Z 1 Z p y. f(x, y) dxdy. 0 1 y 2. (c) y 2 = x, x y = 4, y = 1 e y =2 Z 1. (c) Z 2 Z 0. (d) Z 1 Z p 1 y. (e)

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1 Lista álculo III -A- 5- Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA - 5- Integral Dula. Troque a ordem de integração em: (a) e ln x f(x, y) dydx (b) y y f(x, y) dxdy (c) y y f(x, y) dxdy. Use integral dula ara calcular a área da região limitada or: (a) x = y, x + y =, y = (b) y = x, y =x, xy = 6 (no rimeiro quadrante) (c) y = x, x y =, y = e y =. alcule as seguintes integrais: (a) cos y dxdy, onde D é limitada or (b) D y = x, y =, x =. ln ln y e x + dxdy (c) (d) (e) arcsen y y cos x + cos xdxdy x +y dydx y e x dxdy + y e x dxdy. Use uma integral dula ara calcular o volume do sólido W limitado or: (a) y =, z =, x + y =ez = x (b) x =, z =, x + y =9ez =9 y (c) x =, y =, z =, x + y = a, x + z = a (a>), situado no rimeiro octante. (d) x =, y =, z =, z =6 x, x = y, situado no rimeiro octante. 5. Passe ara coordenadas olares e calcule: (a) (b) + y x x y xy dxdy x + y dydx (c) (d) y 9 x x + y dxdy y arctan x dydx cos r 6. Exrima (sem calcular) drd como integral iterada em coordenadas retangulares, sec +rsen nas duas ossíveis ordens de integração. 7. Seja I = f(x, y)dxdy = f(x, y)dydx + f(x, y)dydx. D x x x (a) Transforme I em uma só integral iterada na ordem invertida. (b) alcule I ara f(x, y) = x + y.

2 Lista álculo III -A Seja I = + x f(x, y) dydx (a) Inverta a ordem de integração em I. (b) alcule I ara f(x, y) = x + y. 9. Achar o volume do sólido limitado sueriormente ela esfera x + y + z =, inferiormente elo lano z = e lateralmente elo cilindro x + y =.. alcule o volume do sólido que não contém a origem e é limitado elas suerfícies z = x y, x + y = e z =.. alcule o volume do sólido interior à esfera x + y + z = 6 e ao cilindro x + y =x e acima do lano z =.. alcule o volume do sólido contido no rimeiro octante, limitado elo cone z = r, elocilindror = sen e elo lano z =.. Uma laca D tem a forma da região limitada elas retas x =, x =, y =ey = x. A densidade em cada onto é inversamente roorcional à distância do onto à origem. Determine a massa da laca.. Uma laca fina é limitada ela circunferência x +y = a,(a>), e tem densidade (x, y) = a a +x +y. alcule o momento de inércia olar em função de sua massa M. 5. Seja uma lâmina delgada reresentada ela região D, determinada or y ale x, y x, x + y x e x + y ale x. Se a densidade em cada onto é dada or (x, y) =,determine: x +y (a) A massa de D. (b) O momento de inércia em relação à origem. 6. Uma laca fina de densidade constante tem a forma de um setor circular de raio a e ângulo central. Mostre que o momento de inércia em relação à bissetriz do ângulo é dado or Ma sen, onde M é a massa da laca. 7. alcule as coordenadas ( x, ȳ) do centro de massa de uma chaa homogêna D com o formato de um triângulo isósceles com base cm e altura 5cm. 8. alcule o centro de massa da lâmina D = (x, y) R ;x + y ale,x, se a densidade é roorcional à distância de (x, y) ao eixo y. 9. alcule o centro de massa do conjunto D = (x, y); ale x + y ale,y, sendo a densidade roorcional à distância do onto à origem.. Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo com lados iguais de medida a. Ache o momento de inércia em relação a um dos lados iguais, em função de sua massa M.. alcule a massa de uma lâmina delimitada or (x ) +(y ) =, se a densidade em um onto é roorcional à distância desse onto a (, ).. Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo de catetos b e h. Ache o momento de inércia em função de sua massa M. (a) em relação ao eixo x (b) em relação ao eixo y. Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo equilátero de lado a. Ache o momento de inércia em relação (a) a uma altura (b) a um lado

3 Lista álculo III -A- 5-. alcule as seguintes integrais: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) D D D D y+ y x y x + y y e xy x y (x y)e (x y) dxdy dxdy, D é a região triangular de vértices (, ), (, ) e (, ). da, D é a região no rimeiro quadrante, limitada elas arábolas sen x + y dxdy, D = (x, y); x + y ale,y. y/x + xy x y y =, x =, x =y e y =x. dxdy, D é a região do rimeiro quadrante, limitada elas hiérboles xy =, xy = 9 e elas retas y = x e y =x. (x + y )(x y) 6 dxdy, D é o quadrado x + y ale. D x + y dxdy, D é a região do rimeiro quadrante, limitada or x y =, x y = 9, D xy =exy =.. (a) (b) (c) e x e y f(x, y) dxdy x+. (a) 5 (b) 6 ln (c). (a) sen 8 (b) ln (c) (d) 9 (e). (a) 8 (b) (c) a (d) (a) x e x x f(x, y) dydx + x+ f(x, y) dydx + dydx = e ( x) x+ x+ Resostas f(x, y) dydx f(x, y) dydx 6. (b) (c) ln =ln + (d) 9 6 x x 7. (a) 8. (a) x + y dydx = +y + y x + y dxdy +y (b) 9 + y f(x, y) dxdy y ( y) ( y) (b) +ln f(x, y) dxdy

4 Lista álculo III -A k ln. Ma ln ln 5. (a) (b) 9 7. O centro de massa situa-se a 5 cm da base, sobre sua mediatriz. 8., 9., 5. Ma 6. k. (a) Mh 6 (b) Mb 6. (a) k a 96 (b) k a. (a) e 6 (b) 6 (c) e 6 (d) ( cos ) (e) ln (f) 7 (g) 8 5e + e

