Prática III ESCALAS, GRÁFICOS E TABELAS. No estudo da Física, adota-se como método de investigação dos fenômenos a Observação e a Experimentação.

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1 Prática III ESCALAS, GRÁFICOS E TABELAS INTRODUÇÃO No estudo da Física, adota-se como método de investigação dos fenômenos a Observação e a Experimentação. O sucesso de um experimento depende, em grande parte, do tempo e do cuidado de reflexão sobre o fenômeno. Somente investigando com interesse, antes, durante e depois da realização da experiência é que o físico pode recolher informações úteis que poderão ajudá-lo a resolver o problema. O resultado dos experimentos apresenta-se, em geral, como uma coleção de medidas das quais, à primeira vista, nada se conclui se estas ficarem como um amontoado de dados. As medidas ficam importantes no momento em que podemos estabelecer relações entre os dados observados. A apresentação dos dados oriundos das experiências através de GRÁFICOS torna a relação mais visível e, por isso, é muito usada pelos físicos. DEFINIÇÕES E CONVENÇÕES. Escala. É todo segmento de reta ou curva, chamado linha suporte, marcado por pequenos traços transversais, sendo que alguns estão em correspondência com valores ordenados de uma grandeza física. A linha suporte da escala pode ser: - um segmento retilíneo. Ex.: termômetro, trena. - circular. Ex.: cronômetro. - semi-circular. Ex.: hodômetro.. Elementos da Escala. PASSO: símbolo p é a distância entre traços transversais consecutivos quaisquer. DEGRAU: símbolo d é a diferença entre os valores da grandeza física representada por traços transversais consecutivos correspondentes ao passo. MÓDULO DA ESCALA: símbolo m é o quociente entre o passo e o degrau. passo p m. = degrau d = () 3. Tipos de Escalas e Gráficos. - Escala linear ou uniforme é aquela em que o passo é constante. Ex.: Escala de barômetro de Torricelli. - Escala Variável é aquela em que o passo é variável ao longo do suporte. Em geral, a variação desse tipo de escala se faz conforme uma relação funcional e recebe o nome da função que a descreve. Assim, temos a Escala Logarítmica, Escala Potencial, Escala Polar, etc. - Gráfico Cartesiano é aquele em que se usam duas retas perpendiculares como suportes das escalas e que se cruzam no ponto O. Este ponto pode ou não ser origem das escalas representadas. À semi-reta horizontal dá-se o nome de EIXO DAS ABCISSAS enquanto que a semi-reta vertical é o EIXO DAS ORDENADAS.

2 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE A RETA E AS CURVAS No estudo de um fenômeno físico através de uma representação gráfica, tem importância primordial a equação da reta, especialmente, quando expressa na forma dita reduzida (Fig. ). y = a. x + b () onde os parâmetros a e b têm significado físico bem definido e relacionado com o fenômeno físico em apreço: y a = x y x = (coeficiente angular dimensional). b = coeficiente linear ou ordenada para x = (ponto onde a reta corta o eixo y). Figura : Gráfico da equação de uma reta. Calculados os parâmetros a e b a partir do gráfico, a equação da reta fica conhecida. É, portanto, possível através da análise gráfica, que se descubra a relação funcional entre duas grandezas físicas em uma certa experimentação. Por exemplo: em um experimento, um aluno verifica que, para uma oscilação completa do pêndulo, formado de uma mola elástica, o período ao quadrado (T ) é diretamente proporcional à massa oscilante (m), via uma constante de proporção k. Simbolicamente, tem-se que: T α m ou T = k.m (3) A expressão explícita da relação funcional genérica entre duas grandezas físicas quaisquer pode ser escrita como: y = f(x) (4) A lei física que estabelece a relação entre a grandeza física indicada com a letra y (variável dependente) e a grandeza indicada com x (variável independente), é o que se chama de uma função matemática. Na análise gráfica, a curva média é uma representação concisa da função pesquisada. Discutir-se-á, a partir de agora, a obtenção da expressão analítica para a curva média. A forma explícita da função varia conforme o fenômeno físico em estudo. No entanto, para qualquer que seja o tipo de equação, procura-se sempre a linearização dessa curva, geralmente através de funções logarítmicas.

