1.2. Generalidade Sobre Funções O Plano Cartesiano

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1 1.. Generalidade Sobre Funções O Plano Cartesiano Assim como podemos representar números reais por pontos numa recta de números reais, podemos também representar pares ordenados de números reais por pontos num plano chamado sistema de coordenadas rectangulares, ou plano cartesiano. Forma-se o plano cartesiano utilizando-se duas rectas que se intersectam segundo um ângulo recto. A recta horizontal costuma chamar-se eio dos XX, e a recta vertical eio dos YY. O ponto de intersecção desses dois eios é a origem, e os dois eios dividem o plano em quatro partes iguais chamadas quadrantes. eio dos Y Y Quadrante II 4 3 Recta real vertical Quadrante I Origem eio dos XX Recta real horizontal Quadrante III 3 Quadrante IV 4 Cada ponto do plano corresponde a um par ordenado (, ) de números reais e, chamados coordenadas do ponto. 1

2 A coordenada representa a distância orientada do eio ao ponto, e a coordenada representa a distância orientada do eio ao ponto. eio dos Y Y (,) eio dos XX Consideremos os pontos de coordenadas (, ), (3, 4), (0, 0), (3, 0), (, 3) e (0, ). Para marcar o ponto (, ), imaginemos uma recta vertical passando por no eio dos XX e uma recta horizontal passando por no eio dos Y Y. A intersecção dessas duas rectas é o ponto (, ). De maneira análoga marcam-se os outros pontos. 4 (3,4) (-1,) 3 1 (0,0) (3,0) 3 (-,-3) (0,-) 4

3 1... Funções Em muitas relações entre duas variáveis, o valor de uma delas depende do valor da outra. Por eemplo, o imposto sobre um produto depende do seu preço de venda. A relação entre a área de um círculo e o seu raio pode ser epressa pela equação A = πr. Nesta equação, o valor de A depende do valor escolhido para r. Por isto, A é a variável dependente e r é a variável independente. quase todas as relações que vamos estudar são tais que, a um dado valor da variável independente, corresponde um e só um valor da variável dependente. Tal relação chama-se função. Definição 1 Sejam X e Y conjuntos de números reais. Uma função f real de variável real X em Y é uma correspondência que associa a cada número X eactamente um número Y. O domínio de f é o conjunto X. O número é a imagem de por f e é representado por f(), que é designado por valor de f em. A imagem de f é um subconjunto de Y que consiste em todas as imagens dos números em X. 3

4 Eemplo. Quais das seguintes equações definem como função de? a) + = 1 b) + = 1 c) + = 1 d) + = 1 Resolução: Para decidir se uma equação define uma função, é conveniente isolar a variável dependente no membro esquerdo. Por eemplo, para decidir se a equação + = 1 define como função de, escrevemos a equação na forma = 1 Com a equação nesta forma vemos que a qualquer valor de corresponde eactamente um valor de. Portanto, é função de. Equação Original Forma Eplícita Teste: é função de + = 1 = 1 Sim, cada valor de define eactamente um valor de + = 1 = ± 1 Não, alguns valores de definem dois valores de + = 1 = 1 Sim, cada valor de define eactamente um valor de + = 1 = ± 1 Não, alguns valores de definem dois valores de 4

5 Nota: As equações que atribuem dois valores (±) à variável dependente para um dado valor da variável independente não definem funções de. Por eemplo, na alínea b), quando = 0, a equação = ± 1 indica que = +1 ou =. Em baio estão representados os gráficos das quatro equações. Ao definirmos uma função por uma equação, em geral isolamos a variável dependente no membro esquerdo. Por eemplo, ao escrevermos a equação + = 1 como = 1 (1) indicamos que é a variável dependente. Em notação de função, a equação (1) tem a forma f() = 1 5

6 A notação de função tem a vantagem de identificar claramente a variável dependente como f() e, ao mesmo tempo, diz-nos que é a variável independente e que a função é f. O símbolo f() é lido f de. Por outro lado, em vez de perguntarmos Qual é o valor de que corresponde a = 3?, basta-nos perguntar Quanto é f(3)?. Na equação que define uma função, o papel da variável é simplesmente de guardadora de lugar. Por eemplo, a função dada por f() = () pode ser descrita na forma f( ) = ( ) 4( ) + 1. (3) onde os parêntesis são usados em vez de. Para calcular o valor de f(), simplesmente coloca-se em cada conjunto de parêntesis. f() = () 4 () + 1 = = = = = 7 6

