Explorações de alunos

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1 A partir dos exemplos sugeridos e explorados pelos alunos pretende-se que possam conjecturar que, dadas duas funções reais de variável real f e g, o domínio da função quociente pode ser dado por: f f g g { : ( ) 0} D = D D x R g x. Nesta questão, o professor deve estar atento ao facto de os alunos respeitarem a condição imposta no enunciado e de escolherem outras funções com domínios diferentes (logo, que não sejam funções polinomiais), com o intuito de estabelecer a necessidade da intersecção dos domínios das funções iniciais. Explorações de alunos Com a resolução da questão pretende-se que os alunos identifiquem o processo que conduz à determinação de imagens de objectos concretos para a função produto, a partir da análise das representações gráficas das funções dadas. No entanto, os alunos podem mostrar dificuldades na interpretação desta questão e tender a procurar a expressão analítica de cada uma das funções. Nesta situação, o professor deve incentivar os alunos para a análise atenta do enunciado e, se necessário, questioná-los sobre o tipo de representação que é utilizado para definir as funções dadas. A resolução desta questão pode permitir focar a atenção dos alunos na análise das representações gráficas das funções m e n, remetê-los para a determinação gráfica de imagens de objectos concretos e para estabelecerem uma relação entre as imagens, pela função produto, dos valores (- 1) e 3 com o produto das imagens destes objectos, obtidos a partir das funções m e n, como se ilustra na seguinte resolução: A análise de propriedades das funções dadas é também fundamental para a determinação do sinal da função produto, pedida na questão Neste caso, é de espe- 124

2 rar que os alunos associem, de modo intuitivo, o estudo da variação de sinal da função produto à análise do sinal das funções dadas. Com as informações recolhidas a partir das representações gráficas, e de acordo com os procedimentos usuais do décimo ano, os alunos podem organizar os dados construindo a correspondente tabela de sinais: Já na exploração da questão , pode suceder que alguns alunos procurem, novamente, determinar a expressão analítica da função n, que figura em denominador, de modo a calcular analiticamente a condição que define o domínio da função quociente, m n. No entanto, ao recordar as condições de validade de uma expressão algébrica racional, os alunos devem focar a sua atenção na observação das representações gráficas fornecidas, de modo a identificar os zeros da função que se encontra em denominador, para os excluir do domínio: Contudo, no exemplo que se segue, os alunos reconhecem a importância de determinar os zeros das funções dadas para calcular o domínio da função quociente, mas admitem ser impossível efectuar a divisão tanto quando o denominador é igual a zero como quando o numerador é igual a zero: 125

3 A concepção apresentada por estes alunos (e partilhada por tantos outros) quanto à impossibilidade de dividir zero por qualquer outro valor diferente de zero deve ser um dos aspectos que o professor deve discutir com o grupo turma, na fase de validação de resultados. Neste caso, para além da confusão entre condição impossível e expressões com ou sem significado, os alunos parecem não compreender verdadeiramente a noção subjacente à determinação do domínio de uma expressão algébrica racional. Na exploração da resolução da questão 2.2., os alunos devem relacionar as representações gráficas das funções m e n, funções polinomiais do 2.º e 3.º graus, respectivamente, com as correspondentes expressões analíticas, e recolher as informações que consideram necessárias para fundamentar os seus raciocínios. Nesta fase, pode acontecer que os alunos utilizem diferentes estratégias, de modo particular no que se refere à determinação da expressão analítica que define a função m, polinomial de segundo grau. Recorrendo aos conteúdos abordados no décimo ano, os alunos podem, por exemplo, identificar os zeros da função quadrática, recorrer à decomposição em factores de um polinómio do segundo grau e utilizar um ponto conhecido do gráfico da função: 126