5 Lista álculo III -A- 5-5 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA - 5- Integral Trila. alcule RRR W xdv, onde W é o tetraedro limitado elos lanos coordenados e elo lano x + y + z =.. alcule RRR W dv, onde W é a região do rimeiro octante, limitada or x = y, y = z, x =e z =.. alcule RRR W dv, onde W é o sólido delimitado or x =, y =, x+ y =, z = x + y e z =.. alcule RRR W (y ) dv, onde W é a região delimitada or x =, z =, x + z = e z = y. 5. alcule RRR W z dv, onde W está situado no rimeiro octante, limitado elos lanos z =, x =, y =x eelocilindroy + z =. 6. alcule RRR W z dv, onde W é o sólido limitado elos lanos x =, y =, z =, y + z = e x + z =. 7. alcule RRR W z dv, onde W é o sólido limitado or x + y + z =, x =, y =, z =, e z =. 8. Use uma integral trila ara calcular o volume do sólido W limitado or: (a) y =, y =, z =9 x, y + z =. (b) z = x y e z = y, situado no interior do cilindro x + y =, z. (c) z =x, z = x, y = e z + y = 6. (d) y =, z =, x + y =, y + x = 6, y + z =, no rimeiro octante. (e) y =, z =, z + x =, y + z =. (f) x + y =, y, y + z =, z =. (g) z = x, y + z =, z y =, z =. (h) z = y, y = x, z =. 9. alcule RRR W z dv, onde W é o sólido limitado elas suerfícies z = x + y, z = (x + y ) e x + y + z =. x +y +z. alcule RRR W dv, onde W é a região interior ao cone z = x + y, limitada sueriormente ela esfera x + y + z = e inferiormente ela esfera x + y + z =.. alcule RRR W x + y dv, onde W é o sólido limitado elas suerfícies z = (x + y ) e z =.. onsidere a integral iterada I = x x y z x + y dzdydx. (a) Exresse I em coordenadas cilíndricas e calcule o seu valor. (b) Exresse I em coordenadas esféricas e calcule o seu valor.. alcule o volume do sólido W que está dentro da esfera x + y + z =, acima do lano z = e abaixo do cone z = (x + y ).. alcule o volume do sólido W dado or x + y +(z ) ale e z x + y. 5. alcule a massa do sólido W situado no rimeiro octante, limitado elos lanos x =, y =x eelo cilindro y + z =, suondo que a densidade no onto (x, y, z) é roorcional à distância deste onto ao lano xy.

6 Lista álculo III -A alcule a massa do sólido W, limitado elas suerfícies x + y =, z + y = e z =, se a densidade em (x, y, z) é dada or (x, y, z) =z. 7. alcule a massa do sólido limitado elo lano z =, o cilindro x + y =x e elo cone z = x + y, se a densidade é (x, y, z) =x + y. 8. alcule q a massa do sólido limitado sueriormente or x + y +(z ) =, inferiormente or z = (x + y ), sendo a densidade igual ao quadrado da distância de (x, y, z) ao lano z =. 9. alcule a massa do sólido W : x + y ale, x + y + z ale e z, sendo a densidade dada or (x, y, z) =z.. Encontre a massa da região sólida limitada elas suerfícies z = 6 x y e z =x +y,sea densidade do sólido é (x, y, z) = x + y.. Encontre o momento de inércia I z do sólido no rimeiro octante, limitado elas suerfícies z = y, x + y =, z = e x =, sendo a densidade dada or (x, y, z) =kz, onde k> é uma constante.. alcule a comonente z do centro de massa do sólido W dado or x + y + z z, x + y + z ale 8z, z x + y, z ale (x + y ), se a densidade no onto (x, y, z) é inversamente roorcional ao quadrado da distância do onto à origem.. onsidere o cilindro homogêneo x +(y a) ale a e ale z ale h. alcule o momento de inércia em relação ao eixo z, em função da massa M do cilindro.. Seja I = x y dzdydx. Reescreva a integral I na ordem dxdydz. 5. Seja o volume do sólido W comum às esferas x + y + z = e x + y + z =z. Exresse (sem calcular) o volume de W em (a) em coordenadas cilíndricas na ordem dzdrd. (b) em coordenadas esféricas na ordem d d d.

7 Lista álculo III -A- 5-7 Resostas (a) (b) 6 (c) 5 (d) ( ) (e) 8 5 (f) (g) 5 8 (h) (a) R R R r r z dzd dr = k (b) R k Ma. I = R 5. (a) R (b) R R R R cos sen d d d = 6 5 z R y dxdydz R R r R R + R R r rdzdrd sen d d d + R cos sen d d d

8 Lista álculo III -A- 5-8 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA - 5- Integral de Linha de amo Escalar. Aresente uma arametrização diferenciável ara as seguintes curvas lanas: (a) : x = y, ale x ale (b) : x + y =, y (c) : x +y =, x (d) : x + y + x + y = (e) : x + y = 6, x (f) : x + y =x, y (g) : x + y = (h) : x +y 6x +y 6 = (i) : 6x +9y + 6x 8y 7 =. Aresente uma arametrização diferenciável ara a curva em R, interseção das suerfícies dadas or: (a) z = x, z e x = y (b) x + y + z = R e x + y = R, R >, situada no rimeiro octante. (c) x + y = e y + z = (d) x + y = e x + z =, situada no rimeiro octante.. alcule f(x, y)ds, onde (e) x +y +z =8 (x+y), z e x+y = (f) z =x + y e z +6x =9 (a) f(x, y) =xy e arametrizada or ~r(t) = (cos t, sen t), ale t ale. (b) f(x, y) =xy e é o segmento de reta de (, ) a (, 5). (g) (x ) + y = e x + y + z =,z (h) x + y + z =y, z e z y += (c) f(x, y) =x y e é a semicircunferência x + y = a, a >, com y. (d) f(x, y) =x y e é a circunferência x + y = ax, a >. (e) f(x, y) =8x e é formada elos arco da arábola y = x de (, ) a (, ) seguido elo segmento de reta vertical de (, ) a (, ).. alcule f(x, y, z)ds, onde (a) f(x, y, z) =x yz e é a curva dada or ~r(t) = t, t, t, ale t ale. (b) f(x, y, z) =x + y + z e é o segmento de reta de (,, ) a (,, ). (c) f(x, y, z) =y(x + z) e é a curva interseção das suerfícies x + y + z = 9, com y e x + z =. (d) f(x, y, z) =xyz e é a curva interseção das suerfícies x + y + z = R e x + y = R, situada no rimeiro octante. (e) f(x, y, z) =x e é a interseção do cilindro arabólico y = x com a arte do lano z = x, tal que ale x ale. 5. Seja a curva interseção da semiesfera x + y + z = a, a>, x, com o lano y = z. Determine o valor de a, se R xyz ds = 6.