7 O valor f() é chamado um valor da função, e está na imagem de f. Isto significa que o ponto (, 7) pertence ao gráfico de f. Nota: Embora f seja frequentemente usada como um nome de função conveniente, e como a variável independente, podem-se usar outros símbolos. Também é comum identificar f() pela variável dependente, como já foi dito anteriormente. Por eemplo, todas as equações abaio definem a mesma função: f() = A função é f, a variável independente é R(t) = t 4t + 7 C(s) = s 4s + 7 = A função é R, a variável independente é t A função é C, a variável independente é s A função está representada pela variável dependente, a variável independente é C = t 4t + 7 A função está representada pela variável dependente C, a variável independente é t 7

8 O domínio de uma função pode ser descrito eplicitamente, mas também pode estar implícito na equação que define a função. Por eemplo, a função = 1 tem um domínio implícito, que consiste 4 em todos os reais diferentes de = ±. estes valores estão ecluídos do domínio porque a divisão por zero não é definida. Outro tipo de domínio implícito é o que se usa para evitar raízes pares de números negativos. Eemplo 3. Calculemos analiticamente o domínio e contradomínio (imagem) das seguintes funções: a) Para = 1 vem, D f = { IR : 1 0} D f = { IR : 1} D f = [1, + ). Para calcular o contradomínio, note-se que: 1 0, D f D f = IR + 0 = D f = [0, + ) Graficamente = [0, + ) 1 D f D f = [0, + ) 8

9 1, < 1 b) Para = vem D f = IR = (, + ) 1, 1 Repare que a função está definida para < 1 e 1 (o segundo ramo da função foi estudado na alínea anterior). Quanto à imagem de f: 1 = D 1(f) = [0, + ) a) < 1 = (1 ) > 0 = D <1(f) = (0, + ) = D f = [0, + ) = [0, + ) 1 1 D f D f = (, + ) Pela observação do gráfico verificamos que eistem objectos diferentes que têm a mesma imagem, contrariamente ao que se passa no gráfico do eemplo da alínea a). Definição Uma função de X em Y diz-se injectiva se a cada valor de corresponde um e um só valor de. Geometricamente, uma função é injectiva se toda a recta horizontal intersecta o seu gráfico no máimo uma vez. Uma função diz-se sobrejectiva se e só se a sua imagem consiste em todo o Y. 9

10 No eemplo anterior podemos constatar que a função definida na alínea a) é injectiva enquanto que a função definida na alínea b) não é nem injectiva nem sobrejectiva Gráfico de Uma Função Definição 3 O gráfico da função = f() consiste de todos os pontos (, f()), com D f. Ao traçar o gráfico de uma função, a convenção é representar a variável independente no eio dos XX e a variável dependente no eio dos Y Y. Se observarmos a figura seguinte, concluímos que: = distância direccionada do eio dos Y Y f() = distância direccionada do eio dos XX (,f()) f() Adoptada a convenção acima referida e atendendo ao teste da recta vertical - Uma recta vertical pode intersectar o gráfico de 10

11 uma função de no máimo uma vez - podemos sempre, graficamente, se estamos ou não na presença do gráfico de uma função. Isto é, um gráfico no plano coordenado é um gráfico de uma função f se e só se nenhuma recta vertical intersecta o gráfico em mais de um ponto. Eemplo 4. Aplique o teste da recta vertical para determinar se é função de : Intersecções de um Gráfico Duas categorias de pontos especialmente úteis para desenhar o gráfico de uma função são aqueles que possuem a coordenada ou a coordenada iguais a zero. Tais pontos são chamados de pontos de in- 11