3 TRAÇADO DE CURVAS E FORMULAÇÃO DE EQUAÇÕES O método consiste em lançar os dados da Tabela num papel com um tipo de coordenadas que permitirá o traçado de uma RETA MÉDIA DOS PONTOS. Isto significa, teórica e fisicamente, que a soma das distâncias da reta aos pontos lançados acima dela será igual à soma das distâncias dos pontos lançados abaixo dela. Praticamente, o procedimento é o seguinte:. Lance os dados num papel de coordenadas cartesianas e trace uma curva suave pela média dos pontos.. Se a curva obtida não for uma reta, tente verificar se ela poderá ser, por exemplo, uma parábola (função potência) ou outra curva exponencial. 3. Se a curva não for uma reta no papel de coordenadas cartesianas (milimetrado), tente um papel mono-log até que se obtenha uma reta. EXEMPLOS DE ALGUNS CASOS QUE OCORREM NA FÍSICA.. Primeiro Caso. Suponhamos que os dados, tabelados e graficados, forneçam uma função do tipo: y = ax n + b, (5) a qual, obviamente, não corresponde a uma reta quando graficamos y x x. Porém, quando graficamos y contra a nova variável z = x n, obtemos uma reta na forma y = az + b, (6) cujo coeficiente angular é a constante a. Tomemos como exemplo, a queda livre de um corpo medida na Terra como na Lua. As equações horárias da altura, h, do corpo em função do tempo, t, para os dois casos são dadas por: e h h T L = gtt (m) (7) = glt (m) (8) Ambas as equações, (7) e (8), representam parábolas, Figura. 8 Altura,h(m) tempo,t(s) Figura : Gráfico da queda livre de um corpo na Terra ( ), como na Lua (ο)

4 Para transformá-las em retas, basta graficar h T e h L em função da nova variável z = t. Teremos agora, e h h T L = gtz (m) (9) = glz (m) () onde ambas as equações representam retas (Fig. 3). Os respectivos coeficientes angulares, a, dados pelas equações e, fornecem diretamente as acelerações gravitacionais da Terra e da Lua. e a T = g T a = L g L () () 8 altura,h(m) tempo,t (s ) Figura 3: Gráfico da queda livre de um corpo, com h x t, em duas situações distintas na Terra ( ), como na Lua (ο).. Caso particular da função y = ax n + b, com n =. Tendo retificado a curva em um dos tipos de papel, a equação que representa a reta pode ser obtida por um dos seguintes processos:. Método da inclinação e da interseção.. Método dos pontos escolhidos. A. Método da inclinação e da interseção Nesta equação, a constante a (parâmetro) é a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação da reta, isto é, o chamado coeficiente angular da reta e o parâmetro b é o coeficiente linear da reta e representa a interseção com o eixo y quando x =. Observamos que as constantes a e b têm significado matemático bem definido. B. Método dos pontos escolhidos Uma vez que há valores a e b a serem determinados na equação: y = a. x + b, pode-se lançar mão do método usual da Geometria Analítica, isto é, se substituirmos na equação acima, os valores conhecidos de (x, y) para pontos

5 quaisquer, bem afastados, obteremos equações e incógnitas que, resolvidas, dão a solução do problema. OBS.: Os pontos escolhidos devem estar sobre a reta, e bem afastados entre si.. Segundo Caso. Quando estamos trabalhando com funções do tipo da equação (5), porém com b =, podemos transformar esta função em uma reta através de outra mudança de coordenadas, tomando Y = log(y) e X = log(x). Quando realizamos esta transformação a equação (3) transforma-se na equação (4). y = ax n (3) log(y) =n.log(x) + log(a) y = A.X + B (4) Para esta reta, equação (4), o coeficiente angular, A, corresponde ao expoente da função, ou seja, A = n. O coeficiente linear é dado por B = log(a). Utiliza-se para representar esta função, um papel com escalas logarítmicas ao longo dos dois eixos coordenados e, por esta razão, é denominado papel dilogarítmico ou dilog. Para exemplificar este caso, tomemos um caso hipotético que representa um fenômeno físico qualquer que relaciona as grandezas y e x da seguinte forma: y = 5x 4 (5) O gráfico de (5) em um papel com as duas escalas lineares, denominado papel milimetrado, resulta na curva apresentada na Figura 4A. Fazendo o gráfico em papel dilogarítmico, o mesmo resulta na reta descrita pela expressão (6) e a curva correspondente está apresentada pela Figura 4B. log(y) = 4. log(x) + log(5) (6) A B y (unidades arbitrarias) y (unidades arbitrarias) x (unidades arbitrarias) x (unidades arbitrarias) Figura 4: Gráficos em papéis milimetrado (A) e dilogarítmico (B) para a função f(x) = 5x 4

6 3. Terceiro Caso. Finalmente, existe um terceiro tipo de função que aparecerá constantemente no decorrer do curso que é a função exponencial. y = a. e kx (7) Neste caso, extraindo-se o lagaritmo natural de ambos os lados da igualdade temos: ln(y) = ln(e kx ) + ln(a) (8) Assim, como resultado tem-se a nova função Y = kx + ln(a) (9) Logo, graficando a função exponencial da equação (7) em um papel monologarítmico ou monolog (eixo vertical possui uma escala logarítmica e o eixo horizontal em escala linear), ela se torna uma reta com coeficiente angular dado pela constante k e coeficiente linear dado por ln(a). Tomemos como exemplo, a função exponencial dada por () abaixo, cujos gráficos em papéis milimetrado e monologarítmico estão mostrados na Figura 5. y =. e -, x () A B y (unidades arbitrarias) y (unidades arbitrarias) x (unidades arbitrarias) x (unidades arbitrarias) Figura 5: Gráficos em papéis milimetrado (A) e dilogarítmico (B) para a função y =,e -,x Os papéis com escalas logarítmicas (mono ou dilogarítmica), também são convenientes à representação de funções cujos intervalos de definição cobrem diversas potências de, sem que necessariamente se tenha uma reta como resultado final.

