Valor Absoluto. Propriedades do Valor Absoluto (b>0) PRÉ-CÁLCULO. Intervalos

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1 PRÉ-CÁLCULO Intervlos Os intervlos, n ret rel, clssiicm-se em: berto, echdo, semi-bertos e ininitos. A solução de um inequção desiguldde é um intervlo. Um desiguldde pode envolver vlores bsolutos módulo. Represente gricmente os seguintes intervlos, b, b Notção Deinição Gráico / b / b / b / b /, /, b / b, b / b,, b, b, b Vlor Absoluto Se o vlor bsoluto de um número rel deine-se como: se 0 se 0 Eemplos: Proprieddes do Vlor Absoluto b>0 b b b b b ou b b b ou b

2 Resolução de Inequções

3 Ocorrem com reqüênci no cálculo desigulddes que envolvem vlores bsolutos. Eemplos: Resolv cd desiguldde e ç o gráico d solução , 5 b- 7 3 Coordends Retngulres Um sistem de coordends retngulres é um correspondênci entre pres ordendos e pontos de um plno. Muits vezes, chmmos o eio ds bcisss de eio- e o eio ds ordends, eio-y no espço 3D os eios, y e z são chmdos: bciss, stmento e cot, respectivmente. y ordends z cot bcisss y stmento 3 bciss Represente no plno crtesino os pontos bio - -4, b- 0, 4 c- 0, - d- 4, - e- -3, -5 3

4 Distânci entre Dois Pontos Pr clculr distânci entre dois pontos quisquer de um plno us-se órmul: d P, P y y onde P, y e P,. Tente mostrr isso e estender o conceito pr espço 3D. y y P, y P, y Ponto Médio Ddo um segmento AB, onde A, y e B, y, o ponto médio desse segmento é ddo por y y M, 4

5 P, y y M P, y Eemplos: Ddos A-, 3 e B4, -, determine: - d A, B b- O ponto médio do segmento AB Equção de Circunerênci y P, y C h, k Um circunerênci de centro C h, k e rio r tem equção d P, C r h y k r 5

6 Eemplo: Determinr equção do círculo de centro C-,3 e que pss pelo ponto D4, 5. Rets Um ret não prlel o eio- z ângulo α com o mesmo. Esse ângulo é sempre considerdo no sentido nti-horário, medido do eio- pr ret. Denomin-se coeiciente ngulr d ret r o número rel que epress tngente trigonométric d inclinção ângulo α. Ddos e pontos de um ret, clcul-se seu coeiciente ngulr pel órmul: Coeiciente ngulr : y y Form Ponto-Coeiciente ngulr: y y y Form Coeiciente ngulr-intercepto: b A, y B, y o Cso o coeiciente ngulr de um ret sej não deinido, el é verticl. y o Se ele or nulo, ret é horizontl. y 6

7 o Rets prlels têm coeicientes ngulres iguis. y o Rets perpendiculres têm coeicientes ngulres inversos e simétricos. y Eemplo: Esboce ret deinid pr cd pr de pontos e determine seu coeiciente ngulr. - A-, 4 e B3, b- A, 5 e B-, - 7

8 Equção Liner Um equção liner em e y é um equção d orm + by = c, com e b não simultnemente nulo. O gráico de um equção liner é um ret. Eemplo 8: Determine equção liner d ret que pss por A, 7 e B-3,. 8

9 NOÇÃO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DE CONJUNTOS Sendo A e B dois conjuntos não vzios e um relção de A em B, ess relção é um unção de A em B qundo cd elemento do conjunto A está ssocido um e um só elemento y do conjunto B. O conjunto A é denomindo domínio D d unção, que é tmbém chmdo cmpo de deinição ou cmpo de eistênci d unção. O conjunto B é denomindo contrdomínio CD d unção. Além destes, eiste ind o conjunto imgem de um unção. Tis conceitos icm clros qundo se observ o eemplo seguir: A B : A B deinid por y = + ou = + Domínio: D = {0,, } Contrdomínio: CD = {0,,, 3, 4} Imgem: Im = {,, 3} Convém notr que: Im CD ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Qundo o domínio de um unção não está eplícito, devemos considerr pr esse domínio todos os vlores reis de que tornm possíveis em R s operções indicds n órmul mtemátic que deine unção. No cso de unções rcionis, lembre-se que o denomindor nunc pode ser nulo; no cso ds irrcionis, lembre-se que não se etri, em R, riz de números negtivos. EXERCÍCIOS - Determine o domínio D d unção deinid por: - 5 b- 9