12 tersecção com o eio, porque são os pontos nos quais o gráfico intersecta os eios dos XX ou dos Y Y. O ponto (a, 0) é uma intersecção com o eios dos XX com o gráfico de uma função se a é uma zero da função. O ponto (0, b) é uma intersecção com o eios dos Y Y com o gráfico de uma função se b é a ordenada na origem. É possível que um gráfico não tenha intersecções com os eios ou que tenha várias. Eemplo 5. Para calcularmos os pontos da função 3 = onde o gráfico da função intersecta os eios dos XX e dos Y Y, vamos averiguar quais são sos pontos de abcissa nula e de ordenada nula. = 0 3 = = 3 = ( 3, 0) ponto de intersecção do gráfico da função com o eio dos XX = 0 3 = 0 = 3 = ± 3 = (0, 3) e (0, 3) pontos de intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y 1

13 Simetria de um Gráfico Conhecer a simetria de um gráfico antes de traçá-lo é útil pois permite esboçar o gráfico com apenas metade dos pontos. Os três tipos de simetria a seguir podem ser utilizados para desenhar gráficos de equações: Definição 4 Um gráfico é simétrico em relação ao eio dos Y Y se, sempre que (, )é um ponto do gráfico da função, então (, ) também o é. Isto significa que a parte do gráfico à esquerda do eio dos Y Y é um refleo da parte à direita do eio dos Y Y. Um gráfico é simétrico em relação ao eio dos XX se, sempre que (, )é um ponto do gráfico da função, então (, ) também o é. Isto significa que a parte do gráfico acima do eio dos XX é um refleo da parte abaio do eio dos XX. Um gráfico é simétrico em relação à origem se, sempre que (, )é um ponto do gráfico da função, então (, ) também o é. Isto significa que o gráfico é invariante por uma rotação de 180 o ao redor da origem. 13

14 Eemplo 6. O gráfico da função = 1 é simétrico em relação ao eio dos XX. Vejamos, = 1 equaç~ao original ( ) = 1 substituindo por = 1 equaç~ao equivalente como as substituições geram uma equação equivalente, podemos concluir que o gráfico da função dada é simétrico em relação ao eio dos XX. Para traçarmos o gráfico, basta atendermos a que a parte abaio do eio dos XX é uma imagem reflectida da parte acima do eio dos XX. Marcamos os pontos de intersecção com o eio dos XX e os pontos acima do eio dos XX. Finalmente traçamos a parte abaio do eio dos XX espelhando a parte já esboçada. (, 1) (5, ) (1, 0)

15 1..4.Transformações de Funções Algumas famílias de gráficos têm a mesma forma básica. Por eemplo, observemos as figuras seguintes: Cada um dos gráficos é uma transformação do gráfico da função =. Os três tipos básicos de transformações ilustrados por estes gráficos são deslocamentos verticais, horizontais e refleões. A notação de função presta-se bem para descrever transformações de gráficos do plano. 15

16 Consideremos f() = como função original. As transformações da figura anterior podem ser representadas pelas seguintes equações: = f() + = f( + ) deslocamento vertical de unidades para cima deslocamento horizontal de unidades para a esquerda = f() refleão em torno do eio dos XX = f( + 3) + 1 deslocamento horizontal de 3 unidade para a esquerda, refleão em torno do eio dos XX deslocamento vertical de 1 unidade para cima Duma forma geral podemos concluir, para c > 0, que Gráfico original = f() deslocamento horizontal de c unidades para a direita = f( c) deslocamento horizontal de c unidades para a esquerda = f( + c) deslocamento vertical de c unidades para baio deslocamento vertical de c unidades para cima refleão em torno do eio dos XX refleão em torno do eio dos Y Y refleão em torno da origem = f() c = f() + c = f() = f( ) = f( ) 16

17 1..5. Classificação de Funções Muitos fenómenos da vida real podem ser obtidos através de funções chamadas funções elementares. As funções elementares podem ser classificadas em: 1. Funções algébricas - polinomiais, radicais e racionais. Funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente, etc 3. Funções eponenciais e logarítmicas O tipo mais comum de função algébrica é a função polinomial que é uma função da forma: f() = a n n + a n n a + a 1 + a 0, a n 0. (4) onde o inteiro positivo n é o grau da função polinomial. As constantes a i, são os coeficientes, com a n sendo o coeficiente principal e a 0 o termo constante da função polinomial. Eemplo 7. Grau 0: f() = a Grau 1: f() = a + b Grau : f() = a + b + c Função constante Função linear Função quadrática Grau 3: f() = a 3 + b + c + d Função cúbica 17

