3.1 Integrais Iteradas

Transcrição

1 .1 Integrais Iteradas ZZ.1A Em cada caso abaixo, observe a região D e escreva a integral dula uma integral iterada (reetida) de modo a obter o cálculo mais simles. D f (x; y) da como.1b Calcule as seguintes integrais iteradas e em cada caso esboce a região de integração. Inverta a ordem de integração e comare o grau de di culdade no cálculo da integral nas duas ordens. (a) (d) Z 1 Z jxj Z Z x 1 1 x dydx xydydx (b) (e) Z Z x Z Z y y cos x dydx sen xdxdy (c) (f) Z Z 1 Z Z 1 1 1xy 8x dydx (x ln y) dxdy

2 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 45 (g) (j) (m) () (s) Z 1 Z x Z Z cos y 1 Z 1 Z x Z x e y=x dydx x sen ydxdy (h) (k) x Z 4 y xydydx (n) 4 y ydxdy (q) Z 1 Z x+ x +4x dydx (t) Z 1 Z x e x dydx Z 1 Z 1 x Z 1 Z x Z Z e x 1 Z 4 Z (y 4)= ydydx x sen ydydx dydx (i) (l) (o) (r) 4 y xydxdy (u) Z Z jx 1 Z = Z = Z Z 1 Z = y Z 1 Z x j sen ydxdy (x cos y y cos x) dydx xy y dydx Z 1 y xydxdy sen x dydx.1c Em cada caso esboce a região D e calcule a integral dula ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simles. ZZ D f (x; y) da. Escolha a (a) D : x 1; x y ; f = e y (b) D : y 8; y x ; f = xy (c) D : x ; 1 x + y ; f = x (d) D : 1 x ; 4 x y 4 x ; f = 1 ZZ.1D Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dula mudança de coordenadas, se necessário. D f (x; y) da. Utilize uma (a) D é a região triangular de vértices (; 9) ; (; 1) e ( ; 1) ; f = xy (b) D é a região retangular de vértices ( 1; 1) ; (; 1) (; 4) e ( 1; 4) ; f = x + y (c) D é a região delimitada or 8y = x ; y = x e 4x + y = 9; f = x (d) D é a região do 1 o quadrante delimitada or x + y = 1; f = 1 x y (e) D é a região triangular de vértices (; ) ; (1; 1) e ( 1; 4) ; f = x y (f) D é a região delimitada or y = x; x = e y = 1; f = ex (x=y) (g) D é a região delimitada or y = x =; e y = x; f = x x + y 1 (h) D é a região delimitada or y = x; y = ; x = 5 e xy = 16; f = 1 (i) D é a região delimitada or y = e x ; y = ln x; x + y = 1 e x + y = 1 + e; f = 1 (j) D é a região delimitada or y = x ; y = e x + y = ; f = xy.1e Use coordenadas olares ara calcular as seguintes integrais dulas:

3 46 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1 Z Z y y (a) (b) y y xdxdy 1 Z a Z a x (c) ex x y ZZ dydx (d) a ZZ (e) x + y ZZ da (f) x +y 1 Z Z x D D x + y 1 dydx x + y da; D : x ; y x (x + y) da; D : x + y y :.1F Use a mudança de variável u = x + y e v = x y e calcule a integral de f (x; y) = (x + y) sen (x y) sobre a região D : jxj + jyj :.1G A fronteira da região D é o aralelogramo de vértices (; 1) ; (1; ) (; 1) ; e (1; ). Use a mudança de variáveis do exercício recedente e calcule a integral dula sobre D da função f (x; y) = (x y) cos (x + y) :.1H Ainda com a mudança de variável do Exercício 5.6 calcule a integral dula da função x y f (x; y) = sen sobre a região D delimitada elo quadrilátero de vértices (1; 1) ; (; ) (4; ) ; x + y e (; ) :.1I Use a mudança de variáveis u = xy; y = v e calcule a integral dula RR D x + y da, sendo D a região do lano xy delimitada elas curvas xy = 1; xy = ; y = jxj e y = x:.1j Use a mudança de variáveis x = u v; y = u v e calcule a integral dula RR D xyda, sendo D a região do lano xy delimitada elas retas y = x; y = x ; y = x e y = x + 1:.1K Use a mudança de variáveis u = 1 y; v = x y e calcule a integral dula da função f (x; y) = x (; ) ; (4; ) e (4; ) : y + y =4, sobre a região D do lano xy delimitada elo triângulo de vértices 1 cos :.1L Calcule a integral dula de f (x; y) = x sobre a região delimitada ela cardióide r =.1M Use coordenadas olares e calcule a integral dula RR D x + y da, sendo D a região do lano xy delimitada elas curvas y = x x e y = x:

4 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 47. Áreas e Volumes.A Por integração dula calcule a área de um círculo de raio R e da elise de semi-eixos a e b:.b Em cada caso calcule, or integral dula, a área da região D do lano xy delimitada elas curvas indicadas: (a) D : x = 1; x = ; y = x e y = 1=x (b) D : x = 1; x = 4; y = x e y = x (c) D : y = x e y = = 1 + x (d) D : y = x; x y = 4; y = 1 e y = (e) D : y = ; x + y = a; e y = 4ax; a > (f) D : y = e x ; y = sen x; x = e x = :.C Por integração dula, calcule a área da região comreendida entre a cardióide r = a (1 + sen ) e o círculo r = a:.d Calcule a área da região delimitada elas arábolas x = y; x = y; y = x e y = x: (sugestão: use a mudança x = yu e y = xv).e Calcule a área da região delimitada elas retas y = x; e y = e elos círculos x +y = x e x + y = 4x:.F Identi que a região D do lano xy cuja área vem dada ela exressão: A (D) = e calcule o valor da área. Z = Z 1+cos = 1 rdrd.g Calcule a área da região delimitada elas arábolas y = 1x + 5 e y = 6x + 9:.H Use integral dula e calcule a área da região D indicada na gura:

5 48 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1.I Calcule a área da região no rimeiro quadrante delimitada elas retas y = x; y = e x = 8 e ela curva xy = 16:.J Por integral dula, calcule a área de um laço da curva descrita em coordenadas olares ela equação r = 9 cos : olares:.k Exresse a área da região D indicada como uma integral dula iterada em coordenadas.l Calcule o volume do sólido delimitado elos lanos x = ; y = ; z = e x + y + z = 1:.M A base de um sólido é a região do lano xy delimitada elo disco x + y a ; a > ; e a arte suerior é a suerfície do arabolóide az = x + y. Calcule o volume do sólido..n Calcule o volume do sólido limitado inferiormente elo lano xy, nas laterais elas suerfícies y = 4 x e y = x e cuja arte suerior jaz no lano z = x + 4:

6 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 49.O Ao calcular o volume de um sólido abaixo de um arabolóide e acima de uma certa região D do lano xy obteve-se a seguinte exressão: vol () = Z 1 Z y x + y dxdy + Z Z 1 y x + y dxdy: Identi que a região D, exresse vol () or uma integral dula iterada com a ordem invertida e, em seguida, calcule a integral..p Calcule o volume da região comum aos cilindros x + y = a e x + z = a ; a > :.Q Um sólido no rimeiro octante tem seu volume calculado ela exressão: vol () = Z 1 Z 1 Identi que o sólido e calcule o seu volume. Idem ara: vol () = x Z 1 Z 1 x (1 x y) dydx: (1 x) dydx:.r Calcule o volume do sólido limitado elo cilindro x +z = 1 e elos lanos y = ; z = e y = x:.s Calcule o volume do sólido limitado elo lano z = ; elo cilindro x + y = x e elo cone x + y = z :.T Calcule o volume do sólido interior à esfera de centro na origem e raio R = 5 e exterior ao cilindro x + y = 9:.U Calcule o volume do sólido interior ao cubo x 1; y 1; z 1 e exterior ao arabolóide x + y = z:.v Calucule o volume do sólido limitado elos lanos y = 1 e z =, elo arabolóide x + y = z e elo cilindro y = x :.W Ver que que o arabolóide x + y = z divide o cilindro x + y = 4; z 4; em dois sólidos de volumes iguais:.x Calcule o volume da orção do elisóide 4x + 4y + z = 16 cortada elo cilindro x + y = 1:

