F129 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS LEI DE POTÊNCIA. Prof. Jonhson Ordoñez VERSÃO 14

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1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS LEI DE POTÊNCIA

2 Processos de Linearização de Gráficos O que é linearização? É o procedimento para tornar uma curva em uma reta cuja equação é y = ax +b. É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação de uma reta, determinando os seus coeficientes angular e linear. Por que linearizar? A análise de uma reta é matematicamente mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação de leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

3 Y (cm) Y (cm) PRIMEIRO MÉTODO: TROCA DE VARIÁVEIS A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. y ax 2 b y ax b onde x x 2 Gráfico da função: Gráfico linearizado: (a) (b) (c) (d) c' d' linearização X (cm) X' (cm 2 )

4 Y (cm) Y (cm) PRIMEIRO MÉTODO: TROCA DE VARIÁVEIS A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. y(x) a x y(x' ) ax' onde x' 1 x Gráfico da função: Gráfico linearizado: linearização X (cm) 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X' (cm -1 )

5 Y (cm 1/2 ) Y (cm 1/2 ) PRIMEIRO MÉTODO: TROCA DE VARIÁVEIS A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. y a x b y ax'b onde x' x Gráfico da função: Gráfico linearizado: linearização X (cm) X' (cm 1/2 )

6 Y (cm 1/2 ) SEGUNDO MÉTODO: PELO LOGARITMO A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. (Lei de potência) y = ax b y = log a + bx onde Gráfico da função: (coeficiente Linear) y' log y x' log x (coeficiente Angular) Gráfico linearizado: X (cm) linearização

7 EXEMPLO : 1. Pelo logaritmo log y = log log x y = log x y = 12 x 2 (Lei de potência) 2. Por mudança de variável x = x 2 y = 12x Quais as diferenças entre as retas? Os coeficientes e suas interpretações são diferentes. (1) não passa pela origem (2) passa pela origem Qual o melhor? Quando se conhece o expoente, é melhor a mudança de variável.

8 log(y) EXEMPLO : Dados experimentais log A Coeficiente angular: log( 28) log(8) 1,45 0,90 B B 2,0 log( 2,37) log(1,26) 0,37 0,10 Coeficiente linear: A 0,70a 10 0,70 5,0 log(x) Lei de potência: y 5,0x 2,0

9 TERCEIRO MÉTODO: USO DE PAPÉIS ESPECIAIS Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono-log e log-log. Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida. Funciona por tentativa e erro. Os softwares matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

10 Escala logarítmica Escala logarítmica TERCEIRO MÉTODO: USO DE PAPÉIS ESPECIAIS milimetrado Mono-log Log-log ou Di-log Escala logarítmica

11 Y (cm) Y (cm) PAPEL LOG-LOG y = a x b (Lei de potência) 2,0 1,5 1 0,1 (X 2,Y 2 ) 1,0 0,01 0,5 1E-3 (X 1,Y 1 ) 0,0 1E-4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 X (cm) Papel milimetrado 1E-5 0,01 0,1 1 X (cm) Papel log-log

12 ... PAPEL LOG-LOG Usado quando valores dos pontos diferem por várias ordens de grandeza ou dependência entre grandezas é uma lei de escala

13 PAPEL LOG-LOG linear log-log = = = 1 Distância entre divisões é proporcional à diferença entre os valores log2 log1 = 0,30 log3 log2 = 0,18 0,12 Distância entre divisões é proporcional à diferença entre os logaritmos dos valores

14 y EXEMPLO : Dados experimentais Colocar valores diretamente no gráfico log-log a Coeficiente angular: log( 28) log( 4) 1,45 0,90 B B 2,0 log( 2,37) log( 0,89) 0,37 0,10 4,4 cm 2,2 cm ou medir com régua: 2, 0 B Coeficiente linear: a = 5,0 x