Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes.

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1 Universidade Federal do ABC Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes. BCN FUV

2 Suporte ao aluno Site da disciplina: Site do prof. Annibal: fuv-funcoes-de-uma-variavel

3 REGRAS DE SUBSTITUIÇÃO

4 Motivação Nem sempre é trivial achar a integral de uma função. Exemplo: න x 3 cos x dx

5 Substituições Há ocasiões em que é possível realizar uma integração aparentemente difícil ao se fazer uma substituição. A substituição tem o efeito de mudar a variável e o integrando e os limites de integração.

6 Substituições A capacidade de realizar a integração por substituição é uma habilidade que se desenvolve com prática e experiência. Os exercícios são muito importantes. Muitas vezes a escolha da substituição não se mostra efetiva. Devemos esperar ter que experimentar substituições alternativas.

7 Exemplo Encontre a integral de න 2x 1 + x 2 dx Resolução: Seja a função f x = 1 + x 2. Sua derivada é f x = 2xdx.

8 Resolução Então, න 2x 1 + x 2 dx න u du u = 1 + x 2 du = 2x dx

9 Resolução Podemos agora integrar: න u du = 2 3 u3/2 + C Agora, fazemos a des-substituição : 2 3 u3/2 + C = 2 3 (1 + x2 ) 3/2 +C

10 Verificação Sempre podemos verificar o resultado, derivando: d 2 dx 3 (1 + x2 ) 3/2 +C = (1 + x2 ) x = 1 + x 2 2x

11 Regra da Substituição I Sejam u = g(x) um função derivável cuja imagem é um intervalo I e f uma função continuam em I. Então é válido න f g x g x dx = න f u du É uma visão da regra da cadeia do ponto de vista das integrais.

12 Aplicação - Exemplo Encontre a integral de Resolução: න x 3 cos(x 4 + 2) dx Escolhemos a função u = x Sua derivada é du = 4x 3 dx x 3 dx = 1 4 du.

13 Resolução Então, න x 3 cos(x 4 + 2) dx න cos(u) 1 4 du = 1 4 න cos(u) du = 1 4 sen u + C = 1 4 sen x C

14 Aplicação - Exemplo Calcule න 2x + 1dx Resolução: u = 2x + 1 Substituição: du = 2dx dx = 1 du 2

15 Resolução Então, 1 න 2x + 1dx න u 1 2 du = 2 න u1/2 du = 1 2 u 3/2 3/2 + C = 1 3 u3/2 + C = 1 3 (2x + 1)3/2 +C

16 Outro exemplo Calcule න e 5x dx Resolução: u = 5x Substituição: du = 5dx dx = 1 du 5

17 Resolução Então, න e 5x dx 1 5 න eu du = 1 5 eu + C = 1 5 e5x + C

18 Outro exemplo Calcule න tg x dx Resolução: න tg x dx = න sen x cos x dx u = cos x Substituição: du = sen x dx sen xdx = du

19 Resolução Então, න tg x dx = න sen x cos x dx න 1 u du = ln u + C = ln cos x + C = ln (cos x) C = ln (cos x) + C = ln sec x + C

20 Regras de substituição em Integrais definidas Existem duas técnicas para aplicar a regra da substituição em integrais definidas: 1. Primeiro calcula-se a integral indefinida e depois aplica-se o Teorema Fundamental do Cálculo. 2. Alteram-se os limites de integração junto com a substituição da variável.

21 Exemplo Aplicação 1 Calcule 0 4 Resolução: = න 0 2x + 1 dx 2x + 1 dx = න 2x + 1 dxቮ (2x + 1) 3/2 4 1 ቚ = 0 3 (9)3/2 1 3 (1)3/2 = =

22 Regra da Substituição II Se g for contínua em [a, b] e f for contínua na imagem de u = g(x), então b න f g x a g(b) g x dx = න f u du g(a)

23 Demonstração Seja F uma primitiva de f. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos න a b f g x g b x dx = F(g x ) ቚ = F g b F(g a ) a Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, chegamos a g(b) g(b) න f u du = F(u) ቚ = F g b F(g a ) g(a) g(a)

24 Exemplo Aplicação 1 Calcule Resolução: Substituição: 2 dx න 1 (3 5x) 2 u = 3 5x du = 5dx dx = 1 5 du x = 1 u = 2 x = 2 u = 7