7 5 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1.Y Calcule o volume da região interior à esfera x + y + z = 16 e ao cilindro x + y = 4y:.Z Calcule o volume do sólido delimitado elo arabolóide x + y = z e elos lanos z = z = 16; x = 1 e x = : Área de um a Suerfície Seja S uma suerfície suave descrita or z = f (x; y) ; (x; y) D; e reresentemos or ds a área elementar, isto é, a orção da suerfície S que jaz acima do retângulo elementar da de área dxdy. Usaremos a integral dula ara calcular a área da suerfície S. Primeiro aroximamos o ds ela orção do lano tangente acima do da (rojeção do ds) e em seguida integramos sobre a região D: Veja a gura.4 abaixo. Reresentamos or o ângulo entre os vetores ~ k e ~n, sendo ~n a normal unitária exterior à suerfície S. Temos que ~n = f x ~i+f y ~j ~ k e, ortanto, cos = ( ~ k~n)=jj~njj = (1+f x +fy ) 1=. q Assim, ds = da cos = 1 + fx + fy dxdy e teremos: Z Z A(S) = D q 1 + f x + f y dxdy:. Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia 8.A Calcule a massa de um disco de raio a, se a densidade no onto (x; y) do disco é roorcional ao quadrado da distância a um onto da circunferência. 8.B Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isóceles com lados iguais de comrimento a. A densidade de massa or área em cada onto da lâmina é diretamente roorcional ao quadrado da distância do onto ao vértice oosto à hiotenusa. Determine o centro de massa da lâmina..c Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia I x ; I y da lâmina de densidade (x; y) e formato D :

8 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 51 (a) D : y = x; x = 9; y = ; = x + y (b) D : y = x; x = 8; y = ; = y (c) D : y = x ; y = 4; = ky (d) D : x + y = 1; = jxj.d Uma lâmina tem a forma da região D do lano xy delimitada ela arábola x = y e ela reta x = 4. Determine o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa or área em cada onto da lâmina é roorcional à distância do onto ao eixo y..e Uma lâmina homogênea, isto é, com densidade constante, tem a forma de um quadrado de lado a. Determine o momento de inércia com relação a um lado, a uma diagonal e ao centro de massa..4 Integrais Dulas Imrórias As integrais dulas dos Exercícios 8.4A, 8.4B e 8.4C diferem daquelas tratadas até o momento em dois asectos: (i) ou a região de integração D não é limitada; (ii) ou a função f (x; y) que se deseja integrar é descontínua ou torna-se ilimitada na região D. Nesses casos a integral dula recebe a denominação de integral imrória..4a Calcule as seguintes integrais imrórias: Z Z Z Z Z dxdy dxdy (a) (b) (c) x + y 1 x y Z ln x + y dxdy (d) x +y 1 Z 1 Z 1 ZZ (g) R e x dxdy xy y dxdy (e) (h) x +y 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z x e x y dxdy (f) x +y 1 Z x +y 1 D dxdy 1 + x + y ZZ dxdy (i) e x=y ; D : x y ; y 1 jx yj.4b Use o resultado do Exercício 5.45(g) e deduza que R 11 e x dx = :.4C Mostre que a função f (x; y) = 1= (x y) não é integrável em D : y < x 1, embora seja contínua neste conjunto. Este exemlo mostra que não basta ser contínua ara ser integrável.