18 Função Linear As funções lineares são da forma f() = a + b, a n 0 (5) e são assim chamadas porque o seu gráfico é uma recta. Fazendo = 0, vemos que a recta intersecta o eio dos Y Y em = b, isto é, a intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y é o ponto (0, b). A inclinação, declive ou coeficiente angular, da recta é Esquematicamente temos: m = a (6) f() = a Declive + b Intersecção com o eio dos Y Y Nota: Como o gráfico das funções lineares são rectas é usual representar estas funções na forma = m + b. 18

19 O declive de uma recta é o número de unidades que a recta se eleva (ou desce) verticalmente para cada unidade de variação horizontal da esquerda para a direita. Uma recta vertical tem uma equação da forma = a. Tal equação não pode ser escrita na forma = m + bpelo que o declive de uma recta vertical não é definido. = 3 4 Uma vez determinados o declive e a intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y, é relativamente fácil traçar o gráfico da função. 19

20 Eemplo 8. Esboce o gráfico das seguintes funções lineares: Resolução: a) = + 1 b = 1 = intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y é o ponto (0, 1) m = = recta eleva-se duas unidades para cada unidade que se desloca para a direita b) = = 0 + b = = intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y é o ponto (0, ) m = 0 = recta nem se eleva nem desce, logo a recta é horizontal c) Ora, + = = + = () + b = = intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y é o ponto (0, ) m = = recta desce uma unidade para cada unidade que se desloca para a direita 0

21 Definição 5 O declive m de uma função linear que passa pelos pontos ( 1, 1 ) e (, ) é m = = 1 1, 1. (7) Se ( 1, 1 ) é um ponto de uma função linear de declive m e (, ) é um ponto arbitrário da mesma função, então m = 1 1, 1. (8) Em problemas da vida real, o declive de uma recta pode ser interpretado como uma razão ou como uma taa. Se o eio dos XX e o eio dos Y Y têm a mesma unidade de medida, então o declive é uma razão. se o eio dos XX e o eio dos Y Y têm unidades diferentes, 1

22 então o declive da recta é uma taa, ou uma taa de variação. Eemplo 9. O fluo de caia por acção numa empresa foi de, 38 euros em 1988 e, 80 em Utilizando apenas esta informação, vejamos como estabelecer uma função linear que dê o fluo de caia por acção em função do ano. Associando t ao ano, podemos fazer: 1988 = t = = t = 1 Desta forma os dois valores dados são representados pelos pares ordenados (0;, 38) e (1;,8). O declive da recta que passa por estes dois pontos pode ser calculado usando a fórmula (7). Vem: m =, 8, = 0, 4

23 Na posse destes dados, e atendendo à fórmula (5) podemos relacionar o fluo de caia C e o ano correspondente a partir da função C = 0, 4t +, 38 Podemos analisar graficamente a função C = 0, 4t +, 38: C C = 0, 4t +, 38 4 (0,.38) (1,.8) (3, 3.64) (,3.) (4,4.06) Nota: t Duas rectas distintas não verticais são paralelas se e só se têm o mesmo declive: m 1 = m Duas rectas distintas não verticais são perpendiculares se e só se têm os seus declives são inversos negativos um do outro: m 1 = 1 m Função Quadrática As funções quadráticas são da forma f() = a + b + c, a 0. (9) O gráfico destas funções são parábolas. 3

24 O gráfico de uma função quadrática é fácil de esboçar se atendermos às seguintes propriedades: Concavidade: a < 0 = concavidade voltada para baio a > 0 = concavidade voltada para cima Zeros: = b ± b 4ac a Se b 4ac > 0 Se b 4ac = 0 Se b 4ac < 0 f() tem dois zeros reais distintos f() tem um zero real duplo f() não tem zeros reais 4