9 Lista álculo III -A Sabendo que I = ela elise. ds q x + y a b = 8, onde é a elise x + y a b =, calcule a área da região limitada 7. Um edaço de arame tem a forma da curva interseção da esfera x + y + z = (x + y) com o lano z y =. alcule a massa do arame se a densidade é dada or (x, y, z) =x. 8. Achar a massa da curva dada or x = e t cos t, y = e t sen t, z = e t, ale t ale, se a densidade em cada onto é inversamente roorcional ao quadrado da distância do onto à origem. 9. alcule a rimeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva ~r(t) =t ~i + 5 t 5 ~ j + t ~k, ale t ale.. Um arame tem a forma de uma curva obtida como interseção da semiesfera x + y + z = 6, x, com o lano y + z =. Sabendo que a densidade em cada onto (x, y, z) é dada or (x, y, z) =x, mostre que o momento de inércia em relação ao eixo x é igual a M, onde M é a massa do arame.. alcule a massa da elise x 9 + y =, situada no rimeiro quadrante, se a densidade em cada onto é igual ao roduto das coordenadas do onto.. alcule a área de um lado da suerfície S cuja base é a circunferência x + y =, no lano xy, e a altura em cada onto (x, y) éf(x, y) = x.. Deseja-se construir uma eça de zinco que tem a forma da suerfície do cilindro x + y =, comreendida entre os lanos z = e x + y + z =, z. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o reço total da eça.. Um intor deseja intar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva no lano xy dada or x + y =, ara x e y. A altura em cada onto (x, y) é dada or f(x, y) =y. Se o intor cobra R reais or m, quanto ele receberá? 5. Seja dado um arame semicircular homogêneo de raio cm. (a) Mostre que o centro de massa está situado no eixo de simetria a uma distância de 8 cm do centro. (b) Mostre que o momento de inércia em relação ao diâmetro que assa elos extremos do arame é 8M, sendom a massa do arame. 6. Um arame fino é entortado no formato da curva interseção das suerfícies x + y + z = e y = x, situado no rimeiro octante e que liga o onto A =,, ao onto B =,,. alcule a massa do arame, sendo a densidade em cada onto roorcional ao quadrado da distância do onto ao lano yz. 7. Um arame fino tem a forma da curva interseção das suerfícies x +y +z =+z+x e z =+y, z. Determine a massa do arame, se a densidade em qualquer onto é igual ao quadrado da distância do onto ao lano xz. 8. alcule o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comrimento L, em torno de um eixo erendicular ao fio e assando or uma das extremidades do fio, em função de sua massa. 9. Um fio delgado tem a forma do segmento de reta que une os ontos (, ) e (, ). Determine o momento de inércia em relação à reta y =, suondo que a densidade no onto (x, y) é roorcional à distância do onto ao eixo y.

10 Lista álculo III -A- 5- Resostas. (a) ~r(t) =(t,t), ale t ale é uma arametrização diferenciável; ~r(t) =(t, t), ale t ale é também uma arametrização de, mas não é diferenciável, ois não existe ~r (). (b) ~r(t) = ( cos t, sen t), ale t ale (c) ~r(t) = ( cos t, sen t), ale t ale (d) ~r(t) = + cos t, + sen t, ale t ale (e) ~r(t) = ( cos t, sen t), ale t ale (f) ~r(t) = ( + cos t, sen t), ale t ale (g) ~r(t) = (cos t, sen t), ale t ale (h) ~r(t) = + 5 cos t, + 5 sen t, ale t ale (i) ~r(t) =( + cos t, + sen t), ale t ale. (a) ~r(t) = t, t, t, ale t ale (b) ~r(t) = R cos t, R sen t, R, ale t ale (c) ~r(t) = (cos t, sen t, sen t), ale t ale (d) ~r(t) = ( cos t, sen t, sen t), ale t ale (e) ~r(t) = + cos t, cos t, sen t, ale t ale (f) ~r(t) = + cos t, sen t, 5 cos t, ale t ale (g) ~r(t) = + cos t, sen t, sen t (h) ~r(t) = cos t, +, ale t ale sen t, sen t, ale t ale. (a) (b) 58 5 (c) (d) a (e) 5+. (a) (b) (c) 7 (d) R (e) 6 5. a = k e. (6 + 8) M. 8R ML 9. 9 k

11 Lista álculo III -A- 5- Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA - 5- Integral de Linha de amo Vetorial Teorema de Green amos conservativos. alcule R xdx+ x dy de (, ) a (, ) ao longo (a) do eixo x (b) de : ~r(t) =( cos t, sen t), ale t ale (c) da oligonal de vértices: (, ), (, ), (, ) e (, ). alcule H ydx+ xdy, ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário. (a) circunferência de centro na origem e raio (b) elise x + 6y = 6 (c) triângulo de vértices (, ), (, ) e (, ).. alcule R (x +y) dx +(x y) dy de (, ) a (, ), ao longo (a) do segmento de reta (b) do arco de arábola y = x (c) do arco de circunferência x +(y ) =, orientado no sentido anti-horário.. alcule R xz dx +yz dy +xy dz, do onto A =(,, ) ao onto B =(,, ), ao longo dos seguintes caminhos: (a) segmento de reta AB (b) interseção das suerfícies z = x + y e x = y. 5. alcule R P dx + Qdy+ Rdz, onde (a) ~ F =(P, Q, R) =(y, z, x) e é a interseção das suerfícies x + y = e x + y + z = (x + y), ercorrida no sentido anti-horário quando vista da origem. (b) ~ F =(P, Q, R) =( y, z, x) e é a interseção das suerfícies x + y = e y + z =, com x e z, ercorrida uma vez do onto (,, ) ao onto (,, ). (c) ~ F =(P, Q, R) =(z, x, y) e é a interseção das suerfícies z = x + y e x +y + z =, orientada de modo que sua rojeção no lano xy seja ercorrida uma vez no sentido horário. 6. Seja a interseção do cilindro x + y = com o semilano y + z =,y, ercorrida de modo que sua rojeção no lano xy tenha sentido anti-horário e seja F ~ (x, y, z) =x ~i + y ~j + z ~ R k. alcule a integral ~ F d~r. 7. O camo de forças ~ F (x, y, z) =(x,y,z x ) atua sobre uma artícula transladando-a ao longo da curva interseção das suerfícies z = x + y e z =x +y, orientada de modo que sua rojeção no lano xy seja ercorrida uma vez, no sentido horário. alcule o trabalho realizado or ~ F. 8. alcule o trabalho realizado ela força ~ F =(x, y, z) ara deslocar uma artícula ao longo da curva interseção das suerfícies x + z =5 e z = y, orientada do onto (5,, ) a (5,, ). 9. Achar o trabalho de uma força variável, dirigida ara a origem das coordenadas, cuja grandeza é roorcional ao afastamento do onto em relação à origem das coordenadas, se o onto de alicação desta força descreve, no sentido anti-horário, a arte da elise = no rimeiro quadrante. x + y 6

