Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Funções inversas. - O ponto de partida é o ponto de parada da aula passada: as funções inversas. - Antes de entrarmos nos detalhes matemáticos, o importante é compreender o conceito desta idéia. Uma função inversa é, literalmente, uma função qualquer cujas variáveis dependente e independente são invertidas! Na prática, isto significa inverter o tipo de pergunta que fazemos. - Por exemplo, podemos ter uma função que mostra como o tamanho de uma floresta reduz com o tempo (o tamanho é nossa variável dependente e o tempo é nossa variável independente); sua função inversa descreveria quanto tempo seria necessário para que a floresta atinja um determinado tamanho. - Para que exista uma função inversa, uma função deve ser monotônica. - Por exemplo: y = ax + b é monotônica crescente para valores de a positivos, e decrescente para negativos. Mas é sempre monotônica: os valores de y sempre aumentam (ou diminuem). - A função inversa seria: x = (y b)/a (desde que a 0) - Já a função potência y = ax n não é necessariamente monotônica. - y = x 2 não é monotônica, pois para um valor positivo de y eu tenho dois possíveis valores de x (trace o gráfico para visualizar). - Generalizando: se y = f(x) é uma função monotônica, então podemos representar sua função inversa como x = g(y) ou x = f -1 (y). - y = f(x) projeta o domínio na imagem, e x = g(y) projeta a imagem no domínio. - Uma maneira prática bem simples de conferir se uma função é ou não monotônica é traçar seu gráfico, e visualizar se os valores de y tendem sempre a crescer (ou a diminuir), ou se há uma mudança de comportamento a partir de um certo valor de x.

2 2. Função logarítmica - A função y = 2 x é monotônica crescente. - Sua função inversa é: x = log2y; ou, considerando apenas a inversa: - y = log2x - Em português : perguntar qual o logaritmo de um número y em uma base n é o mesmo que perguntar a qual número x preciso elevar n para que o resultado seja y. - Chamamos n de base e x de logaritmando. - Como calcular um logaritmo? - Trabalharemos, na prática, apenas com o logaritmo em base 10 (logaritmo comum), pois ele nos permitirá resolver as contas na mão com muito mais facilidade Basta ter em mãos uma tabela de logaritmo. - Para começar, vamos ver alguns valores fáceis de calcular deste logaritmo, para termos um ponto de partida para calcularmos os mais complicados. Como a base dez é a base mais básica para nós, podemos representar log10 x simplesmente como log x = 1000 log 1000 = = 100 log 100 = = 10 log 10 = = 1 log 1 = = 0,1 log 0,1 = -1 - Ou seja: é bem fácil calcular o logaritmo de qualquer múltiplo de 10! Se quisermos saber o logaritmo de outro número, então, já sabemos que ele estará entre dois valores. Por exemplo, log 15 necessariamente será alguma coisa entre 1 e 2. - A partir deste cálculo, sabemos qual é o número de antes da vírgula, chamado de característica (no caso de log 15, a característica é 1; ou seja, log 15 = um vírgula alguma coisa ); agora basta conferirmos uma tabela de logaritmo comum para encontrar a mantissa, o número de depois da vírgula. - Na tabela de logaritmos comuns, a mantissa de 15 é Isto quer dizer que log 15 = 1,1761.

3 - No caso de valores que fujam da tabela, podemos aplicar algumas operações básicas para simplificar o logaritmo, e quebrá-lo em valores que podemos calcular! - As quatro regras básicas (que podem ser facilmente demonstradas a partir das regras de potência): - logab = loga + logb - log1/a = loga - loga/b = loga logb - loga n = nloga - Por exemplo: queremos saber o valor de o valor de log 2. Não há log 2 na tabela, pois ela começa com log 10. Mas é bem fácil achar log 20, que vale 1,3010 (pois sabemos que log 20 está entre 1 e 2). Podemos então usar a primeira regra, que nos permite dizer que: log 20 = log 10 + log 2. Nós sabemos que log 10 = 1, agora podemos dizer que: 1,3010 = log Ou seja: log 2 = 0, No final deste esquema de aula apresentarei as regras básicas gerais para usarmos a tabela de logaritmo, além de deixar uma cópia da tabela de logaritmo comum em anexo (a mesma que estará disponível em prova). 3. Aplicações do logaritmo 3.1. Invertendo perguntas. - Voltando ao que nos interessa: para que serve um logaritmo? - A utilidade mais imediata está na inversão de funções e das perguntas ligadas à elas. - Por exemplo: a partir de uma função exponencial que nos diz como a quantidade de madeira em uma floresta depende do tempo de crescimento, podemos inverter a pergunta (e a função!) e perguntar quanto tempo é necessário para que tenhamos duas vezes mais madeira em relação a uma quantidade inicial. - Veja o exemplo no final do esquema para visualizar na prática como usamos o logaritmo para encontrar o resultado do inverso de uma função.