10 0 c- 4 d- e g- 9 h- i- 4 3

11 - Construir os gráicos ds unções: y b c,, se se 3 se 0 se d se 0

12 FUNÇÃO INVERSA Denomin-se unção invers d unção bijetor unção : B A, que ssoci cd de B um elemento y de A tl que. - Pr se obter invers troc-se por y e y por. - O gráico d unção invers é simétrico o gráico d unção de origem, em relção à ret y=. Eemplos: y = : A B Determinr unção invers de : R + R+ onde = com 0. Fç um esboço do gráico. Determinr unção invers de : R R onde =. Fç um esboço do gráico.

13 FÓRMULAS PARA TRANSLAÇÃO DE GRÁFICOS VERTICAL: K<0. y = + K trnsld o gráico K uniddes pr cim se K>0 e K uniddes pr bio se HORIZONTAL : y = + h trnsld o gráico h uniddes pr esquerd se h>0 e h uniddes pr direit se h<0. Eemplos: Fç o gráico ds unções dds bio: = b = + c = 3 + d = e = + = + 3

14 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA Considere um circunerênci de rio unitário com centro n origem de um sistem crtesino ortogonl e o ponto A=,0. O ponto A será tomdo como origem dos rcos orientdos nest circunerênci e o sentido positivo considerdo será o nti-horário. SENO, COSSENO E TANGENTE As Funções trigonométrics básics são relções entre s medids dos ldos do triângulo retângulo e seus ângulos. As três unções básics mis importntes d trigonometri são: seno, cosseno e tngente. O ângulo é indicdo pel letr greg. 4

15 Pr todo o Pr todo o Vlores de lgums rzões trigonométrics: sen 0 cos 0 tg 0 cotg 0 5

16 SENOS E COSSENOS DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS Fórmuls Trigonométrics Fórmul Fundmentl sen cos Fórmuls Secundáris sen tg cos sec cos cos ec sen cot cos sentg 6

17 Eercício: Fç o esboço do gráico ds unções: = sen b = cos 7

18 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE O conceito de ite é um ds idéis que distinguem o cálculo d álgebr e d trigonometri. As regrs pr o cálculo são simples, e miori dos ites dos quis precismos pode ser obtid por substituição, nálise gráic, proimção numéric, álgebr ou lgum combinção desss. NOÇÃO INTUITIVA Anlisemos os seguintes eemplos de sucessões numérics. Notção:,,3,4,5, ,,,,, ,0,,, 3,... 3 Eemplo: Sej seguinte unção y 0 0,5 3-0, , , ,999 y Est unção tende pr qundo tende pr o ininito. y qundo. Denot-se: Em gerl: l 3 l l 3 L L 8

19 Ilustrção em um qudro pr outrs unções-eemplo: g + g. g 3 3 * 0,9,9,7 5,49 0,99,99,970 5, ,999,999, , ,00,00 3, , ,9999,9999,9997 5, ,000,000 3,0003 6, Teremos então: Notção Signiicção Intuitiv Interpretção Gráic y L Podemos tornr tão próimo de L qunto quisermos, escolhendo suicientemente próimo de e L y = 9

20 0 PROPRIEDADES DOS LIMITES Suponhmos que L e M g. Então são válids s proprieddes seguir: M L g g M L g g... L c c c M e g com M L g g c c onde c é um constnte *, N n n n 0, 0, *,, impr é n se N n n n e e EXERCÍCIOS SOBRE LIMITES Encontre os seguintes ites: b

