Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I: Integral Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 30/07/2014

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I: Integral Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: /7/14 Aluno: Matrícula. Nota: : :.Observações: I A prova tem duração de 1 min; não é permitido entrar na sala após min desde seu início e não é permitido sair da sala antes desse prazo. I A resolução da prova é individual e sem consulta; só é permitido o uso de caneta, lápis e borracha, além das folhas de prova e rascunho cedidas; não são permitidos conversas, uso de calculadora ou qualquer outro dispositivo eletrônico. I As respostas devem ser justi cadas para serem consideradas válidas; resoluções caóticas, confusas e vagas serão anuladas. I As respostas devem ser registradas a caneta. Questão 1 (1:5 ponto) Determine a função f (x) que cumpre as seguintes propriedades: d dx f (x) = ex= + x ; f () = ; f () = : 1

2 Aluno: Questão (: pontos) Calcule as integrais: a) x sin (x) dx b) x p 5x 4dx

3 Aluno: Questão (4: pontos): Calcule a área da região plana sombreada e que está delimitada pelas curvas indicadas: a) y = x + ; y = 6x +, b) y = sin (x) ; y = cos (x),

4 Aluno: Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função x F (x) = cos p x dx ; x : 4

5 CHAVE DE CORREÇÃO Questão 1 (1:5 ponto) - Cálculo da primeira primitiva: :5; - Cálculo da segunda primitiva: :5; - Cpalculo das constantes de integração: :5. Questão (: pontos) Ítem a: 1:5 ponto - Substituição para integral por partes: :5; - Cálculo da primeira das duas integrais: :5; - Cálculo da segunda das duas integrais: :5. Ítem b 1:5 ponto - Substituição: :6; - Cálculo da integral substituida: :6; - Expressão da integral em termos da variável original: :. Questão (4: pontos) Ítens a e b: : pontos - Determinação das interseções (limites de integração): :5; - Expressão integral da área: :7; - Cálculo da integral: :8. Questão 4 (1:5 ponto) - Expressão de F em termos pelo TFC (explicitamente ou não): :5; - Uso da técnica dos pontos críticos, com o cálculo da derivada de F : :5; - Cálculos intermediários e resposta: :5. 5

6 RESOLUÇÃO Questão 1) Determine a função f (x) que cumpre as seguintes propriedades: d dx f (x) = ex= + x ; f () = ; f () = : Resolução. Para determinarmos f (x), basta calcularmos sucessivamente duas primiivas da função e x= + x: df dx (x) = e x= + x dx + c 1 = e x= + x + c 1; f (x) = e x= + x + c 1 dx + c = 9e x= + x 6 + c 1x + c : Agora, consideramos as condições iniciais: f () = 9 + c = c = 6; Finalmente: f () = + c 1 = c 1 = : f (x) = 9e x= + x 6 x 6: (Resposta) 6

7 Questão ) Calcule as integrais: a) x sin (x) dx Resolução. Usaremos integração por partes: u = x du = dx dv = sin (x) dx v = 1 cos (x) : Então: x sin (x) dx = udv = uv vdu Em síntese: = = 1 cos (x) dx 1 x cos (x) + 1 x cos (x) + 1 sin (x) + c: x sin (x) dx = 1 x cos (x) + 1 sin (x) + c: (Resposta) b) x p 5x 4dx Resolução. Usaremos substituição Então: Em síntese: u = 5x 4 du = 1xdx xdx = du=1: x p 5x 4dx = 1 1 u 1= du = 1 u = 1 = + c = x 4 = + c: x p 5x 4dx = x 4 = + c: (Resposta) 7

8 Questão (4: pontos): Calcule a área da região plana sombreada e que está delimitada pelas curvas indicadas: a) y = x + ; y = 6x +, Resolução. Os pontos de interseção das curvas são soluções da equação x + = 6x + () x 6x 7 = () x = ou x = 9: Portanto, a área da região em questão é dada pela integral A 1 = = = 9 9 = 88: Resposta: a área em questão mede 88 u:a: 6x + x dx 7 + 6x x dx 7x + x x 9 b) y = sin (x) ; y = cos (x), Resolução. Os pontos de interseção das curvas são o zero e a menor solução positiva da equação sin (x) = cos (x) () tan (x) = 1 () x = =4: Como cos() = 1 e sin () =, concluimos que a área da região em questão é dada pela integral A = =4 (cos (x) sin (x)) dx = (sin (x) + cos (x))j =4 p p! = + (1 + ) = p 1: Resposta: a área em questão mede p 1 u:a: 8

9 Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função e F (x) = x cos p x dx ; x : Primeira resolução. Vamos resolver o problema aplicando a técnica dos pontos críticos. Para calcular a derivada de F, considere uma primitiva G de cos ( p x); então: G (x) = cos p x Usando a regra da cadeia, temos: F (x) = d dx G x = xg F (x) = G x G () : x p = x cos x = x cos (x) ; 8x (; =) : Os pontos críticos de F no interior do domínio de F são soluções da equação x cos (x) = ; x (; =) () x = =: Então, os pontos de máximo ou mínimo de F no intervalo [; =] são um dos seguintes x 1 = ; x = ; x = : Pela expressão de F (x) = x cos (x), o comportamento do sinal dessa derivada nesse intervalo é dado por: {z } sinal de F (x) Analisando os sinais da derivada de F, concluimos: Resposta: = é ponto de máximo (local e) global de F e = é ponto de mínimo (local e) global de F (sendo apenas um mínimo local, mas não global de F ). 9

10 Questão 4 (1:5 ponto) Determine os pontos de máximo e mínimo da função Segunda resolução. x F (x) = cos p x dx ; x : Preliminarmente, vamos obter a expressão de F (x). Para obtermos a expressão explícita de F (x), primeiramente calculamos a primitiva de cos ( p x). Usando a substituição, segue: w = p x dw = dx p x cos p x dx = wdw = dw; w cos (w) dw: Agora, integramos por partes usando as substituições: u = w dv = cos (w) dw du = dw v = sin (w) : Então: w cos (w) dw = udv = uv = w sin (w) vdu sin (w) dw Portanto = w sin (w) + cos (w) + c: cos p x dx = p x sin p x + cos p x + c: Pelo TFC, segue: donde F (x) = p x sin p x + cos p x x ; F (x) = x sin (x) + cos (x) : Agora, aplicamos a Técnica dos Pontos Críticos. A derivada de F : Pontos críticos de F no intervalo (; =): F (x) = x cos (x) : x cos (x) = ; x (; =) () x = =: Valores de F no ponto crítico e nos extremos do domínio: F () = ; F = > ; F = < : Comparando os valores, concluimos: Resposta: = é ponto de máximo (local e) global de F e = é ponto de mínimo (local e) global de F. 1