25 Vértice: ( b a, f ( b )) a Eio de Simetria: = b a Sinal: Se b 4ac > 0 f() tem sinal contrário ao de a no intervalo dos zeros e sinal igual de a fora do intervalo dos zeros Se b 4ac = 0 f() tem o sinal de a ecepto no zero Se b 4ac < 0 f() tem sempre o sinal de a Eemplo 10. Atendendo a que a função f() = ( + 1) + 1 é uma função quadrática logo o seu gráfico é uma parábola. Para esboçarmos o gráfico da função comecemos por escrever a função na forma canónica: f() = ( + 1) + 1 = ( + + 1) + 1 = = = Então temos: Zeros: = 0 ( + ) = 0 = 0 = 5

26 Concavidade: a = = concavidade voltada para baio Vértice: ( b a, f ( b )) a = (, f ( )) = (, 1) Logo = f() 3 1 O gráfico da função f(): é uma parábola de vértice (h, k). f() = a( h) + k. (10) f() (h,k) Eemplo 11. Através da fórmula (10) podemos indicar as coordenadas do vértice da função f() = 3. Basta atender a que 6

27 a( h) + k = a( h h ) + k = a ah + ah + k vem a = 1 ( ah = = h = 1) (ah + k = 3 = k = 4) donde f() = 3 = ( 1) 4 = V (1, 4) Combinações de Funções Duas funções podem combinar-se de várias maneiras, originando novas funções. Por eemplo, considerando f() = 3 e g() = + 1 podemos formar as funções (f + g)() = f() + g() = ( 3) + ( + 1) = + (f g)() = f() g() = ( 3) ( + 1) = + (f g)() = f() g() = ( 3) ( + 1) = ( ) f () = f() g g() =

28 Há ainda outra maneira de combinar duas funções, chamada composição. A função resultante é uma função composta. Definição 6 Sejam f e g funções reais de variável real. A função dada por (f g)() = f(g()) chama-se função composta de f com g. O domínio de f g é o conjunto de todos os no domínio de g tais que g() está no domínio de f. Nota: Obviamente que a composta de f com g não é, em geral, igual à composta de g com f. Eemplo 11. Para f() = 3 e g() = + 1, temos: f[g()] = [g()] 3 = Calcular f em g() = ( + 1) 3 = Substituir g() por + 1 = 1 Simplificar g[f()] = [f()] + 1= Calcular g em f() = ( 3) + 1 = Substituir f() por 3 = Simplificar 8

29 1..7. Função Inversa Informalmente, a inversa de uma função f é outra função g que desfaz o que f fez. Definição 7 As funções f e g são inversas uma da outra se f[g()] = para cada no domínio de g g[f()] = para cada no domínio de f. A função g representa-se por f e lê-se inversa de f. Para que f e g sejam inversas uma da outra, a imagem de g deve ser igual ao domínio de f, e vice-versa. Nota: Os gráficos de f e f são refleões um do outro (em relação à recta = ). f 4 (b,a) = (a,b) f Seguidamente apresentam-se várias funções e as respectivas inversas. Em cada caso, podemos observar que a função inversa desfaz a função original. 9

30 Funç~ao Funç~ao Inversa a) f() = f () = 1 b) f() = 1 f() = 3 3 c) f() = + 4 f () = 4 d) f() = 5 f () = 1 ( + 5) e) f() = 3 f () = 3 f) f() = 1 f () = 1 Calcular as funções inversas do eemplo anterior é muito simples. Nem sempre é assim como iremos ver. Eemplo 1. Para calcular a inversa da função f() = 3 comecemos por substituir f() por para de seguida resolvermos a equação em ordem a. f() = 3 = 3 = = Substituindo f() por Permutando e Somando 3 a ambos os + 3 = + 3 membros = Dividindo ambos os membros por Colocando a variável dependente no 1 o membro 30

31 A epressão que define a função inversa é Graficamente, temos: f () = + 3, 0 6 f = 3 f (0,3/) (3/,0) 3 6 Note-se que o domínio de f coincide com o contradomínio de f. Após achar a inversa de uma função, é conveniente verificar os resultados, o que se pode fazer graficamente, observando que os gráficos de f e f devem ser a refleão um do outro em relação à recta =. Algebricamente, podemos fazer esta verificação calculando f [ f () ] e f [f()] observando que ambas devem ser iguais a. No nosso caso vem f [ f () ] ( ) ( + 3 ) + 3 = f = 3 = = =, 0 31