21 c- cos 0 3 d- 3 e- -

22 g- 3 h i-

23 LIMITES LATERAIS Limites Lteris S y R Se se proim de trvés de vlores miores que ou pel su direit: S Esse ite é chmdo de ite lterl à direit de. Se se proim de trvés de vlores menores que ou pel su esquerd: R Esse ite é chmdo de ite lterl à esquerd de. Eistênci de Limites O ite de pr iguis, ou sej: eiste se, e somente se, os ites lteris à direit e esquerd são Se b, então b Se, então não eiste b Eemplo: 3

24 Se, esboce o gráico de e che, se possível: - z0 b- z0 c- z0 Eemplo: Esboce o gráico d unção deinid por: 3, 4, se se. Ache :, se - z b- z c- z 4

25 Pr os lunos: Um gás tl como vpor de águ ou oigênio é mntido tempertur constnte em um pistão. À medid que o gás é comprimido, o volume V decresce té que tinj um cert pressão crític. Além dess pressão, o gás ssume orm líquid. Use o gráico bio pr chr e interpretr. - z00 V b- z00 V c- V z00 V litros Gás 0,8 0,3 Líquido 00 P torr Eercícios: - Dd unção.,, 9, se se se, determinr se possível:, b e - Sej, esboce o gráico e determine: - 0 e b-. O ite eiste? 0 5

26 LIMITES QUE ENVOLVEM O INFINITO Sbe-se que epressão qulquer número rel e que ssume vlores menores que qulquer número rel. tende pr ininito signiic que ssume vlores superiores tende pr menos ininito, d mesm orm, indic que Eemplo: y y=/ 0-0, ou sej, à medid que ument, y tende pr zero e o ite é zero. - 0, ou sej, à medid que diminui, y tende pr zero e o ite é zero. 3-, ou sej, qundo se proim de zero pel direit de zero 0 ou por vlores 0 n miores que zero, y tende pr o ininito e o ite é ininito. 4-0 n se n é pr se n é pr Eemplos: - Determine cd ite se eistir: b- = z 6

27 c- 5 = 3 z d z 0 4 = e = z 0 7 7

28 Função Eponencil A unção, deinid em R, e dd por bse., >0 e, denomin-se unção eponencil de Eemplos: Fç o gráico ds unções: b 8

29 c e Função Logrítmic Sej >0,. A unção dd por log, >0, denomin-se unção logrítmic de bse. - Se > unção é crescente. - Se 0 < < unção é decrescente. Eemplos: Fç o gráico ds unções: log 9

30 b log Limites de unções eponenciis Suponh > Suponh 0<< = = b = b = Limites de unções logrítmics Suponh > Suponh 0<< log = log = b 0 log = b 0 log = Clcule os ites: = b 3 = c 4 = 5 30

31 d 0,3 = e g h 0 0 log 3 log 3 log log 5 = = = = CONTINUIDADE Eemplos de unções: y y y y= y= y= c não é um unção contínu c não é um unção contínu c é um unção contínu Deinição: Dizemos que um unção é contínu num ponto do seu domínio se s seguintes condições são stiseits: c é deinid. c eiste c c Propriedde ds Funções contínus Se e g são contínus em =, então: g é contínu em. g é contínu em é contínu em onde g 0. g 3

32 Eemplo: - A unção,, se se é contínu em c. - Considere unção 4, 5, se se Est unção é contínu em? Cso contrário, como você redeiniri unção em pr que el osse contínu? 3

33 DERIVADAS Iniciremos o estudo ds derivds considerndo dois problems plicdos. O primeiro consiste em determinr o coeiciente ngulr inclinção d ret tngente em um ponto do gráico de um unção, e o segundo, em deinir velocidde de um objeto em movimento retilíneo. Rets Tngentes Relembrndo: y Q r R P Coeiciente ngulr de r inclinção d ret r = tg PQ RP Deinição: O coeiciente ngulr m d tngente o gráico de um unção em P, é Desde que o ite eist. m h0 h h Eemplo : Sej ' determine utilizndo deinição : ' b 33