9 5 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1.5 Integral Trila O cálculo de integrais trilas se reduz ao cálculo de uma integral dula seguida de uma integral simles e, deendendo da região de integração, a integral ode ser calculada de forma iterada como três integrais simles. A seguir mostra-se algumas situações ara o cálculo da integral f (x; y; z) dv: (a) = (x; y; z) R ; (x; y) D e ' (x; y) z (x; y) : Nesse caso D é a rojeção no lano xy da região de integração e o cálculo da integral trila se reduz a: ZZ f (x; y; z) dv = D " Z # (x;y) f (x; y; z) dz da: '(x;y) (b) = (x; y; z) R ; a x b; ' (x) y (x) e (x; y) z q (x; y) : Nesse caso a integral trila é calculada como uma integral iterada: Z ( b Z " (x) Z # ) q(x;y) f (x; y; z) dv = f (x; y; z) dz dy dx: a '(x) Naturalmente, uma mudança na descrição da região acarretará inversões na ordem de integração. (x;y).5a Exresse a integral trila RRR f (x; y; z) dv como uma integral iterada e, em seguida, calcule o seu valor no caso em que f (x; y; z) = xyz e a região é descrita or: (a) 1 x ; y 1; 1 z (b) y x y; y 4; z 4 (c) x 1; x y 1; z x + y (d) x z ; x z y x + z; 1 z :.5B Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dzdydx : Z 1 Z Z 5 Z 1 Z y Z 1 (a) f (x; y; z) dxdydz (b) f (x; y; z) dzdxdy x +y 1 4 y (c) Z 1 Z 1 z Z (z 1) y f (x; y; z) dxdydz (d) Z 1 Z 1 z Z 1 z y f (x; y; z) dxdydz.5c Descreva o sólido do R, cujo volume é: (a) (d) Z 1 Z 4 zz 1 z Z 1 Z x Z 1 dxdydz dzdydx (b) (e) Z 1 Z zz 4 z Z Z z Z z 1 z x dydxdz x (c) z x dydxdz (f) Z Z x Z x+y x Z 4 Z z Z z y 1 z z dzdydx y dxdydz.5d Em cada caso identi que o sólido e calcule seu volume or integração trila.

10 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 5 (a) é delimitado elo cilindro y = x e elos lanos y + z = 4 e z = ; (b) é delimitado elo cilindro z = 1 y e elos lanos x = z; x = e y = ; (c) é delimitado elos cilindros z = x e z = 4 x e elos lanos y + z = 6 e y = ; (d) é a interseção dos arabolóides z 1 x y e z x + y 1; (e) é delimitado elos cilindros x = y e y = x e elos lanos z = 5 + x + y e z = ; (f) é a interseção da bola x + y + z 6 com o arabolóide z x + y ; (g) é delimitado elo lano xy e elas suerfícies x + y = x e z = x + y :.5E Em cada caso calcule o volume do sólido descrito elas desigualdades. (a) x z 1 y (b) x + 4y 4 e x + y z x + y + 1 (c) x + y z 1 x (d) x + y z x (e) x + y z 6 x y (f) z x + y.6 Mudança de Coordenadas Consideremos uma transformação (mudança de coordenadas) T : R! R com jacobiano diferente de zero: 8 >< T : >: x = x (u; v; w) y = y (u; v; w) z = x (u; v; w) com J (T ) (x; y; z) 6= (u; v; w) Reresentemos or D a imagem da região D ela tranformação T, como sugere a gura abaixo. Temos a seguinte fórmula de mudança de coordenadas em integral trila: f (x; y; z) dxdydz = f [x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)] jj (T )j dudvdw