32 f [f()] = f ( 3 ) = ( 3) + 3 = = =, 3 Nota: Nem toda a função possui inversa. Na verdade, para que a função tenha uma inversa, ela deve ser injectiva. Eemplo 13: Vejamos que a função f() = 1 não tem inversa começando por esboçar o gráfico de f 4 (-,3) (,3) f 4 Da análise do gráfico podemos verificar que f() = 1 = 3 e f( ) = ( ) 1 = 3 Assim sendo, f não passa no teste da recta horizontal, o que implica que f não é uma função injectiva e, deste modo, não tem inversa. Podemos chegar à mesma conclusão procurando calcular a inversa de f. 3

33 f() = 1 = 1 = = Substituindo f() por Permutando e Somando 1 a ambos os membros ± + 1 = Calculando a raiz quadrada de ambos os membros = ± + 1 Colocando a variável dependente no 1 o membro Como já vimos anteriormente a última equação não define como função de, e, assim, f não tem inversa. 33

34 1..8. Eercícios 1. Marque os pontos (3, 1), (, ), ( 3, 3 ), (, 0), (1, 3) e (0, 3).. Calcule os seguintes valores da função f() = + 7: a) f(0) b) f(3a) c) f(b 1) f( + ) f() d), 0 3. Decida se a equação define como função de : a) + = 4 b) + = 4 c) + = 4 d) = 0 4. Calcule, quando possível, f() + g(), f()/g(), f[g()] e g[f()]: a) f() = + 1 g() = 1 b) f() = + 5 g() = 1 c) f() = g() = d) f() = 4 g() = Calcule, quando possível, a inversa da função f. Trace o gráfico de f e f no mesmo referencial. a) f() = 3 b) f() = 9, A partir do gráfico da função f =, trace o gráfico das funções. a) f() = + b) f() = c) f() = d) f() = Calcule os pontos de intersecção do gráfico das funções seguintes com os eios cartesianos: a) 3 = 0 b) = ( 1)( ) c) = + 4 d) = 9 e) = 4 f) = 3 8. Esboce o gráfico da função: 4 se g() = 1 se < < 1 3 se 1 34

35 9. O declive máimo recomendado para uma rampa para cadeiras de rodas é 1. Uma firma 1 está pretende instalar uma rampa que se eleva a polegadas numa distância horizontal de 4 pés. a inclinação da rampa ecede a recomendada? 10. Numa reunião de negociação co o sindicato de uma grande indústria este pretende um aumento de $8, 75 por hora mais um adicional de $0, 80 por unidade fabricada. A indústria oferece um aumento de $6, 35 por hora mais um adicional de $1, 15 por unidade fabricada. (a) Estabeleça uma equação linear para os salários em função do número de unidades fabricadas por hora, para cada esquema de remuneração. (b) Esboce o gráfico de cada função e encontre o ponto de intersecção. (c) Interprete o significado do ponto de intersecção dos gráficos. informação para orientar a indústria e o sindicato? Como utilizaria esta 11. Uma companhia reembolsa os seus representantes de vendas com 150 euros por dia para alojamento e alimentação e 0, 34 euros por Km percorrido. Escreva uma equação que forneça o custo diário C para a companhia em função do número de Km percorridos. Quanto custará para a empresa um representante de vendas se percorrer 137 Km em determinado dia? 1. Uma pequena empresa adquire uma peça de equipamento por $875. Após 5 anos, o equipamento estará desactualizado. (a) Escreva uma equação que forneça o valor do equipamento em função do tempo. (b) Quanto vale o equipamento ao fim de anos? 13. Uma firma determina que o custo total, em euros, da produção de unidades de um artigo é C = Indique o significado prático da intersecção do gráfico da função com o eio dos Y Y e do declive da recta dada pela função custo. 14. Uma indústria adquiriu por $1 00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. Ao cabo de 8 anos, o seu valor é $ 000. Estabeleça uma função linear que descreva o valor não depreciado da máquina a cada ano. 35

36 15. Associe a função ao gráfico. Determine o domínio e o contradomínio da função. a) = b) = 1 + c) = + d) = 9 e) = f) = 3 g) = 4 h) = 1 i) = 3 j) = 3 k) = l) =