34 c ' 3 d Determine equção d ret tngente o gráico de no ponto,. ' Eemplo : Sej = k um unção constnte. Mostre que =0 pr todo. ' Eemplo 3: Sej =. Mostre que = pr todo. 34

35 Eemplo 4: Sej. Clcule '. Eemplo 5: Mostre que não é derivável em p=0. 35

36 Algums Fórmuls: Derivd de um constnte k ' 0 Derivd d potênci n ' n, n ' n n, n 0 0 Eemplos: - Clcule ' sendo: 4 3. Clcule ' 7 b-. 5 c Clcule '6 36

37 Sej 3. ' Clcule. b Determine equção d ret tngente o gráico de no ponto de bsciss. 3 3 Determine equção d ret tngente o gráico de no ponto de bsciss 8. Regrs de Derivção - Som ou Subtrção - Derivd do produto 3- Derivd d divisão 37

38 Ou sej: - h g então h' ' g ' Eemplo: Se h Clcule h'. - h. g h'. g ' '. g 3 - Eemplo: Se y Clcule y '. 3- h g '. g. g ' h' g Eemplo: Se 5t h t. Clcule h ' t. t 38

39 Eercícios: Se 5 4. Clcule Se 5. Clcule 4- Se 3 h.. Clcule 3 h' 5- Se. 3. Clcule 6- Se 7- Se 3. Clcule '. 4. Clcule '. 5 '.. '. '. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Fórmuls: ' sen cos cos sen tg sec cot g csc sec sec tg csc csc cot DERIVADAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA ' e e ln Eemplo: Determine ' se sen cos 39

40 Eemplo: Determine g' se g sec. tg Eemplo3: Determine dy d se y sec. cot 40

41 Obs.: O coeiciente ngulr d ret norml ret tngente um unção C N. ' em um ponto P, é Eercícios - Determine o coeiciente ngulr ds tngentes o gráico de nos pontos de coordends- 0,,, e. b Esboce o gráico de e ds tngentes d prte. c 3 3 pr quis vlores de tngente é horizontl? y sen y sen DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS - REGRA DA CADEIA Váris plicções do cálculo n engenhri envolvem busc de um unção com lgum derivd. Em muits situções encontrremos unções composts. A determinção d derivd de unções composts seguirá um determind regr denomind Regr d Cdei. Proposição: Regr d Cdei Se y u e u g, e s derivds então unção compost deinid por y g tem derivd dd por dy du e du d eistem mbs, dy d dy du du d ' u. g ' ' g. g ' Então se h u então ' h' u. u' 4

42 Eemplo : Sejm Clcule. ' h 3 e u 5, então h u 5. e portnto 3 3 Eemplo : Sej sen 3. Clcule '. Eemplo 3: Sej sen. Clcule e '. Eemplo 4: Sejm y u e u. Clcule y '. 4

43 Eemplo 5: Sej sen cos 3. Clcule 3 '. Eemplo 6: Clcule derivd d unção y.e 3 Eemplo 7: Clcule derivd d unção y ln 3 43

44 Fórmuls: Regr d Cdei utilizds com mior reqüênci c. u n sen u cos u tg u u e ln u n. c. u ' n. u ' cos u. u ' sen u. u ' sec u. u ' e u. u '. u ' u Eercícios: Dds s unções, determinr ' b- 7 5 c d- 3 e

45 TAXAS RELACIONADAS Velocidde e Acelerção T de Vrição Suponhmos que um prtícul desloc-se sobre o eio OX com unção de posição ornece cd instnte posição ocupd pel prtícul n ret. A velocidde d prtícul no instnte t é deinid como sendo derivd de em t. t, d ' v t t dt A celerção no instnte t é deinid como sendo derivd em t d unção t dv dt d dt '' t v vt. Eemplo : Um prtícul move-se sobre o eio OX de modo que no instnte t posição é dd por t, t 0, onde é ddo em metros e t em segundos. Determine s posições ocupds pel prtícul nos instntes t=0, t= e t=. b Qul velocidde no instnte t? c Qul celerção no instnte t? d Esboce o gráico d unção de posição. 45