11 54 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1 Consideremos dois casos eseciais: (a) Coordenadas Cilíndricas Nesse caso a transformação T é de nida or: x = r cos ; y = r sen e z = z;, com jacobiano J = r: Assim, a fórmula de mudança de coordenadas ca: f (x; y; z) dxdydz = T () f (r cos ; r sen ; z) rdrddz (b) Coordenadas Esféricas Nesse caso a transformação T é de nida or: x = sen ' cos ; y = sen ' sen e z = cos '; ; ' ; com jacobiano jjj = sen ': Assim, a fórmula de mudança de coordenadas ca: f (x; y; z) dxdydz = T () f ( sen ' cos ; sen ' sen ; cos ') sen 'drddz.6a Calcule o volume do sólido delimitado or uma esfera de raio R. Calclule a integral trila de duas maneiras: rimeiro use coordenadas cilíndricas e, deois, coordenadas esféricas..6b Calcule o volume do elisóide x a + y b + z 1. (veja o Exercício 7.17) c.6c Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais: Z 1 Z 1 y Z 4 x y (a) zdzdxdy (c) xydv ; : x + y 1; z 1 (b) (d) Z Z x x Z x +y x x Z Z x Z 1 1 xdzdydx x + y dzdydx.6d Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integrais: (a) Z Z 4 x Z 8 x y 4 x x +y x + y + z dzdydx (b) Z Z 4 y Z 4 x y x + y + z dzdxdy: y.6e Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido nos seguintes casos:

12 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 55 (a) é delimitado elo arabolóide x + y = az; elo lano z = e elo cilindro x + y = ax; a > ; (b) é delimitado elos arabolóides x + y = z e x + y + 1 = z; (c) é delimitado acima ela esfera x + y + z = a e abaixo elo arabolóide x + y = az; a > ; (d) é a intersecção da bola x + y + (z 1) 1 com o cone x + y z ; z ; (e) é delimitado elo arabolóide x + y = z e elo lano z = 4; (f) é interior à esfera x + y + z = 4y; limitado sueriormente elo cone x + z = y ; (g) é interior à esfera x + y + z = 1 e exterior ao cone x + y = z ; (h) é a calota intersecçaõ da bola x + y + z R com o semi-esaço z a; < a < R; (i) é a intersecção da bola x + y + z R com o cilindro x + y a ; < a < R:.6F Faz-se um orifício circular em uma esfera, o eixo do orifício coincidindo com o eixo da esfera. O volume do sólido resultante vem dado or: V = Z Z Z 4 z 1 rdrdzd Por observação da integral determine o raio do orifício e o raio da esfera. Calcule o valor de V:.7 Massa, Centro de Massa e Momento de Inércia Consideremos um sólido cuja densidade volumétrica é reresentada ela função (x; y; z). Quando a densidade for a mesma em cada onto do sólido, este será denominado sólido homogêneo. Por de nição, a densidade é igual a massa or unidade de volume e, denotando a massa e o volume de ; resectivamente or m e V; temos a seguinte fórmula: = m. Como ocorreu com a integral dula, se a funçaõ f (x; y; z) for identi cada com a densidade do sólido, então a V integral trila RRR f (x; y; z) dv será interretada como a massa de. De fato essa interretação segue integrando sobre a relação dm = dv: Procedendo como no caso bidimensional, em que o objeto foi interretado como uma lâmina lana, ara um sólido as coordenadas do centro de massa são calculadas elas fórmulas: x = 1 m xdv; y = 1 m ydv e z = 1 m zdv

13 56 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1 e o momento de inércia em relação a um eixo L é calculado or: I L = (x; y; z) dv; sendo = (x; y; z) a distância do onto P (x; y; z) do sólido ao eixo L. No caso em que o eixo L é o eixo coordenado x, y ou z; deduz-se facilmente as seguintes fórmulas ara os momentos de inércia I x ; I y e I z : I x = y + z dv; I y = x + z dv e I z = x + y dv:.7a Calcule a massa de uma bola de raio R, se densidade de massa é diretamente roorcional à distância r ao centro da esfera. Qual seria a massa da bola, se a densidade fosse inversamente roorcional à r?.7b Determine a massa do sólido delimitado elo cone z = x +y ; z 4; se a densidade em um onto P do cone é roorcional à distância do onto P ao eixo z:.7c Calcule a massa do sólido cortado da bola x + y + z 4 elo cilindro x + y = y; se a densidade no onto P é roorcional à distâcia de P ao lano xy:.7d Para uma altitude z de dez mil metros, a desnsidade (em kg=m ) da atmosfera terrestre é aroximada or = 1: 1:5 1 4 z + :6 1 9 z. Estime a massa de uma coluna de ar de 1 quilômetros de altura com base circular de metros de raio..7e Determine o centro de massa do hemisfério x + y + z R ; z ; se a densidade volumétrica é = kz:.7f Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura H e raio R, se a densidade no onto (x; y; z) é (x; y; z) = k x + y :.7G Mostre que o centróide 1 do hemisfério z R x y é o onto C (; ; R=8) :.7H Um sólido tem a forma da região interna ao cilindro r = a, interior à esfera r +z = 4a e acima do lano xy. A densidade em um onto P do sólido é roorcional à sua distância ao lano xy. Calcule a massa e o momento de inércia I z do sólido. 1 centróide é a denominação dada ao centro de massa de um sólido homogêneo com densidade = 1:

