Introdução à Integrais Antiderivação. Aula 02 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 Introdução à Integrais Antiderivação Aula 02 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

2 Como podemos usar a inflação para prever preços futuros? Como usar o conhecimento de taxa de crescimento de uma população para estimar o número futuro de habitantes? Qual será a velocidade de um corpo que se move em linha reta com aceleração conhecida?

3 Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da própria grandeza. Esse processo é chamado antiderivação.

4 A Família de Antiderivada Se a derivada de F for f, dizemos que F é uma antiderivada de f. Por exemplo: x² Derivada: 2x x² é uma antiderivada de 2x

5 Observe que 2x tem várias antiderivadas: x x² + 2 x Derivada: 2x Se C for uma constante, temos: d dx x2 + C = 2x + 0 = 2x Portanto, qualquer função sob a forma x² + C é uma antiderivada de 2x. A função f(x) = 2x tem uma família de antiderivadas.

6 A visualização gráfica das antiderivadas x² x²+1 x²+2 x²

7 A Integral Indefinida Se F(x) é uma antiderivada da função contínua f(x), todas as antiderivadas de f(x) têm a forma F(x) + C, onde C é uma constante. Representamos a família de todas as antiderivadas de f(x) usando a simbologia: f x dx = F x + C Que é chamado de Integral Indefinida de f(x). A integral é indefinida porque envolve uma constante C que pode assumir qualquer valor.

8 Integrando Constante de integração 3x 2 dx = x 3 + C Símbolo de Integral Variável de Integração

9 Integral Indefinida df dx = F x + C dx F (x)dx = F x + C f x dx = F x + C

10 Regras para Integrar Funções Comuns Regra da Constante: kdx = kx + C para C constante. x n dx = ln x + C Regra da Potência: x n dx = xn+1 n+1 + C para qualquer n 1 para n = -1 Regra do Logaritmo: 1 x dx = ln x + C para qualquer x 0 Regra da Exponencial: e kx dx = 1 k ekx + C para qualquer k constante 0.

11 Exemplos: Determinar as seguintes integrais: a) 5dx b) x 20 dx c) 1 dx x d) 2 dx x e) e 3x dx

12 Exercícios: Calcule as seguintes integrais: A. 6x dx B. (x 2 4x + 7)dx C. (x + e x )dx D. x 3 dx E. (x x² )dx F. 1+y² y G. 12 x dx dy

13 Problemas Práticos 1. Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x e cuja curva passa pelo ponto (1, 4)

14 Problemas práticos de valor inicial Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As equações diferenciais são muito usadas em modelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicações práticas do cálculo. Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica. como o exemplo anterior.

15 Outros exemplos 2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? Custo marginal representa o acréscimo de custo total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma unidade na quantidade produzida).

16 3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por dp dt = 200e0,1t + 150e 0,03t Se a população era de bactérias quando a observação começou, qual será a população após 12 horas mais tarde?

17 4. Um varejista recebe um suprimento de quilogramas de arroz que serão vendidos durante um período de 5 meses à taxa constante de quilogramas por mês. Se o custo de armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total do armazenamento durante os próximos 5 meses?

18 5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?

19 Tabela de integrais Integrais Exemplos (1) kdx = kx + C 3 dx = (2) 1 x dx = ln x + C 2 x dx = (3) x n dx = xn+1 n+1 + C (4) a x dx = ax ln a + C (5) e kx dx = 1 k ekx + C (6) c fx dx = c f x dx (7) f x + g x dx = f x dx + g x dx x 5 dx = 3 x dx = e 5x dx = 3(2x + 1) dx = [ x 2 + 3x 2 ] dx =