12 Lista álculo III -A- 5-. Um camo de forças bidimensional ~ F define-se or ~ F (x, y) =(x + y) ~i +(x y)~j. (a) Prove que o trabalho realizado or esta força ao deslocar uma artícula ao longo da curva ~r(t) =f(t) ~i + g(t)~j, a ale t ale b, deende unicamente de f(a), f(b), g(a) eg(b). (b) Determine o trabalho realizado quando f(a) =, f(b) =, g(a) = e g(b) =.. Uma artícula de eso w desce de (, ) a (, ) ao longo da arábola y = x. Agem sobre a artícula a força da gravidade e também uma força horizontal dirigida ara a direita, de módulo igual à coordenada y do onto. Determine o trabalho realizado or essas duas forças.. Seja g : R! R uma função diferenciável e h : R! R uma rimitiva de g, tal que h() =, h() =. alcule R xg x + y + z dx + yg x + y + z dy + zg x + y + z dz, onde está situada no rimeiro octante, e é a interseção das suerfícies x + y = e y = z, ercorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.. Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, ara ~ F (x, y) = =(x y, x +6y), onde D é a região interior à elise x + y =. x. Se D é a região interior à elise 5 + y 9 = e exterior à circunferência x + y =, calcule a integral de linha I = xy + e x dx + x +x + cos y dy, onde está orientada ositivamente. 5. alcule as integrais de linha diretamente e também elo Teorema de Green: (a) R (x y) dx +(x +5y) dy, onde é a circunferência unitária x = cos t, y = sent, com ale t ale. (b) R xy y dx +(xy) dy, onde é o caminho fechado formado or y =, x = e y = x, orientado ositivamente. 6. alcule as seguintes integrais: (a) y + +x 5 dx + 5x e y dy, onde é a circunferência x + y =. xy (b) dx +ln(+x) dy, onde é formada or y =, x +y = e x =. +x y (c) dx +xy dy, onde é a fronteira da região limitada or y = x, y = x e x + y =, com y. (d) x e y dx +(x + e y ln x) dy, onde é a fronteira da região limitada or x = y + e x =. (e) (y x + arctan x) dx + x y + +y dy, onde é a fronteira da região limitada elas curvas y = x + e y = x. y (f) xy dx+ x + x + y dy, onde é a fronteira da região D entre as circunferências x + y = e x + y = 9, orientada ositivamente. 7. alcule as seguintes integrais: (a) e x + y dx + x + y 5 dy, onde é formada or y = x e y =, ale x ale, que vai do onto (, ) ao onto (, ). (b) ( + x cos y) dx + 7xy x sen y dy, onde é a curva y = cos x, ale x ale, ercorrida de A =, a B =,.

13 Lista álculo III -A- 5- (c) x ln y + x y dx + ln y + x x dy, onde é a oligonal aberta que une os ontos (, ), (, ) e (, ), nesta ordem. (d) (e x ln y y) dx + y e x dy, onde é o arco de arábola y = x +, orientado de (, ) a (, ). 8. alcule o trabalho realizado elo camo de forças F ~ (x, y) = xe y x y y,x e y +seny, ao mover uma artícula ao longo da trajetória dada or ~r(t) = ( + cos t, sen t), ale t ale. 9. onsidere o camo vetorial dado or F ~ (x, y) =rf(x, y) (y, x), onde f(x, y) =x e xy cos y. alcule R ~ F d~r, onde é a elise x +9y = 6, ercorrida no sentido anti-horário.. Seja ' : R! R de classe, tal que r ' = x. onsidere o camo F alcule ~F d~r, onde é a curva formada or y = x e y = x.. Seja F ~ =(P, Q) um camo vetorial de classe, em U = R {(, )}, @x (x, y) (x, y)+, ara todo (x, y) U. Sabendo que F ~ d~r =6, onde : x + y =, calcule F ~ d~r, onde x : + y 5 =.. onsidere um camo F ~ definido em U = R {(, ), (, )} tal que r F ~ (x, y) =~ em (x, y) U. Suonha que F ~ d~r = 6, : (x + ) + y = e F ~ d~r = 9, : (x ) + y =. alcule ~F d~r, : x + y = 6.. alcule R ~ F d~r, onde F ~ (x, y) = y x +y x+, x x +y x+ + x e é a curva fechada formada elas curvas x+y + =, x y + = e x+y =, ale y ale, ercorrida no sentido anti-horário. y. alcule xy dx + x + x dy, onde é a curva x x +y x +y 6 + y =, y, orientada de (, ) a (, ). 5. Seja F ~ y x (x, y) = y,, (x, y) 6= (, ). alcule a integral de linha do camo F ~ ao x +(y ) x +(y ) longo de e, orientadas no sentido anti-horário, onde (a) : x +(y ) = ; (b) : x + y = Seja uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai de (, ) a(, ), como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada or eoeixox vale 6, calcule o trabalho realizado ela força F ~ (x, y) = x + xy ~ i +(x + arctan y) ~j. 7. alcule R ~ F d~r, onde F ~ (x, y) =(+xcos y) ~i + 7xy x sen y ~j e é a curva y = cos x, ale x ale, ercorrida de A =, a B =,. 8. Seja F ~ =(P, Q) de classe em U = R {(, ), (, )}, @x = x Sejam : x + y = 6, : x +(y ) = e : x +(y + ) =. alcule F ~ d~r, sabendo que F ~ d~r = F ~ d~r e F ~ d~r = F ~ d~r 8.