46 Eemplo : Um prtícul move-se sobre o eio OX de modo que no instnte t posição é dd por cos 3 t, t 0, onde é ddo em metros e t em segundos. Determine s posições ocupds pel prtícul nos instntes t 0, t, t, t e. 6 3 b Qul velocidde no instnte t? c Qul celerção no instnte t? d Esboce o gráico d unção de posição. t 3 Eemplo 3: Um ponto move-se o longo do gráico de y de tl modo que su bsciss vri um velocidde constnte de 3cm/s. Qul é, qundo = 4 cm velocidde d ordend y? 46

47 Eemplo 4: O rio de um eser está vrindo com o tempo, um t constnte de 5 m/s. com que t estrá vrindo o volume d eser no instnte em que r = m? Eemplo 5: Um escd de 6m de comprimento está poid em um prede verticl. Se bse d escd começ deslizr horizontlmente, à rzão de 0,6m/ s, com que velocidde o topo d escd percorre prede, qundo está do solo? 4 m 6 m 47

48 Eemplo 6: A que t o nível do líquido diminui dentro de um tnque cilíndrico verticl se bombermos o líquido pr or um t de 3000L/min? rio r do cilindro igul m. Eemplo 7: Enche-se um reservtório, cuj orm é de um cone circulr reto invertido, de águ um 3 t de 0, m / s. O vértice está 5 m do topo e o rio do topo é de 0m. Com que velocidde o nível h d águ está subindo no instnte em que h = 5m? 48

49 O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA Mostrremos neste momento como o sinl d derivd primeir pode ser usdo pr determinr onde intervlo um unção é crescente ou decrescente. Inormção que poderá ser útil n clssiicção dos etremos locis de um unção. ' Sej contínu em e dierenciável em, b, b. Se Se ' ' 0 0 pr todo pr todo em em, b, b,então,então é crescente em. é decrescente em, b, b. y y ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 3 Eemplo : Sej deinid por. Determinr os intervlos em que crescente e os intervlos em que é decrescente. b Esboçr o gráico de. é 49

50 Teste d derivd Primeir Sej c um número crítico de, e suponhmos contínu em c e dierenciável em um intervlo berto contendo c, eceto possivelmente no próprio c I Se ' pss de positiv pr negtiv em c, então c é máimo locl de. Se ' pss de negtiv pr positiv em c, então c é mínimo locl de. Se ou pr todo em eceto, então não é etremo locl de ' 0 ' 0 I c c. Eemplo : Sej deinid por 5. Determinr os intervlos em que crescente e os intervlos em que é decrescente. b Esboçr o gráico de. é 50

51 Eemplo 3: Sej os intervlos em que deinid por. Determinr os intervlos em que 3 é decrescente. b Esboçr o gráico de. é crescente e CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA Usremos o sinl d derivd segund é decrescente. '' pr determinr onde derivd ' é crescente e onde el Se or dierenciável em um intervlo berto I. O gráico de é Côncvo pr cim em I se ' é crescente em I. Côncvo pr bio em se ' é decrescente em I I. y y y y ' crescente '' 0 Gráico côncvo pr cim ' decrescente '' 0 Gráico côncvo pr bio 5

52 Teste d Concvidde Se derivd segund '' de eiste em um intervlo berto I, então o gráico de é Côncvo pr cim em Côncvo pr bio em I I se se '' 0 0 '' em em I I.. 3 Eemplo : Se 5 5. Determine os intervlos em que o gráico de cim ou côncvo pr bio. Fç um esboço do gráico de. é côncvo pr Um ponto c, c do gráico de é um ponto de inleão se são veriicds s dus condições: é contínu em c. Eiste um intervlo berto, b contendo c tl que o gráico é côncvo pr cim em, c e côncvo pr bio em c, b, ou vice vers. 5