4 Abundância Logaritmo da abundância 3.2. Traçando gráficos. - Os logaritmos também podem ter uma grande utilidade visual, quando lidamos com certos tipos de gráficos. - O que acontece é que a construção de gráficos com variáveis que possuem valores em diferentes escalas de grandeza pode gerar um resultado muito difícil de se interpretar visualmente (o que é a função primordial dos gráficos!). - E a aplicação dos logaritmos reduz a variação dos dados! Dê uma olhada de novo nos valores de log 10 que apresentei mais acima no esquema: log 10 = 1, log 100 = 2 e log 1000 = 3. Nós pegamos três números bem diferentes, e seus logaritmos são muito próximos! - Vejamos um exemplo prático. - Uma maneira interessante de se resumir as informações sobre a diversidade de um ambiente é uma curva de distribuição de abundâncias. A idéia é bem simples: colocamos cada uma das espécies, numeradas da mais abundante para a menos abundante, no eixo x, e mostramos a abundância de cada uma no eixo y. - É um gráfico bem informativo, que ilustra muito bem a estrutura da comunidade, mostrando quais espécies são raras, quais são dominantes, etc. - Mas podemos ter um problema: se as espécies possuem abundâncias muito diferentes, é muito difícil interpretar o que acontece com as espécies de abundância baixa... - A solução é traçar o gráfico com o logaritmo da abundância! Compare os gráficos abaixo (que usam os mesmo dados) para visualizar: Espécie Espécie

5 4. Um guia para o uso da tabela de logaritmo comum. - No final deste esquema, há uma tabela de logaritmo comum, dividida em duas páginas. Ela é a mesma tabela que vocês terão em mãos para resolver as questões de prova envolvendo logaritmos. O uso da tabela: 1. Encontre o valor da característica. Isto não será difícil, pois basta saber entre quais números o seu logaritmo está. Exemplos: log 15 está entre 1 e 2, e log 134 entre 2 e Procure o número na tabela, na primeira coluna. O valor encontrado será a mantissa. Cada coluna serve para encontrar os valores de logaritmos de números fracionários, e representa o valor depois da vírgula do valor que você encontrou na primeira coluna. Exemplos: a mantissa de log 15 está na coluna 0, já a mantissa de 15,4 está na coluna O resultado do logaritmo é mantissa-vírgula-característica. Veja alguns exemplos: log 15 = 1,1761; log 72,5 = 1,8603. E lembre-se: se o valor que você quer encontrar não está na tabela, basta usar as regras de logaritmo para encontrá-lo. Nos exercícios resolvidos estão exemplos de como isto deve ser feito. Exercício 1 A estimativa de um estoque pesqueiro é uma tentativa de determinar a biomassa de uma população de peixes explorada comercialmente, normalmente com o objetivo de explorá-la sustentavelmente. Assuma um estoque peixeiro estimado em toneladas, que cresce 6% por mês, e que poderá ser explorado novamente quando atingir toneladas Encontre a função que descreve o crescimento mensal do estoque peixeiro. Estamos lidando com uma função exponencial, naquele caso particular que trata de porcentagens. A lógica, então, é a de uma função geral com a forma y = aq x. O detalhe importante é que temos que pensar no q como um fator que representa a porcentagem de aumento (ou de decréscimo, se fosse o caso). Nosso primeiro passo é, então, calcular o valor de q. Se vocês retornarem ao início da disciplina e derem uma olhada na fórmula

6 geral para se calcular uma porcentagem, verão que ela é uma função exponencial na qual o valor de q é (1 + p/100).neste caso, então, os 6% de aumento representam um valor de q de (1 + 6/100) = 1,06. Já temos nosso valor de q, e podemos também substituir o valor de a, que representa o tamanho inicial da população, que neste caso é o estoque que está estimado em toneladas. A nossa equação, então, ficará assim: y = ,06 x Esta equação descreve como o estoque de peixes (o nosso y) varia com o tempo (o nosso x) Quanto tempo será necessário para que este estoque possa ser explorado novamente? Já temos a nossa equação, mas no lugar de ter que determinar o valor de y a partir de um valor de x, temos que determinar o valor de x necessário para termos um y de toneladas (o valor necessário para que o estoque possa ser explorado). Uma maneira mais grosseira de resolver esta questão seria substituindo valores de x, até encontrar um y de aproximadamente Mas além de trabalhosa, esta solução não nos permite chegar no valor exato de x. A solução, então, está na aplicação dos logaritmos. Passo a passo: Primeiro, vamos substituir na equação os valores que temos em mãos: = ,06 x 1,06 x = 2 Agora, aplicamos log (em base dez, já que vamos usar a tabela de logaritmo que vocês têm em mãos) nos dois lados da equação. Ou seja: log 1,06 x = log 2 Sabemos (veja a quarta regra de operações com logaritmos) que isto é o mesmo que: x log 1,06 = log 2 x = log 2/log 1,06