14 Lista álculo III -A alcule R xy y cos x dx + y sen x +x y dy, onde é o arco da arábola x = y de P =(, ) a P =,.. Seja F ~ =(P, Q) = cos x + x y y x,x y +ln( x). (a) ~ F é conservativo? Por quê? (b) alcule R ~ F d~r, : ~r(t) = + cos t, sen t, ale t ale. (c) alcule R ~ F d~r, : (x ) + y =, x ale, orientada no sentido anti-horário.. alcule R ~ F d~r, onde ~ F =(P, Q) = cos xy xy sen xy, x y sen xy e é dada or (a) : ~r(t) = ( + cos t, sen t), ale t ale. (b) : ~r(t) =(t +(t ) ln +t, cos t ), ale t ale.. Seja qualquer curva unindo qualquer onto na circunferência x + y = a a qualquer onto na circunferência x + y = b, b>a>. Seja F ~ (x, y) = x + y (x, y). Mostre que R ~ F d~r tem semre o valor b a.. Verifique que a seguinte integral indeende do caminho e calcule o seu valor: I =. Encontre todos os valores ossíveis de I = qualquer que não assa ela origem. (x+y) dx+(y x) dy (,) (,) x y dx x y dy. x +y, onde é uma curva fechada 5. onsidere a curva arametrizada or r(t) = sen t,et, com ale t ale. alcule onde F ~ (x, y) = y sen x, y cos x. R ~ F d~r, 6. alcule R ~ F d~r, onde ~ F (x, y) = y + ~i+ xy + ~j e é a semicircunferência (x ) +y =, com y, orientada de (, ) a (, ). 7. alcule R ~ F d~r, onde ~ F (x, y) =(seny y sen x) ~i +(x cos y + cos x)~j e é a curva arametrizada or r(t) = t +t, t +t, com ale t ale. 8. Verifique que a integral seu valor. (,) (,) e x e ln y y x dx + e x y e y ln x dy indeende do caminho e calcule o

15 Lista álculo III -A- 5-5 Resostas. (a) (b) (c). (a) 8 (b) (c). (a) 7 (b) (c) +. (a) 6 (b) 5. (a) (b) (c) k.. 6 +w (a) (b) 6 6. (a) (b) (c) 8 (d) 6 5 (e) 9 (f) 8 7. (a) (b) (c) 8ln (d) e e ln (a) (b). (a) é conservativo (b) (c). (a). (b).,, 5. e cos

16 Lista 5 álculo III -A- 5-6 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA 5-5- Integral de Suerfície de amo Escalar Fluxo de amo Vetorial. Parametrize as suerfícies abaixo, indicando o domínio dos arâmetros: (a) S : arte da esfera x + y + z =, que fica acima do lano z =. (b) S : arte do cilindro x + y =, que fica entre os lanos z = e y + z =. (c) S : arte do lano x + y + z = no interior do cilindro x + y =. (d) S : cone gerado ela semireta z = y, y, girando-a em torno do eixo z. (e) S : suerfície de revolução obtida girando o segmento de reta AB, A =(,, ), B =(,, ), em torno do eixo x. (f) S : arte do cilindro x + y =y, que fica entre z = e z = x + y. (g) S : suerfície de revolução obtida girando a curva (x a) + z = r, com <r<a, em torno do eixo z.. Seja S uma suerfície arametrizada or ~r (u, v) = v cos u, v sen u, v ale u ale e v. (a) Identifique essa suerfície (b) Encontre uma equação da reta normal a S em ~r (, ) (c) Encontre uma equação do lano tangente a S em ~r (, ).. alcule a área da suerfície dada or ~r (u, v) =(u, v, u + v ), com (u, v) D : u + v ale.. alcule a área das suerfícies: (a) S : orção do lano x +y + z =, que está dentro do cilindro x + y =. q (b) S : arte da esfera x + y + z x =, interior ao cone z = +y. (c) S : orção do cilindro x + y =, entre os lanos z = y e z =y. (d) S : arte do cilindro x + y =y, limitado elo lano z = e o cone z = x + y. (e) S : suerfície gerada ela rotação do conjunto = (,y,z) R ; (y ) + z = em torno do eixo z. (f) S : suerfície gerada ela rotação do segmento de reta AB, A =(,, ), B =(,, ) em torno do eixo z. (g) S : arte da suerfície z = x + y, comreendida entre os lanos x+y =,x+y =,x= e y =. (h) S : arte do cone z = x + y, que se encontra dentro do cilindro x + y =y, fora do cilindro x + y =. 5. alcule a área da suerfície da esfera de raio a, centrada na origem, limitada or dois aralelos e dois meridianos, sabendo que o ângulo entre os meridianos é e a distância entre os lanos que contêm os aralelos é h. 6. Seja S a suerfície de equação z = x + y, ale z ale k, k >. Sabendo-se que a área de S vale, determine o valor de k. 7. Deseja-se construir uma eça de zinco que tem a forma da suerfície de equação z = x, comreendida entre os lanos y = e z = eocilindro z = y,y. Se o metro quadrado do zinco custa R reais, calcule o reço total da eça.

