Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital - Por si só, boa parte do conteúdo desta aula pode parecer mais abstrato do que o normal, com poucas aplicações práticas (com exceção do assunto final, a série geométrica). O importante é ter em mente que o estudo dos limites é um pré-requisito para compreendermos o cálculo diferencial e integral, próximo assunto a ser visto na disciplina. Em termos práticos, a resolução de limites em si não será assunto cobrado em prova. 1. Seqüências (de novo) - Vamos retomar as seqüências: começaremos com uma variável n que assume apenas valores pertencentes ao conjunto dos números naturais. Ou seja, n ε {1, 2, 3,...}. - Considerando uma função de n, que representaremos por f(n) ou an, o conjunto de valores f(1), f(2), f(3),... ou a1, a2, a3,... dispostos em sua ordem natural é uma seqüência. - Podemos representar a seqüência pela notação { an } - Agora vamos olhar para algumas seqüências: (i) - an = 3n seqüência: 3, 6, 9, 12, 15,... (ii) - an = 3/n seqüência: 3, 3/2, 1, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7,... - O que acontece quando n assume valores cada vez maiores? - Em (i), n tende para o infinito! - Em (ii), temos seqüências limitadas: - 0 an 3 - O limite inferior é 0 e o limite superior é 3.

2 2. Infinito - A matemática moderna não utiliza infinito como um número, e nenhuma operação algébrica é permitida para. - A definição de infinito é bastante intuitiva para nós. Uma maneira mais informal de expressá-la matematicamente é pensar se em uma seqüência an podemos sempre estabelecer um valor de n que fará a seqüência assumir um valor maior (ou menor, se pensarmos em menos infinito) do que assume com o valor n 1. - A definição formal segue abaixo, e soa um pouco mais complicada, mas o significado é o mesmo que o exposto acima. - Definição: dizemos que uma seqüência { an }é divergente ou tende para o infinito se para qualquer C > 0 dado for possível determinamos um número natural nc, tal que an > C, sempre que n > nc. - Dizemos, então, que an - Exemplificando: a seqüência é an = n/100 - Escolhemos um C = 10 5 (este é um valor arbitrário, escolhido por nós). - O valor de an será maior do que C para n maiores do que Ou seja, existe um nc = 10 7, tal que an > C se n > nc. - Logo, a seqüência tende para o infinito! - Se escolhermos um C = 10 10, teríamos um nc = Outro exemplo: a seqüência é an = - n 2, ou seja, -1, -4, -9, -16,... - Simplificando: podemos definir um valor de limite inferior arbitrário -C e encontrar valores de an menores do que ele. Logo, a seqüência tende para menos infinito. Em símbolos: - an -

3 3. Convergindo para zero - Vamos voltar à seqüência (ii). - Quando n, an se torna cada vez menor, mas nunca chega a zero. Podemos, porém, dizer que 3/n tende para zero! - Definição: dizemos que uma seqüência { an }tende ou converge para zero se para qualquer ε > 0 dado for possível determinamos um número natural nε, tal que an < ε, sempre que n > nε. - Dizemos então que: an 0 ou que limn an = 0. - Exemplificando com a seqüência (ii): an = 3/n Escolhemos um ε = 10-5, então há um nε = 3 x 10 5 tal que an < ε se todo n > nε. 4. Convergindo para outros valores - Um exemplo: an = (n-1)/(n+1) - Quanto maior o valor de n, mais próximo { an } fica de 1. - Ou seja: limn (n-1)/(n+1) = 1 - Como verificar isto rigorosamente? - Podemos introduzir uma seqüência modificada { bn }: bn = an -1 - bn = - 2/(n+1) - Agora é fácil mostrar que, para um n tendendo para o infinito, bn tende a zero. - Generalizando: um limite finito pode ser reduzido a um caso especial onde o limite é zero. A seqüência { an } tende para um limite finito A se a seqüência modificada { bn }com o termo: bn = an A convergir para zero.

