Somando os termos. as progressões geométricas.

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1 Somando os termos das progressões geométricas A UUL AL A Quando estudamos as progressões aritméticas (Aula 34), encontramos uma fórmula bastante prática para calcular a soma de ualuer uantidade de termos. Vamos fazer a mesma coisa nesta aula com as progressões geométricas. Introdução Imagine, por exemplo, a soma: As parcelas formam uma progressão geométrica de razão 3, começando em 8. Será possível obter o resultado sem precisar somar todas as parcelas? A resposta é sim, como veremos a seguir. Vamos representar por S a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão. Para facilitar a compreensão, vamos considerar uma PG com, por exemplo, sete termos. Você perceberá ue a dedução da fórmula da soma é exatamente a mesma, ualuer ue seja o número de termos. Seja então: Nossa aula a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 () Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade pela razão da PG: S S a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 Β Β Β Β Β Β Β a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 (2) Observe ue cada termo da PG multiplicado pela razão resulta no próximo, ou seja, a a, a a e assim por diante Em seguida, vamos subtrair as igualdades (2) e (). Veja: S a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 S a

2 A U L A Repare ue os outros termos foram cancelados. Como a é igual a a 6 7, temos: S a 6 a Colocando em evidência S do lado esuerdo e a do lado direito encontramos: 7 S( - ) a ( - ) ou 7 a ( - ) - Essa fórmula calcula a soma de sete termos de uma PG cujo primeiro termo é a e cuja razão é. Temos então ue, no caso geral, a soma dos n termos de uma progressão é dada por: n a ( - ) - EXEMPLO Calcular, com auxílio da fórmula, a soma ue apareceu na introdução da aula. Solução: A soma ue você vê na introdução desta aula tem 9 parcelas. Essas parcelas formam uma progressão geométrica com a 8 e Então, fazendo na fórmula as substituições a 8, 3 e n 9, encontramos: 9 8 (3 - ) 8 ( ) Aí está o resultado da soma proposta. Usando a máuina de calcular Para utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, precisamos calcular o número n ue nela aparece. Quando a razão não é um número inteiro ou uando n é grande, essa conta é trabalhosa. Devemos usar a calculadora da seguinte forma:... _ n n vezes Assim, no exemplo anterior, para calcular 3 9, digitamos: 3... _ vezes

3 EXEMPLO 2 Uma indústria iniciou suas atividades produzindo objetos por ano e, a cada ano, a produção aumentou em 0% em relação ao ano anterior. Qual foi o total de objetos produzidos em 0 anos de atividade? A U L A Solução: Repare ue se, em um ano ualuer, a produção foi de x objetos, então, no ano seguinte, será de: x + 0% de x 0 x x x + 0,. x x ( + 0,) x., Assim, se a produção em um ano é igual à do ano anterior multiplicada por,, temos ue as produções anuais formam uma progressão geométrica de razão,. a a , a ,²... etc. Para calcular o número total de objetos produzidos em 0 anos, usamos nossa fórmula com a 5.000,, e n (, - ), - O número, 0 é calculado com auxílio da máuina de calcular, como mostramos anteriormente. Lembramos, ainda, ue devemos fazer uma aproximação do resultado ue vemos no visor, porue o número de casas decimais já é grande demais. Temos então: 5.000(2, ), ,5937 0, Essa indústria produziu, em 0 anos de atividade, aproximadamente objetos. Repare ue, no cálculo de, 0, nossa aproximação foi para menos. Então, o número real de objetos produzidos foi, certamente, um pouco superior ao calculado. Portanto, o número é uma estimativa, ue sabemos estar próxima da realidade.

4 A U L A EXEMPLO 3 Em certa região do país, a pesca predatória fez com ue a produção de pescados caísse em 20% a cada ano. Se, em 99, foram pescados nessa região 2,5 toneladas de peixe, ual foi a produção total de 99 até 995? Solução: Se a produção em certo ano foi de x toneladas, então, no ano seguinte, será 20% menor, ou seja, será: x 20% de x x x x 0,2x x ( 0,2) x 0,8 Logo, se a produção em cada ano é igual à do ano anterior multiplicada por 0,8, temos a seguinte progressão: 99 _ a 2,5 toneladas 992 _ a 2 2,5 0,8 993 _ a 3 2,5 0,8² 994 _ a 4 2,5 0,8³ 995 a 5 2,5 0,8 4 Para somar esses resultados, podemos usar a nossa fórmula: 5 2,5(0,8 - ) o,8-2,5(0, ) 0,8-2,5(-0,67232) -0,2 8,404 Concluímos então ue, nesses 5 anos, foram pescados, aproximadamente, 8,4 toneladas de peixe.

5 A PG decrescente Observe ue, uando um número entre 0 e é elevado a potências cada vez maiores, vai sempre diminuindo, como se pode ver no exemplo abaixo: A U L A 0,4 0,4 0,4 2 0,6 0,4 3 0,064 0,4 4 0,0256 0,4 5 0,0024 e assim por diante. Os resultados diminuem sempre. Para ue você tenha uma idéia da rapidez com ue eles diminuem, calculamos 0,4 6 e o resultado foi (aproximadamente) 0, Portanto, uando está entre 0 e, as potências de diminuem uando o expoente aumenta. Elas se tornam cada vez mais próximas de zero. Assim, se 0 < <, e se o número de termos da PG é muito grande, o termo n ue aparece na fórmula é tão peueno ue, na prática, pode ser desprezado. A fórmula então fica assim: a ( n - ) - Retirando o termo n, ficamos com: lim a (-) - lim a - Esse resultado chama-se limite da soma da PG decrescente. Daí o símbolo lim S colocado no lugar de S. Ele fornece um resultado muito próximo da soma dos termos da PG uando o número de parcelas é muito grande. Quanto maior o número de parcelas, mais a soma ficará próxima de lim S. Por exemplo, considere a soma: As parcelas formam uma PG com a e 0,5. Se somarmos 20 parcelas, encontraremos como resultado: (0,5 - ) 0,5 enuanto ue a fórmula do limite da soma nos diz ue: lim - 0,5 0,5 2 2 Portanto, uanto maior for o número de parcelas, mais próxima de 2 estará a soma.

6 Exercícios A U L A Exercício Calcule a soma , com 0 parcelas. Exercício 2 Calcule a soma , com 8 parcelas. Exercício 3 Calcule a soma , com 6 parcelas. Exercício 4 João ganhou em janeiro R$ 70,00 e, a partir daí, passou a ganhar um aumento de 0% todos os meses. Qual foi o total ue ele ganhou em todo esse ano? Sugestão: Considere a PG formada pelos salários de João: a 70 a 2 70., a 3 70.,²... Use a fórmula da soma para obter o resultado. Exercício 5 Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão de duas maneiras: a) à vista por R$ 540,00; b) pelo plano maluco, no ual você paga prestações durante toda sua vida, sendo a primeira de R$ 256,00 e cada uma das outras igual à metade da anterior. Qual delas você deve preferir? Sugestão: Calcule o limite da soma das prestações do plano maluco.