17 Lista 5 álculo III -A O cilindro x + y = x divide a esfera S : x + y + z = em duas regiões S e S, onde S está no interior do cilindro e S fora. Ache a razão das áreas A(S ) A(S ). 9. alcule RR S f(x, y, z)ds, onde (a) f(x, y, z) =z x + xy e S : ~r (u, v) =u ~i + v ~j + u + ~ k, com ale u ale, ale v ale. (b) f(x, y, z) =x z e S : x + y = a, a >, com ale z ale. (c) f(x, y, z) =x e S é a região triangular com vértices (,, ), (,, ) e (,, ). (d) f(x, y, z) =z e S é a suerfície do sólido limitado elo cilindro x + y = e os lanos z = e x + z =. (e) f(x, y, z) = x + y + z e S é a orção da esfera x + y + z = 6, limitada elos lanos z = e z =. (f) f(x, y, z) = x y z e : é a arte da suerfície cônica z = x + y, limitada or z = x + y, com z. (g) f(x, y, z) =x y e S é a orção do cilindro x + y = a, a >, no rimeiro octante, entre os lanos z = y e z =y. (h) f(x, y, z) =x + y e S : x + y + z =, com z.. Suonha que f(x, y, z) = x + y g x + y + z, onde g é uma função de uma variável, tal que g() = 5. alcule RR S f(x.y, z) ds, onde S é a e s f e r a x + y + z =.. alcule a massa da suerfície S arte do lano z = x dentro do cilindro x + y =, sendo a densidade dada or (x, y, z) =y.. Seja S a orção do cilindro x + y =, com z, limitada elo lano x + y + z = e o lano z =. alcule a massa de S, sabendo que a densidade de massa em um onto é igual ao quadrado da distância do onto ao eixo z.. Seja S a suerfície do sólido limitado inferiormente elo arabolóide z = x + y e sueriormente elo lano z =. Se a densidade de massa é dada or (x, y, z) =z, calcule a massa de S.. Seja S a orção da esfera x +y +z = que se encontra dentro do arabolóide z = x +y. alcule a massa de S sabendo que a densidade de massa em cada onto (x, y, z) S é igual ao quadrado da distância do onto ao eixo z. 5. Seja S a suerfície de rotação obtida girando = (x, y, ) R ; x =lny, ale y ale 8 em torno do eixo x. alcule a massa de S, sabendo que a densidade em cada onto é roorcional à distância do onto ao eixo x. 6. Determine o momento de inércia em relação ao eixo z da suerfície S : x + y =y, limitada or z = e z = x + y, sendo a densidade (x, y, z) =z. 7. Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comrimento L e raio da base a, com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é I = Ma + ML, onde M é a massa total. 8. alcule o momento de inércia da suerfície homogênea, de massa M, de equação x +y = R, (R >), com ale z ale, em torno do eixo z. 9. Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio a. alcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que assa elo olo e é erendicular ao lano que delimita o hemisfério. onsidere a densidade no onto P da lâmina roorcional à distância desse onto ao lano que delimita o hemisfério.

18 Lista 5 álculo III -A Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo z da casca do cone z = x + y de altura h que está no rimeiro octante com densidade constante é I = Mh,, onde M é a massa total.. alcule o momento de inércia da suerfície esférica de raio R, homogênea, de massa M, em torno de qualquer diâmetro.. alcule o centro de massa da suerfície homogênea, arte da suerfície cônica z = x + y, comreendida entre os lanos z = e z =.. alcule RR S ~ F ~n d S, onde (a) ~ F (x, y, z) = z ~ k e S é a arte da esfera x + y + z = fora do cilindro x + y =, ~n aontando ara fora. (b) ~ F (x, y, z) =( x) ~i +( y) ~j + y z ~ k e S é a arte do cilindro x + y = 6, situado no rimeiro octante, entre z = e z = 5 y, ~n aontando ara o eixo z. (c) F ~ (x, y, z) =(z +x) ~i+(z + ) ~ k e S é a suerfície do sólido limitado or z = e o lano xy, com ~n exterior. y,x=,x= (d) ~ F (x, y, z) = xyz ~i + x +yz xz ~j + yz z ~ k e S é a união da suerfície x + y =, ale z ale, com z =, x + y ale, indicando a orientação escolhida ara S. (e) ~ F (x, y, z) = yz, xz, x + y e S é a suerfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga (,, ) a (,, ), em torno do eixo z, com ~n tendo a comonente z não negativa. (f) ~ F (x, y, z) =(x, y, z) e S é a s e m i e s f e r a x + y + z =, z, com ~n exterior. (g) ~ F (x, y, z) =y ~i + x ~j + ~ k e S é a suerfície lana limitada elo triângulo de vértices (,, ), (,, ) e (,, ), com ~n tendo a comonente z não negativa. (h) F ~ (x, y, z) =z ~i + yz ~j e S é a arte do lano z = x, limitada elo cilindro x + y = 9, com ~n tal que ~n ~k (i) ~ F (x, y, z) = x + y + z (x, y, z) e S é a e s f e r a x + y + z = a,a>, com ~n exterior. (j) ~ F (x, y, z) =(x y, x + y, z) e S : x + y = a, z >, ale z ale h, com ~n exterior. (k) F ~ (x, y, z) =x ~i + y ~j e S é a arte da esfera x + y + z = a,a>, no rimeiro octante e ~n aontando ara a origem. (l) ~ F (x, y, z) =(x, y, z) e S é a união dos lanos y + z =, com ale x ale, ale y ale e z =, com ale x ale, ale y ale, indicando a orientação escolhida ara S.. alcule o fluxo de F ~ (x, y, z) = y + z,x,x, através da suerfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o onto (,, ) a (,, ) em torno do eixo x, onde o vetor ~n tem comonente ~i não negativa. 5. alcule o fluxo de ~ F (x, y, z) =x~i+y ~j z ~ k, através da suerfície S, arte do cilindro x +y =x, limitado elo lano z = e elo cone z = x + y, com vetor normal aontando ara fora de S.

19 Lista 5 álculo III -A- 5-9 Resostas. (a) ~r (, ) =(sen cos, sen sen, cos ), (, ) D : ale ale, ale ale (b) ~r (, z) = ( cos, sen, z), (, z) D : ale ale, ale z ale sen (c) ~r (x, y) =(x, y, x y), (x, y) D : x + y ale ou ~r (r, ) =(r cos, r sen, r cos r sen ), (r, ) D : ale r ale, ale ale (d) ~r (t, ) =(t cos, t sen, t), (t, ) D : t, ale ale (e) ~r (t, ) =( t, ( + t) cos, ( + t)sen ), (t, ) D : ale t ale, [, ] (f) ~r (, z) =(sen cos, sen sen, z) = sen, sen, z, (, z) D : ale ale, ale z ale sen ou ~r (t, z) = (cos t, + sent, z), (t, z) D : ale t ale, ale z ale +sent (g) ~r (t, ) =((a + r cos t) cos, (a + r cos t)sen, r sen t), (t, ) D :. (a) S : z = x y (araboloide circular) (b) (x, y, z) =(,, ) + (,, ), R (c) x + z = ale t ale, ale ale (a) 6 (b) (c) (d) 8 (e) 8 (f) 8 (g) (h) 5. ah R (a) (b) a (c) 6 (d) + (e) 6 (f) 8 (g) a6 5 (h) k MR 9. k a 5. MR.,, 9. (a) (b) 6 (c) (d) com ~n exterior (e) (f) 6 (g) (h) 8 (i) (j) a h (k) (l) com ~n aontando ara cima