4 5. Encontrando limites - Em alguns casos é bem simples: - {an = n 2 }, { an = n 3 },... - Tendem para o infinito. - {an = 1/n 2 }, { an = 1/n 3 },... - Tendem para zero. - Complicando um pouco... an = (100 5n + 3n 2 )/(8 + 10n + 2n 2 ) - Começamos por dividir o numerador e o denominador por n 2. - Agora temos: an = ((100/n 2 ) (5/n) + 3)/((8/n 2 ) + (10/n) + 2) - 100/n 2, -(5/n), 8/n 2 e 10/n tendem para zero. - Então o numerador tende para 3 e denominador para 2! Logo: - limn an = 3/2 - A lógica geral, então, é tentar simplificar de maneira a obter elementos que tendem a zero, para então termos apenas o que sobrou. Veja os exemplos: - limn (n + 1)/(n - 2) = 1 - limn (n )/(5n n 2 ) = 1/5 - limn (10 + n)/(2 + n 2 ) = 0 - Devemos ficar atentos para frações nos denominadores das seqüências! - Por exemplo: an = 1/(1/n) é uma seqüência que pode nos fazer pensar que o denominador tende a zero; mas 1/0 não existe matematicamente... A solução, novamente, é simplificar a seqüência (neste caso, multiplicamos por n); o resultado é an = n, que tende ao infito! Veja outros exemplos: - 1/((1/n) (1/n) 2 ) = n/((1 (1/n)) - (2/n 2 + 1)/(10/n 2 + 1/n) = (2/n + n)/(10/n + 1) - (n 2 100)/(n + 100) = (n 100/n)/( /n)

5 6. Um pequeno exemplo biológico: a seqüência geométrica e cromossomos sexuais (não vimos este exemplo em sala, ele está aqui para complementar o conteúdo) 6.1 A seqüência - an = aq n - O limite depende apenas de q n, mas a seqüência terá diferentes comportamentos dependendo da variação possível dos valores de q. Quando o n tende para o infinito, temos quatro possibilidades distintas: - q > 1, q n - q = 1, q n 1 - q < 1, q n 0 - q -1, q n diverge (ou seja, não tende para um único limite) 6.2 O exemplo - Imagine um gene com dois alelos (vamos usar os bons e velhos A e a ) ligado ao cromossomo sexual X. As fêmeas podem possuir dois alelos, mas os machos são sempre A ou a. - Nós sabemos (este é um exemplo específico, não a regra geral!) que a freqüência de machos com o genótipo a em uma geração n é: qn = 0,40 + 0,20(-1/2) n 1, para n = 1, 2, 3,... - Podemos calcular a freqüência do genótipo geração a geração, mas sabemos que a seqüência { (-1/2) n 1 } tende para zero quando n tende para o infinito. Logo, sabemos que: limn qn = 0,40 - Ou seja, as freqüências do genótipo vão variar ao longo das gerações, mas eventualmente vão se estabilizar em 0,40!

6 7. Séries 7.1 Conceito geral - (1/3) * 3 = 0, = 1???? - Como lidar com este aparente paradoxo? - Uma solução é: limn 0, = 1 n algarismos - Podemos pensar em uma seqüência com os termos: - s1 = 9/10, s2 = 9/10 + 9/100, s3 = 9/10 + 9/ / sn = 9/10 + 9/ /10 n - Temos, então, uma soma parcial. - Para qualquer seqüência { an }, temos as somas parciais: - sn = a1 + a an - Que formam uma nova seqüência { sn }. Quando n tende para o infinito a seqüência de somas parciais é chamada de série. 7.2 Mais uma vez, a tal seqüência geométrica... - A partir da seqüência geométrica an = aq n, podemos estudar a série geométrica (neste caso incluiremos o termo a0): - sn = a + aq + aq 2 + aq aq n - Vamos tentar escrever esta série de maneira mais compacta. Para isso, vamos começar multiplicando todos os termos por q, para depois a nova série da série original. - qsn = aq + aq 2 + aq aq n sn qsn = a aq n+1 s n = a 1 qn+1 1 q desde que q 1 - Agora podemos estudar o comportamento do limite da série geométrica com muito mais facilidade, além de termos uma maneira rápida de calcular as somas parciais de uma seqüência geométrica. Veja o exemplo a seguir, pois ele tanto apresenta a utilidade desta série de uma maneira clara como mostra como posso cobrar o conteúdo desta aula em prova.