25 Resolução Então, u 2 dx න 1 (3 5x) න 2 อ = ቤ 7 5u 2 = = du u 2 = 1 5 ( 7) 1 5 ( 2)

26 Exemplo Aplicação 2 Calcule Resolução: Substituição: e ln x න 1 x dx u = ln x du = dx/x x = 1 u = ln 1 = 0 x = e u = ln e = 1

27 Resolução Então, e ln x න 1 x dx = න 0 u 2 อ = u du = = 1 2

28 Casos especiais: funções simétricas න a a A função é par f x = f x f x dx = 2 න 0 a f x dx A função é ímpar f x = f x න a a f x dx = 0

29 INTEGRAÇÃO POR PARTES

30 Integração por partes Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) sejam duas funções deriváveis em um certo intervalo I R. Pela regra da derivada do produto, para cada x em I, temos u x v x = u x v x + u(x) v (x)

31 Dedução Assim, temos න u x v x + u x v x dx = u x v x + C Ou seja න v x u x dx + න u x v x dx = u x v x + C Finalmente න u x v x dx = u x v x න v x u x dx A constante C já está implícita na última integral.

32 Fórmulas da Integração por partes න u x v x dx = u x v x න v x u x dx Que na forma abreviada fica න u dv = u v න v du

33 Exemplo Calcule න x sen x dx Resolução: Escolhemos u = x dv = sen x dx du = 1 v = න x sen x dx = cos x

34 Resolução න x sen x dx = න u dv = u v න v du = x( cos x) න( cos x) dx = x cos x + න cos x dx = x cos x + sen x + C

35 Exemplo Calcule න x ln x dx Resolução: Escolhemos u = ln x ቊ dv = x dx du = 1 x dx v = න x dx = x2 2

36 Resolução න x ln x dx = න u dv = u v න v du = x2 2 ln x න x2 2 1 x dx = x2 2 ln x න x 2 dx = x2 2 ln x x2 4 + C

37 Exemplo Calcule න arctg x dx Resolução: Escolhemos u = arctg x ቊ dv = dx ቐ du = x 2 dx v = x

38 Resolução න arctg x dx = න u dv = u v න v du = x arctg x න x x 2 dx mudança de variável Escolhemos dw = 2x dx w = 1 + x 2 ቐ x dx = 1 2 dw

39 Resolução න x x 2 dx = න w dw = 1 2 ln w + C = 1 2 ln 1 + x2 + C Juntando tudo: x arctg x 1 2 ln 1 + x2 + C

40 Exemplo Calcule න x 2 e x dx

41 Resolução Escolhemos ቊ u = x2 dv = e x dx ቊdu = 2x dx v = e x Assim, temos න x 2 e x dx = x 2 e x 2 න xe x dx Integrar por partes

42 Resolução Fazemos o processo novamente. Escolhemos u = x = dx dv = e x ቊdu dx v = e x Então න xe x dx = xe x න e x dx = xe x e x + C

43 Resolução Finalmente, juntamos as duas partes: න x 2 e x dx = x 2 e x 2 න xe x dx = x 2 e x 2(xe x e x + C) = x 2 e x 2xe x + 2e x + C 1

44 Integrais definidas por partes Combinando a fórmula de integração por partes com o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II, chegaremos a b න f x g x dx = a b b f x g(x) ቚ න g x f x dx a a

45 Exemplo Calcule 1 න arctg x dx 0

46 Resolução Escolhemos Então u = arctg x ቊ dv = dx 1 න arctg x dx = 0 ቐ du = dx 1 + x 2 v = x 1 1 x x arctg xቚ න x 2 dx = 1 arctg 1 0 arctg 0 න 0 1 x 1 + x 2 dx = π 4 න 0 1 x 1 + x 2 dx Integrar por substituição

47 Resolução Escolhemos Quando Então t = 1 + x 2 dt = 2x dx x dx = 1 2 dt x = 0 t = 1 x = 1 t = 2 1 x න x 2 dx = න dt 1 t 2 1 = ቤ 2 ln t = 1 2 (ln 2 ln 1) = 1 2 ln 2 1

48 Resolução Finalmente, juntamos as duas partes: 1 න arctg x dx = π න x x 2 dx 1 න arctg x dx = π ln 2