20 Lista 6 álculo III -A- 5- Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática e Estatística GMA - Deartamento de Matemática Alicada LISTA 6-5- Teorema de Gauss Teorema de Stokes. Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado ara (a) ~ F (x, y, z) =(x, y, z) e o sólido W limitado elas suerfícies z = x + y e z =. (b) ~ F (x, y, z) =(z + ) ~ k e o sólido W limitado elas suerfícies z = x y e z =.. Seja ~ F (x, y, z) =6x ~i y ~j +5z ~ k. Seja S a suerfície da esfera com centro (,, ) e raio 5. Ache o fluxo de ~ F, de dentro ara fora de S.. alcule RR S ~ F ~n d S, onde ~ F (x, y, z) =(x + y) ~i +(y + z) ~j + z ~ k, S é a fronteira do cilindro W = (x, y, z) R ; x + y ale, ale z ale e ~n orientada ara fora de W.. alcule RR S ~ F ~n d S, onde ~ F (x, y, z) =x ~i + y ~j + z ~ k, S é a s u e r f í c i e e s f é r i c a x + y + z = e ~n a orientação normal exterior a S. 5. alcule o fluxo do camo ~ F (x, y, z) =(x + cos x, y + y sen x, z), através do tetraedro limitado elos lanos coordenados e elo lano x + y + z =, onde ~n é a normal unitária exterior a S. 6. alcule o fluxo do camo F ~ (x, y, z) = y ~i + x ~j +z ~ k, através da suerfície do sólido limitado elo cilindro x + y = e elos lanos z = e z + y =, com a normal S aontando ara fora do sólido. 7. alcule o fluxo do camo ~ F (x, y, z) = xy + e y ~i + yz +sen x ~j + 5+zx ~ k, através da suerfície aberta S : z = x y, z, com ~n tendo comonente z ositiva. 8. Seja ~ F (x, y, z) =z arctan y ~i + z ln x + ~j + z ~ k. Determine o fluxo de ~ F através da arte do araboloide x + y + z = que está acima do lano z =, sendo ~n a normal com comonente z não negativa. 9. alcule RR ~ S F ~n d S, onde F ~ (x, y, z) =x ~i +( y + e x cos z) ~j + z + x ~ k e S é definida or z =9 x y, ale z ale 5, z =5, ale x + y ale e z =8 x + y, x + y ale.. alcule o fluxo do camo ~ F (x, y, z) = x + y, y, z n (x, y, z) R ; x + y + z, x + y +(z ) ale, z, + através da suerfície S do sólido W defi- o x + y, com camo nido or W = de vetores normais a S aontando ara fora de W.. Seja T o tetraedro de vértices O =(,, ), A =(,, ), B =(, 6, ), =(,, ). Sejam S a suerfície lateral de T, constituída elas faces de T que não estão no lano xy e ~ F (x, y, z) = (y + z,x +z,y + x) um camo vetorial de R. alcule RR S (rot~ F ) ~n d S, com a normal exterior a S.. Seja a suerfície cônica S de vértice (,, h), (h >), de base situada no lano xy com raio e ~n com comonente ~ k não negativa. Seja F ~ (x, y, (x, y, (x, y, z) ~j + (z + ) ~ k, sendo f(x, y, z) de classe em R. alcule o fluxo de F ~ através de S.. Seja f : R! R de classe, tal que r f = x + y + z. alcule RR S rf ~n d S onde S é a esfera x + y + z =, com ~n exterior a S.. Seja S a calota esférica dada ela equação x +y +z =, onde ale z ale. Sobre S fixe a orientação ~n, tal que ~n (,, ) = ~ k. alcule RR S (rot~ F ) ~n d S, onde F ~ (x, y, z) = y + ze x, x cos(yz),xy.

21 Lista 6 álculo III -A onsidere o camo vetorial F ~ (x, y, z) =(x + e z )~i +(y ze x )~j +(z ) ~ k, seja S a calota esférica x + y + z = a, com z e raio a>. Sabendo que o fluxo de F ~ na direção da normal exterior ~n é igual a a, calcule o raio da calota. 6. alcule RR S (rot~ F ) ~n d S, sendo F ~ (x, y, z) = x y + ~i + x + y ~j +(yz ) ~ k e S a arte da esfera x + y + z z =, com z ale, orientada com ~n exterior. 7. Seja f : R! R de classe. Seja W um sólido e seja S a fronteira de W, com normal exterior ~n. Prove que ds = RRR W r é a derivada direcional de f na direção do vetor unitário ~n. 8. Seja f : R! R de classe, tal que r f = x + (x, y, ) =, ara todo (x, y, ) R. alcule ds, onde S é a lata cilíndrica com fundo e sem tama dada or x +y =, ale z ale, z =, x + y ale, com normal ~n aontando ara fora de S. 9. onsidere o camo vetorial F ~ =(x + f(y, z)) ~i +(x y + z)~j + z a ~ k, onde f : R! R é de classe.seja S uma lata cilíndrica com fundo e sem tama dada or x + y = a, ale z ale a, a> e x + y ale a, z =. Sabendo que o fluxo de F ~ através de S, de dentro ara fora é igual a a, calcule o valor de a.. Encontre o fluxo do camo F ~ = (e y + cos(yz))~i +( zy +sen(xz))~j + z + ~k através da suerfície S, orientada ositivamente, S = S [ S, onde S : z = x y, ale z ale e S : z =+x + y, ale z ale.. alcule RR S (rot~ F ) ~n d S, sendo F ~ (x, y, z) =x ~j + xy ~ k, através de S : x + y + z orientada de forma que o vetor normal no onto (,, ) seja o vetor ~ k. =, z ale,. Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado ara (a) ~ F (x, y, z) =(y, x, ), S o araboloide z = x + y, ale z ale e ~n aontando ara fora de S. (b) F ~ (x, y, z) =y ~i + z ~j + x ~ k, S ohemisfério z = a x y,a>, orientada com ~n normal unitária exterior a S.. Use o o teorema de Stokes ara mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em: (a) H (y +z) dx+(x+y) dy +(x+y) dz = com o lano y + z =., onde é a interseção da esfera x +y +z = (b) H (y + z) dx +(z +x) dy +(x + y) dz =, onde é a interseção do lano y = z com o cilindro x + y =y. (c) H (xy) dx + ( y)z + x + x dy + x + ez dz =, onde é a interseção do cilindro x + y = com o cone z = x +(y ). (d) H (8x y) dx + ydy+zdz=, onde é a fronteira do triângulo situado no lano x + z =, de vértices (,, ), (,, ) e (,, ).. alcule H ~ F d~r, sendo F ~ = x y ~i + x z + y ~ + sen y j + y ~ k e a interseção do araboloide z = x + y com o cilindro x + y =, orientada no sentido anti-horário se rojetada no lano xy. 5. alcule H ~ F d~r, sendo F ~ (x, y, z) =(yz + z,xz + e y,xy+ e z )e a curva interseção das suerfícies x + y = e z = y +, orientada no sentido anti-horário quando rojetada no lano xy. 6. alcule (e x + y ) dx +(e y z ) dy +(e z x ) dz, onde é o contorno da arte do lano x + y + z =, que está no rimeiro octante, no sentido anti-horário.