7 Agora só falta calcular estes valores de logaritmos. Para isso, vamos nos voltar para a tabela de logaritmo comum (lá no anexo). Ela começa com o valor 10, mas isto não é um problema, pois sabemos (veja a primeira regra) que log 20 = log 10 + log 2. E calcular log 20 é fácil, basta olhar a tabela. O valor correspondente é 3010 (na coluna 0, já que o número é 20,0), mas ele ainda não é nossa resposta ele representa o valor depois da vírgula. O número antes da vírgula é bem fácil: sabemos que log 10 é 1, e que log 100 é 2, o que nos diz que log de 20 deve estar entre 1 e 2. Ou seja, log 20 é 1,3010! Se log 10 = 1, log 20 = 1,3010, e nós dissemos que log 10 + log 2 = log 20, então sabemos agora que log 2 = 0,3010. Vamos calcular, então, o log 1,06. De novo, vamos usar as regras ao nosso favor, e dizer que log 10,6 = log 10 + log 1,6. Para o log 10,6, vamos na tabela e procuramos a linha do número 10 e a coluna do número 6. O valor informado é Sabemos que este é o valor de depois da vírgula, e que o valor de antes da vírgula deve ser 1. Logo, log 10,6 = 1,0253, e log 1,06 = 0,0253. Agora é só terminar a conta: x = log 2/log 1,06 = 0,3010/0,0253 = 11,9 Ou seja, o estoque pode ser explorado novamente em 11,9 meses! Exercício 2 (continuação do exercício 2 da aula passada): No exercício resolvido 2 da aula passada, nós lidamos com uma mata de 150 km 2 que perde, anualmente, 15% de sua área por desmatamento. Ao longo do exercício nós encontramos a equação que descreve esta situação: y = 150 0,85 x Agora vamos usar o mesmo exercício e dar continuidade com uma nova pergunta: 2.3. Em quanto anos este fragmento terá metade de sua área original? O processo é o mesmo que o do exercício anterior, então vamos pular os detalhes da explicação.

8 Se a área original é de 150 km 2, então o que queremos saber é qual o valor de x para que o y seja de 75. Ou seja, temos que resolver: Então, resolvendo as contas: 75 = 150 0,85 x 0,85 x = 0,5 x log 0,85 = log 0,5 x = log 0,5/log 0,85 Primeiro vamos resolver log 0,85: log 85 = log 0,85 + log 100 log 85 = 1,9294 1,9294 = log 0, log 0,85 = - 0,0706 E agora o log 0,5: log 50 = log 0,5 + log 100 log 50 = 1,6990 1,6990 = log 0,5 + 2 log 0,5 = - 0,0301 Então: 75 = 150 0,85 x x = log 0,5/log 0,85 = 4,3 Ou seja, o fragmento terá uma área de metade da área original após 4,3 anos. Exercício 3 Um pesquisador relatou a existência de uma área desertificada em expansão dentro de uma Unidade de Conservação de Mata Atlântica. A área desertificada foi medida em 200 km 2, e foi constatado que ela estava em expansão em uma taxa de 15% ao ano Qual a equação que descreve o tamanho da área desertificada em função do tempo? A equação é exponencial, então segue o formato y = aq x Encontrando o valor de q: p 15 q = (1 + ) = (1 + ) = 1, A constante a representa o tamanho inicial, então a equação é: y = 200 1,15 x

9 3.2. Considerando a equação que você descreveu e que a Unidade de Conservação possui uma área total de 700km 2, quanto tempo seria necessário para que toda a Unidade seja tomada pela área desertificada? Basta substituir o y por 700, e resolver a equação usando logaritmo: 700 = 200 1,15 x 700 = 200 1,15x 3,5 = 1,15 x log 3,5 = x log 1,15 log 3,5 x = log 1,15 x = 0,544 0,060 x = 8,96 anos Exercício 4: Estudando a abundância total de um inseto praga dentro de um silo de armazenamento de grãos, um pesquisador estimou a sua abundância total em indivíduos. Ele então aplicou um inseticida que deveria causar a mortalidade de 70% da população de insetos por dia de uso contínuo Qual a equação que descreve a abundância de insetos por dia de uso do inseticida? q = ( ) = 0.3 y = x 4.2. Em quanto tempo a população será reduzida a apenas 1% do tamanho inicial? 800 = x 0.01 = 0.3 x log (0.01) x = = 3.82 dias log (0.3) Exercício 5 O surto de uma doença afetou uma população de primatas com 186 indivíduos, gerando uma mortalidade de 10% do total da população por mês Qual a equação que descreve a abundância de primatas por mês após o início do surto da doença? q = ( ) = 0.9 y = x 5.2. Em quanto tempo a população será reduzida a metade do tamanho inicial? 93 = x 0.5 = 0.9 x log (0.5) x = = 6.57 meses log (0.9)

10 Logaritmo comum (ou decimal) de x x

11 Logaritmo comum (ou decimal) de x (continuação) x