7 Exercício 1 As atuais reservas de petróleo do mundo são estimadas 1,2 trilhões de barris, enquanto o consumo atual é de 30 bilhões de barris por ano Considere que o consumo aumenta em 1% por ano. Qual a equação que descreve o consumo das reservas de petróleo nestas condições? A lógica aqui é a de uma função exponencial, pois todos os anos temos um aumento percentual no consumo de petróleo. Começando pelo cálculo do valor de q da equação, temos: q = (1 + 1/100) = 1,01. Então a nossa equação é: y = ,01 x Notem que representei os 30 bilhões em potência de dez, pela praticidade. Poderíamos simplificar mais ainda, representando a unidade em si como bilhões de barris (de forma que o consumo anual seria de 30, e o estoque total seria de 1200) Considerando a função descrita acima, quantos anos devem se passar para esgotar as reservas mundiais de petróleo? Agora temos uma situação que lembra um pouco o nosso uso de logaritmos, mas com uma diferença importante: temos uma estimativa de qual seria o valor total do estoque de petróleo, e queremos saber em quanto ele se esgotará. E a questão é que a nossa equação nos diz o quanto de petróleo foi consumido em um determinado ano, mas não nos informa do quanto foi consumido até aquele momento. Perceba, então, que o que queremos saber é quando a soma do valor consumido em cada ano atinge o limite, que é o estoque total. Poderíamos fazer isto de maneira bem grosseira, calculando o consumo em cada ano, e somando o resultado até que ele ultrapasse o valor das reservas totais. Mas a solução não seria exata, além de ser trabalhosa. A nossa solução é a série geométrica! Se olharmos a fórmula da série, apresentada no último tópico desta aula, veremos que temos em mãos todos os valore necessários para se calcular o nosso x. O resultado da soma (o sn da fórmula) é o valor das reservas totais; os valores de a e de q são as nossas constantes que já estão na nossa equação exponencial, e o valor de n é o que queremos saber(ele é equivalente ao x). Então:

8 s n = a 1 qn+1 1 q 1, = = 1 1,01n+1 0,01-0,4 = 1 1,01 n+1 1,01 n+1 = 1,4 1 1,01n+1 1 1,01 Agora voltamos ao nosso uso comum do logaritmo: (n + 1) log 1,01 = log 1,4 Vou pular a resolução do log, pois isso vocês já sabem fazer, e, para facilitar, vamos chamar o n + 1 de x, já que ele representa o tempo final da série. (continua...) x 0,0043 = 0,1461 x = 0,1461/0,0043 x = 33,9 Ou seja, se considerarmos que o consumo de petróleo aumenta em 1% por ano, as reservas mundiais devem se esgotar em 33,9 anos. Exercício 2 Considere uma floresta cuja área total seja igual a 450 hectares e que começou a ser explorada para retirada de madeira. No primeiro ano de exploração, foram retirados 10 hectares da floresta, e a cada ano subseqüente são retirados 20% a mais do que foi retirado no ano anterior. Baseado nesta situação descrita, responda: 2.1. Qual equação descreve a retirada de madeira em hectares em função do tempo? Não se confunda: aqui queremos a função que descreve a quantidade de madeira retirada por ano, e não o tamanho total da floresta! y = 10 1,2 x 2.2. Quantos anos são necessários para a floresta ser completamente desmatada? s n = a 450 = 10 1 qn+1 1 q 1 1,2n+1 1 1,2 n+1 = 12,629 anos

9 Exercício 3: Uma cidade costeira começou a explorar um estoque pesqueiro estimado em toneladas. No primeiro ano, a exploração foi de 500 toneladas, mas este consumo subiu rapidamente e em cada ano subsequente o consumo aumentou em 25% Qual a equação que descreve o consumo anual de peixes pela cidade? Perceba que queremos descrever o consumo (grifado no enunciado para chamara a atenção), e não a quantidade total: q = ( ) = 1.25 y = x 3.2. Em quanto tempo todo o estoque de peixes será consumido? = n = n = 1.25 n+1 log (26) n + 1 = = 14.6 anos log (1.25) Exercício 4 Uma comunidade de pescadores começou a explorar um estoque de camarões estimado em toneladas. No primeiro ano, a exploração foi de 230 toneladas, mas este consumo começou a crescer, e em cada ano subsequente o consumo aumentou em 12% Qual a equação que descreve o aumento no consumo anual de camarões pela comunidade? Perceba que queremos descrever o consumo (grifado no enunciado para chamara a atenção), e não a quantidade total: q = ( ) = 1.12 y = x 4.2. Em quanto tempo todo o estoque será consumido? = n = n = 1.12 n+1 log (19.26) n + 1 = = 26.1 anos log (1.12)

10 Exercício 5 (exemplo de questão extra): Encontre o limite abaixo, demonstrando as etapas de cálculo necessárias. 2n lim n 7n n 2 Primeiro, dividimos o numerador e denominador por n 3, obtendo: n n Quando n tende ao inifinito, os termos 1000 e 37 n 3 n lim n 2n n n 2 = 2 7 tendem para zero, então: Exercício 6 (mais um exemplo de questão extra): Encontre o limite abaixo, demonstrando as etapas de cálculo necessárias n 2 13n lim n 10n 2 17n Primeiro, dividimos o numerador e denominador por n 2, obtendo: 500 n n n 2 Quando n tende ao inifinito, os termos 500, 13 n 2 n 500 lim n n n = 3 7 n 2 e 2 n2 tendem para zero, então: