. O domínio de g é dado por D g = {x R: x 2 1 0} = {x R: x 1 x 1}. O conjunto anterior também pode ser representado por R\{-1, 1}. Lê-se R excepto -1 e 1.

26 Gráico de g:

27 Funções exponenciais: Diz-se que é uma unção exponencial de base a se ela or deinida por : x x y ( x) a, onde a é um número real positivo dierente de 1. Nota: repare que a variável é x. A base da unção exponencial é uma constante. Exemplo: : x x y ( x) 3,

28 Gráicos de unções exponenciais:

29 As unções exponenciais têm domínio R e contrdomínio R +. São unções injectivas porque não existem dois objectos com a mesma imagem. Dentro da amília das unções exponenciais, a unção exponencial de base e (onde e representa o número de Neper) tem uma grande importância na modelação de uma conta que rende juros compostos de uma orma contínua. Se s 0 or o capital investido numa conta que é capitalizada continuamente com a taxa nominal r (de juros compostos), o valor da conta passados t anos é dado pela unção exponencial (t) = s 0 e rt.

30 Se se investir com uma taxa de 3% obtém-se o gráico:

31 Considerem-se dois depósitos com taxas 3% e 5% e igual s 0 :

32 Considerem-se três depósitos com a mesma taxa e dierente s 0 :

33 Funções logarítmicas: Diz-se que é uma unção logarítmica de base a, e deine-se : x y ( x) log ( x), quando a y = x, ou seja, y é o número que se tem que elevar a base a, para se obter x (a > 0 e a 1). A unção logarítmica de base a diz-se a unção inversa da unção exponencial de base a, uma vez que uma anula o eeito da outra: a x Função exponencial Função logarítmica a x

34 Gráicos de unções logarítmicas:

35 As unções logarítmicas têm domínio R + e contrdomínio R. São unções injectivas porque não existem dois objectos com a mesma imagem. Tal como nas unções exponenciais, a unção logarítmica de base e tem uma grande importância. Por isso, representa-se o logarítmo de base e por (x) = ln(x), sem se especiicar a base. O logarítmo de base e também é designado por logarítmo natural. Propriedades dos logarítmos: 1- log a (a x ) = x, para qualquer número real x. 2- Como a 1 = a, então log a (a) = Como a 0 = 1, então log a (1) = 0.

36 loga 4- a x x, para qualquer número real positivo x. 5- Sejam x e y dois números reais positivos. Então log a (x y) = log a (x) + log a (y). Demonstração: log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) a x a y a x a y log ( xy) log a a log a a a a log ( x) log ( y). a a 6- Sejam x e y dois números reais positivos. Então log a (x y) = log a (x) log a (y). 7- Seja x um número real positivo e y R. Então log a (x y ) = y log a (x). 8- Para azer cálculos deve-se usar: log a (x) = ln(x) ln(a).

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