53 Teste d Derivd Segund Sej dierenciável em um intervlo berto contendo c, e ' c 0. Se Se '' c 0 '' c 0, então, então tem máimo locl em c. tem mínimo locl em c. 4 Eemplo : Se, use o teste d derivd segund pr determinr os etremos locis de. Discut concvidde, che os pontos de inleão e esboce o gráico de. 53

54 54 Eemplo 3: Estude com relção concvidde e determine os pontos de inleão se eistirem. 3 4 b 3 c 3 3

55 INTEGRAIS Os dois mis importntes instrumentos do cálculo são derivd, já estudd nteriormente e integrl, motivção de nossos próimos estudos. A reunião dos cálculos dierencil e integrl ligção chmd de teorem undmentl do cálculo tornou-se errment mis poderos que os mtemáticos já obtiverm pr entender o universo. Antiderivds e Integrção Indeinid Deinição: Um unção F é um ntiderivd de em um intervlo I se F ' em I Ilustrção: de F. é um ntiderivd de. Notemos que há um míli de ntiderivds Função Antiderivds d Função F F 5/ F 5 F C C = constnte Teorem: Sej F um ntiderivd de em um intervlo I. Se G é um outr ntiderivd de em, então G F C Pr lgum constnte C e todo em I. I Mis Ilustrções: Eemplos de Antiderivds de 3 8 cos F 3 F F sen 3 C C C 4 55

56 Deinição: A notção d F C, onde F ' e C denot míli d de integrl tods s indeinid ntiderivds de em um intervlo. I é um constnte rbitrári, = sinl de integrl integrndo d símbolo que especiic vriável independente - vriável de integrção Eemplo: derivndo 3 F C 3 4 integrndo Tbel Sumári de Integris Indeinids d Integrl Indeinid D [ ] d F C C r r d C r r cos d sen C sen d sec d r d cos C tg C ln C d rc tg C d rc sen C d. r r. rcsen C r 56

57 Eemplos: d - 3 d d Teorem: c d c d pr qulquer constnte c Eemplos: [ g ] d d g d 3 - Clcule 5 cos d - Clcule 8 t 6 t dt 3 t 3 3- Clcule d 57

58 MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS INDEFINIDAS Veremos neste momento um técnic de integrção muito útil n resolução de integris indeinids não triviis. Veremos um método de mudnç de vriável de integrção de modo que esss integris e muits outrs possm ser clculds por meio de órmuls conhecids. Se F é um ntiderivd de, então g g ' d F g C. Se u g e du g ' d, então u du F u C Integrção por Substituição Eemplo : Clculr 5 7 d Eemplo : Clculr cos 4 d 58

59 3 7 Eemplo 3: Clculr d 3 Eemplo 4: Clculr 6 d 59

60 Eercícios: - Clculr d 3 - Clculr 3.sen d 0 3- Clculr. 3 d 4- Clculr d sen 5- Clculr d 3 cos 6- Clculr e d Clculr sen cos d 8- Clculr d Clculr sen cos d 0- Clculr e d 60

61 A INTEGRAL DEFINIDA Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o problem de determinr áre de um igur pln. O procedimento mis usdo oi o método d eustão, que consiste em proimr igur dd por meio de outrs, cujs áres são conhecids. y y A som d áre dos n retângulos pode ser representd por S n n i c. i i Sej y um unção contínu, não negtiv em [, b]. A áre sob curv y, de té b, é deinid por A ci. n má i 0 i i Integrl Deinid A integrl deinid está ssocid o ite d deinição nterior. Nsceu com ormlizção mtemátic dos problems de áres. Sej deinid com um unção deinid no intervlo [, b] e sej P um prtição qulquer de [, b]. A integrl b de té b, denotdo por d ci. i desde que o ite eist. n má i 0 i 6