22 Lista 6 álculo III -A alcule R ~ F d~r, onde F ~ (x, y, z) =(z x +senx, z x + cos y, x y + e z ) e é a interseção do cilindro x + y = a com o lano x a + z b =,a>, b>, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. 8. alcule a circulação do camo F ~ (x, y, z) =y ~i+xz ~j +z ~ k ao redor da curva fronteira do triângulo recortado do lano x + y + z = elo rimeiro octante, no sentido horário quando vista da origem. I 9. alcule (e x / yz) dx +(e y / + xz +x) dy +(e z / + 5) dz, onde é dada or ~r (t) = (cos t, sen t, ), t [, ].. alcule R ~ F d~r, onde ~ F (x, y, z) =yz ~i +xz ~j + cos(xyz) ~ k e é a interseção da suerfície z = x + y com z = x y, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.. alcule o trabalho realizado elo camo de forças F ~ (x, y, z) = x + z ~i + y + x ~j + z + y ~ k quando uma artícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x + y + z = que está no rimeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima. R. alcule (z y) dx + ln +y dy + ln( + z )+y dz, sendo dada or ~r (t) = ( cos t, sent, cos t), ale t ale.. Seja o camo F ~, tal que rot F ~ =( x, (y ),f(z)), onde f : R! R é de classe com f() =. alcule R ~ F d~r, onde é a curva dada ela interseção das suerfícies z = x + y e x +(y ) =, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.. alcule R ~ F d~r, sendo F ~ um camo em R dado or F ~ =( y, x, f(x, y, z)), onde f : R! R é de classe, tal que rf ~i = em R e é a interseção da suerfície x + y = com o lano z y =, com uma orientação tal que quando rojetada no lano z = roduzumercurso no sentido horário. 5. Utilizando o teorema de Stokes, transforme RR S rot ~ F ~n d S em uma integral de linha e calcule: (a) F ~ (x, y, z) =y ~ k, S : ara cima. ~r (u, v) = u, v, u + v, com u + v ale, sendo ~n a normal aontando (b) ~ F (x, y, z) =y~i, S asuerfície x + y + z =, x + y ale e z, sendo ~n a normal aontando ara cima. (c) ~ F (x, y, z) =x~j + xy ~ k, S : x + y + z =, z ale, sendo ~n tal que ~n (,, ) = ~ k. (d) ~ F (x, y, z) =x y~i +y z~j +z ~ k, S : ~r (r, ) =(r cos )~i +(r sen )~j + r ~ k, com ale r ale, ale ale, sendo ~n a normal exterior. 6. alcule RR S rot ~ F ~n d S, onde ~ F (x, y, z) =(y, x, xyz), S é formada elas cinco faces do cubo [, ] [, ] [, ] que não estão no lano xy com ~n exterior a S. (a) Utilizando o teorema de Gauss (b) Utilizando o teorema de Stokes. 7. alcule R ~ F d~r, onde ~ F (x, y, z) = z + e x,xz+ e y, xy + ze z e é a curva obtida como interseção da suerfície z = y,z, com o lano x + z =, orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo x ositivo. 8. alcule R ~ F d~r, onde F ~ (x, y, z) = z,z + y cos y, yz + ze z e é a curva obtida como interseção da suerfície z = x, com o lano y + z =, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. R 9. alcule ~ F d~r, onde F ~ (x, y, z) = y + e sen x, z + y, x + e sen z e é a interseção da suerfície z = y, com o lano x + z =, orientada no sentido de crescimento de y.

23 Lista 6 álculo III -A- 5-. Determine R ~ F d~r, onde F ~ (x, y, z) = yz + x,xz+y,xy+ e é a curva obtida como interseção da suerfícies z =5 y, z e x + z = 5, orientada no sentido de crescimento de y.. alcule (ze xz + ye xy +6x) dx +(xe xy + ze yz ) dy +(xe xz + ye yz sen z) dz, onde é a c u r v a dada or ~r (t) =t ~i +(t )(t )~j + t ~ k, ale t ale.. alcule R ~ F d~r, onde F ~ (x, y, z) =(e y ze x,e z xe y,e x ye z )e é a curva arametrizada or ~r (t) = ln(+t) ln, sen ( t et ), e, ale t ale.. alcule a integral do camo vetorial F ~ (x, y, z) = x + y + z,z + x + e y /,x+ y + e z / ao longo da curva interseção da suerfície x de crescimento de x. + y 9 + z =,z, com o lano y =, orientada no sentido. Seja o camo vetorial ~ F = yz xe z ~i + xz + cos y ~j + 6xyz x e z ~ k (a) ~ F é conservativo? Por quê? (b) alcule R ~ F d~r, se é a curva descrita or ~r (t) =t~i + t ~j +(t )(t ) ~ k, ale t ale (c) alcule R ~ F d~r, onde é a fronteira do lano x + y + z =, que fica no rimeiro octante, orientada no sentido anti-horário. Resostas. (a) (b) (h + ) (a) (b) a 7. a(a + b) (a) (b) (c) (d) 6. (a) (b) 7. 8 e + e e. e. 8. (a) É conservativo (b) (c)