4 Noutras situações, os alunos podem tentar identificar a expressão analítica das funções quadráticas a partir de algumas das características das suas representações gráficas, nomeadamente a identificação das coordenadas do vértice e o sentido da concavidade da parábola: Nesta resolução, os alunos não se recordam que, para além da função que indicam, existe uma infinidade de parábolas com a concavidade virada para cima e cuja ordenada do vértice é igual a 4 e, deste modo, não usam as condições suficientes para garantir que esta expressão analítica corresponde, efectivamente, à função dada. Seguindo uma estratégia semelhante, os alunos podem ainda escrever uma expressão analítica da função quadrática, a partir das coordenadas do vértice e da identificação do coeficiente do termo do segundo grau: No entanto, para determinar do valor de a, os alunos usam novamente o ponto correspondente ao vértice, mas os enganos registados na resolução da equação não os conduzem a uma condição indeterminada: 127

5 Na fase de discussão de resultados, o professor deve promover o confronto das diferentes estratégias de resolução desta questão, mas também colocar em destaque a necessidade de uma maior fundamentação de raciocínios. No que respeita à determinação da expressão analítica da função n, polinomial de 3.º grau, os alunos poderão estabelecer uma relação entre os zeros da função e a decomposição do polinómio correspondente em factores, trabalhar algebricamente a expressão obtida e, em seguida, recorrer a um ponto do gráfico da função para determinar o valor do coeficiente do termo de terceiro grau: De modo semelhante, os procedimentos algébricos podem ser trabalhados com a exploração da questão 1.3, referente à apresentação da expressão analítica simplificada, tanto quanto possível, e à caracterização da função n m. Nalguns casos, os alunos não se esquecem de indicar, correctamente, o domínio de equivalência das expressões dadas, como se ilustra com a seguinte resolução: 128

6 Na exploração da questão 1.4. é dada a liberdade aos alunos para escolherem novos pares de funções, de domínios diferentes, com o intuito de estabelecerem uma condição que defina o domínio da função quociente. Nesta fase, a maior ou menor diversidade de exemplos que podem surgir deve ser um factor a ter em conta na preparação da tarefa, por parte do professor. De facto, os exemplos explorados pelos alunos podem não evidenciar a necessidade de considerar a exclusão dos zeros da função que figura em denominador (pelo facto de esta não se anular), como se ilustra na seguinte resolução: Ainda assim, os alunos podem indicar a condição que define o domínio da função quociente e, indicar uma possível generalização dos resultados que encontram com a exploração da tarefa: 129

7 Na discussão com a turma, o professor deve conduzir os alunos a reflectir sobre a importância da determinação do domínio para a caracterização da função quociente. Deve, também dar especial atenção à formalização dos resultados pretendidos, uma vez que esta pode ser uma das dificuldades apresentadas pelos alunos. Considerações finais sobre a exploração da tarefa Na exploração do primeiro conjunto de questões desta tarefa, os alunos podem apresentar alguma dificuldade em recorrer à análise e à recolha das informações necessárias a partir das representações gráficas. No entanto, as explorações que os alunos devem realizar podem permitir a identificação de várias propriedades das funções dadas e também o estabelecimento de conexões entre a representação gráfica e a algébrica. Ao longo da exploração desta tarefa, os alunos podem recordar e relacionar vários conteúdos, tanto os abordados em aulas anteriores (como a noção de função produto, domínio de expressões algébricas, equivalência entre expressões algébricas e divisão de expressões algébricas) como os abordados em anos anteriores (variação de sinal de funções, expressões analíticas de funções quadráticas e de funções cúbicas). Por vezes, quando exprimem por palavras próprias as suas conclusões, os alunos podem evidenciar algumas dificuldades, como é o caso de considerar ser impossível efectuar a divisão quando o dividendo é igual a zero, ou de não reconhecer as condições necessárias para definir a função polinomial de segundo grau. Na fase de apresentação de resultados, o professor deve confrontar os alunos com os diferentes processos de resolução para a mesma questão (como é o caso das explorações que podem surgir na determinação da expressão analítica de função m, polinomial de segundo grau). Deve ainda dedicar especial atenção aos exemplos explorados pelos alunos na última questão e, se necessário, apresentar novas sugestões, com o intuito de dar significado à condição inerente à determinação do domínio da função quociente e à sua formalização. 130

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