62 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO O teorem undmentl do cálculo lém de ser útil no cálculo ds integris deinids, ele evidenci relção entre o estudo ds derivds e ds integris deinids. Teorem Fundmentl do Cálculo Suponhmos contínu em um intervlo echdo [, b]. Se unção G é deinid por ntiderivd de em [, b] G t dt pr todo em [, b], então G é um Se F é qulquer ntiderivd de em [, b], então b d F b F Eemplo : Clculr 3d 3 Eemplo : Clculr d 6

63 3 Eemplo 3: Clculr 3 d Eemplo 4: Clculr 3 d 4 63

64 Eemplo 5: Clculr d PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Veremos neste momento lgums proprieddes undmentis d integrl deinid. Se c é um número rel, então c d c b b Se b é integrável em [, b] e c c d c d b é um número rel rbitrário, então c é integrável em [, b] então Se b e g são integráveis em [, b], então b [ g ] d d g d b g e g são integráveis em [, b] então Se é integrável em [, b] e 0 pr todo em [, b] então b d 0 Se e g são integráveis em [, b] e g pr todo em [, b], então d b g d b 64

65 Integris deinids Método d Substituição O método de substituição de vriáveis trblhdo nteriormente pr s integris indeinids, pode ser estendido s integris deinids. 3 Eemplo : Clculr d 5 0 / 4 3 Eemplo : Clculr sen.cos d 0 65

66 Eercícios: Clcule integrl: d - 8z 3z dz 3- d d d d 0 66

67 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Abordremos que grnde prcel de situções pode ser clculd com integris: o volume de sólidos, o comprimento ds curvs, quntidde de trblho necessári pr bomber líquidos do subsolo, s orçs eercids contr comports, s coordends de pontos onde objetos sólidos terão equilíbrio centro de mss, áres. Deiniremos todos esses cálculos trvés de ites ds soms de Riemnn de unções contínus em intervlos echdos. ÁREA y y Região R y g b Teorem: Se e g são contínus e g pr todo deitd pelos gráicos de, g, e b é b A g d em [, b], então áre A d região Eemplo : Achr áre d região deitd pelos gráicos ds equções y e y. 67

68 Eemplo : Achr áre d região R deitd pelos gráicos ds equções y 6, y 3 0 e. y 0 Clculndo áre pr um região R y y d gy Região R y c y Eemplo 3: Achr áre d região deitd pelos gráicos ds equções y 4 e y. 68

69 Cálculo de Áres: Problems Eemplo : Clcule áre do conjunto do plno itdo pels rets =0, =, y=0 e pelo gráico de =. 3 Eemplo : Clcule áre d região itd pelo gráico de, pelo eio e pels rets =- e =. 69

70 Eemplo 3: Clcule áre d região itd pels rets = 0, =, y= e pelo gráico de y=. Eemplo 4: Clcule áre do conjunto de todos os pontos,y tis que y. 70

71 Eemplo 5: Clcule áre d região compreendid entre os gráicos de y= e y= com 0.. Eemplo 6: Achr áre d região R y 3 0. deitd pelos gráicos ds equções y 6 e 7

72 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Um sólido de revolução é um sólido gerdo pel rotção de um região pln em torno de um ret, ret é chmd de eio de revolução. Deinição: Sej contínu em [,b], e sej R região deitd pelo gráico de pelo eio- e pels rets verticis e em torno do eio- é Eemplo : Sej região ormd por gerr um sólido. Determine o seu volume. b. O volume V do sólido de revolução gerdo pel revolução de R y b e V d 0 4. A unção gir em torno do eio pr 7

73 Eemplo : Determine o volume do sólido obtido com rotção, em torno do eio y, d região compreendid entre o eio y e curv com y 4. y 73

74 y Volumes por Anéis Cilindricos y = y = g V b [ g ] d b Eemplo: Ache o volume do sólido gerdo qundo região entre os gráicos ds equções e g= sobre o intervlo [0,] é gird em torno do eio. 74

75 Eemplo: Ache o volume do sólido gerdo qundo região itd por g= é gird em torno do eio y. y, y e 0 e 75