CÁLCULO INTEGRAL DIFERENCIAL

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1 1 CÁLCULO INTEGRAL Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do conceito e da aplicação de Diferencial. DIFERENCIAL Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em relação a variável independente x. dy dx Em função disso podemos dizer que: - A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f (x) pela diferencial da variável independente dx. Regras para o cálculo da Diferencial Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso multiplicarmos a derivada por dx.

2 2 Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das funções abaixo: a) f(x) = 3 b) y = -3x c) y = 2x 5 d) f(x) = x 3 + 5x 2-4 e) y = e 4x f) y = Ln (5x) SOLUÇÃO a) f ( x) 3 df dx 0 df 0. dx df 0 b) y 3x dy dx 3 dy 3dx c) y 2x 5 dy 10x dx dy 10x 4 4 dx d) f ( x) x df dx 3x 2 3 df (3x 2 5x 2 10x 4 10x) dx e) y e dy dx 4x 4. e dy 4. e 4x 4x dx f ) y Ln(5x) dy (5x)' dx 5x dy 5 dx 5x 1 dy. dx x A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de Cálculo Integral. CÁLCULO INTEGRAL 01- INTRODUÇÃO Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com seus respectivos gráficos.

3 3 Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são funções inversas uma da outra.

4 4 Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre, no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.

5 Exemplo: 5

6 6 Exemplo: - Resolva as integrais:

7 7 4.4) Integral da função exponencial. Exemplo:

8 8 Exercício Em cada item abaixo, encontre a função primitiva: a) f (x)=2x 4, sendo f(3) = 2 b) y = 6x 2 4x + 2, sendo y(2) = -3 Aplicação na Economia. - Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e Rmg = -q q 2, Cmg = 4q 3, Cf = 70 e Pmg = 4q 3 + q, suas respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção. Solução: - Cálculo da Função Receia (R t ). Como, a Função Receita Marginal (R mg ) representa a 1 a Função Receita (R t ), devemos integrar R mg, para encontrar R t. derivada da

9 q = 0 temos C(0) = Cf = 70, logo: 9

10 10 Aplicação na Física. - Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela função ( t) 4t 350 t 20. Encontre a posição do veículo quando t = 10 h. V Solução: Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma, da seguinte maneira: Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km. APLICAÇÃO 1 1) Calcule a função primitiva em cada caso: 1.1) f (x) = 2x 5, sendo f(3) = ) f (x) = 2x 2 + 2x 3, sendo f(-2) = 2 1.3) f (x) = 3. x, sendo f(4) = ) f (x) = x 2, sendo f(e 3 ) = 8 2) Resolva as integrais indefinidas:

11 11 Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora, utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas, onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia). Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.

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13 13 APLICAÇÃO 2 - Encontre o resultado de cada integral indefinida abaixo:

14 4.5) Integral de Funções trigonométricas. 14

15 15

16 16

17 17 Exemplo: - Resolva as integrais:

18 18

19 Exemplo: 19

20 INTEGRAÇÃO POR PARTES. Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer método até agora visto. Então, para resolver essas integrais, devemos utilizar um novo método, denominado Integração por Partes. Fórmula da Integração por Partes: Exemplo:

21 Solução: 21

22 INTEGRAL DEFINIDA Introdução. Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular vários tipos de integrais, utilizando, para isso, alguns métodos de resolução. Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida. Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das áreas e dos volumes das figuras geométricas Cálculo de uma Integral Definida.

23 Exemplo: 23

24 Solução: 24

25 25 x 06) cos dx 0 2 x u u 2 u dx 2du CÁLCULO DE ÁREAS

26 26 Exemplo: 1) Resolver os seguintes problemas: 1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x 2 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e x= 3. 03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x 2 4 e pelo eixo dos x. - Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a integral definida no intervalo [x, x ]. y 2 f ( x) x 4 x x' 2 x" 2-2 S 2 x

27 27 05) Calcular a área limitada pela curva y 2 = 2x, eixo dos y e pelas retas y=2 e y =3.

28 28 SÍNTESE Neste aprendizado, você verificou que a Integral e a Diferencial são funções inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de Integral Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral Definida na resolução de exercícios e problemas práticos como, determinação do valor de áreas e volumes.. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: - BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v. - LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.