7 EXERCÍCIOS (PRÁTICA EXPERIMENTAL). Traga para aula experimental folhas de papel milimetrado, 5 folhas de papel monolog e 5 folhas de papel dilog, régua, lápis e borracha. ) Dada a tabela de pontos x y log(x) log(y) y, 5,, 5,, 5, a. Calcule o logaritmo na base dos valores de x e y e preencha a tabela. Calcule também o valor de y. b. Faça um gráfico y x x em papel milimetrado dos pontos desta tabela. c. Faça um gráfico y x x também em papel milimetrado. d. Faca um gráfico log(y) x log(x) usando um papel milimetrado. e. Faça um gráfico log(y) x log(x) usando um papel dilog. Calcule a inclinação de reta obtida e justifique, com base nos gráficos obtidos em (b) e (c). f. Sabendo que esta tabela de pontos deve-se ajustar uma função do tipo y = Ax / pergunta-se: É possível determinar a constante A a partir de algum (alguns) dos gráficos acima? Qual (quais)? Quanto vale A? ) Sabe-se que a tabela de pontos a seguir representa uma função do tipo y = Ae -t/τ Determine, graficamente, os valores de A e de τ. t,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, y 3,8 3,,5,8,4,,9,6,5,4 3) Mostre como linearizar a função que dá a altura de queda, y, de um corpo em queda livre, em função do tempo, t, se sua posição inicial for diferente de zero, isto é, linearizar a função y = y + gt. Uma vez obtida a linearização, o que representa a inclinação do gráfico? E a sua ordenada na origem? 4) Uma experiência muito simples cujo resultado revela um decaimento exponencial de temperatura, consiste em aquecer água alguns graus acima da temperatura ambiente e deixar esfriar. A tabela a seguir mostra dados desse

8 experimento, sendo θ a temperatura da água. Durante a coleta dos dados a temperatura ambiente permaneceu constante τ(mim) θ ( C) 35, 33, 3,5 3 3, 4 8,8 5 7,6 6 6, a) Plotar os dados em papel milimetrado. A dependência é linear? b) Tome, agora, os logaritmos neperianos de θ e trace um gráfico, em papel milimetrado, em que y = ln θ e x = t. Que tipo de dependência entre θ e t sugere seu gráfico? Qual é essa relação? 5) A tabela mostra o acréscimo l no comprimento de um fio de aço em função da variação θ da temperatura. O comprimento inicial do fio é l = m. l(mm) θ ( C), 8,35 3,5 44,75 68, 9 a) Construa um gráfico de l contra θ e obtenha do mesmo o coeficiente de dilatação linear α do material. b) Aplique a regressão linear e obtenha α. REFERÊNCIAS BIBLIGRÁFICAS. SPIEGEL, M.R. Estatística, Editora McGrawHill do Brasil LTDA, 97.. DORIA FILHO, U. Introdução à Bioestatística, Negócio Editora, SILVA, E.M. & SILVA, E.M. Matemática e Estatística Aplicada, Editora Atlas S.A., AXT, R. & GUIMARÃES, V.H. Física Experimental I e III. Porto Alegre, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 98, 9p. 5. HENNIES, C.E. et all. Problemas Experimentais em Física. Campinas, Editora da UNICAMP, 986, v., p.maia, L.P.M. Introdução à Física. Rio de Janeiro. Nacionalista, 96, 43p. 6. MARTINS, N. et. all. Física para a Universidade: análise dimensional. São Paulo, Editora Pedagógica e Universitária, 979, v., 33p. 7. MORENO, M.O. Iniciação à Análise de Dados Experimentais. Belo Horizonte, Universidade Federal de Minas Gerais, 986, 97p. 8. NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Báscia: Mecânica, vol., São Paulo, Edgard Blücher Ltda, REGO, G.B. e Cunha, W.A. Mecânica, vol., São José dos Campos, Institutio Tecnológico de Aeronáutica, SQUIRES, G.L. Practical Physics. Cambridge, Cambridge University Press, TIMONER, A.; MAJORANA, F.S. e HAZOFF, W. Manual de Laboratório de Física: Mecânica, Calor e Acústica, São Paulo, Edgard Blücher Ltda., 973. PS: Arquivos pdf contendo papeis milimetrados, monolog e dilog podem ser obtidos no site