14 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 57.7I Um sólido esférico de raio a tem densidade em cada onto roorcional à distância do onto a uma reta xa L que assa elo seu centro. Calcule a massa do sólido..7j Calcule o volume e o centróide do sólido delimitado acima ela esfera = a e abaixo elo cone ' = ; < < =:

15 58 INTEGRAIS MÚLTIPLAS COMP. 1 Resostas & Sugestões Exercícios.1.1A Recorde-se que a ordem de integração dydx é adequada à regiões do tio D : a x b; ' (x) y (x).1b (a) 1= (b) 1 sen (c) 6 (d) 1 (e) (f) 5 6 (g) e 1 (h) e 1 (i) 1 cos (j) (k) 1 (l) (m) xx (n) sen 1 cos 1 (o) () 8 (q) e 1 (r) 1 16 (s) 9 8 (t) (u) 1 (1 cos 1).1C (a) 1 4 e4 1 (b) 16 (c) 8 (d) D (a) (b) 75 (c) 9 (d) 6 (e) (f) 1 (g) ln (h) 8+16 ln 5 4 (i) 1 e + e (j) 7 4.1E (a) (b) 4 ln (c) [1 ex a ] (d) 9 ( + ln(1 + ) (e) 4 (f) 8.1F 4 =.1G 1 74=15.1L 49=.1M. 1 9 (16 1 ). Exercícios. + sen 6 sen 1.1H cos J 7.1K.A R e ab.b (a) 17 6 (b) 7 6 (c) (d) (e) 1a (f) e e.c a + a 4.D 1.E 4 +.F +=4.G (b) 9 R R.H (a) arctg (c) 6 (d) 56.I 8+16 ln.j 9=.K (a) R R 1+ cos rdrd (b) sen rdrd (c) R = arctg 4= 5 6.P 16a =.Q 1 6 e 4 R 5 4 cosec rdrd.l 1 6.M a.n 65 1.O 1.R 1.S 64 9.T 56.U.V W (64 4 ).X 18 9 ( 4).Z Exercícios..A ka 4 =.B C M ( a 5 ; a 5 ).C (a) M = 49 ; C M (6:5; :41) ; I x = 69; 4; I y = 5194; 1 (b) M = ; C M (8=; 1=7) ; I x = I y = 14 9 (c) M = 18k 5 ; C M (; 5=7) ; I x = 51k=7; I y = 51k=1 (d) M = 4 ; C M (; ) ; I x = 4 15 ; I y = =.D C M ( 7 ; ).E I L = a 4 =; I D = a 5 =6 e I O = a 4 =. Exercícios.4.4A (a) (b) (c) (d) 4 (e) 8 (f) 1 (g) (h) 8= (i) 1=. Exercícios.5.5A (a) 7 8 (b) (c) (d) 1 7.5D (a) (b) 4 15 (c) 4 15 (d) (e) (f) ( 6 11 ) (g) 9.5E (a) 8 15 (b) 64 9 (c) (d).

16 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS MPMATOS 59 Exercícios.6.6A 4 R.6B 4 7 abc.6c (a) 16 (b) 1 (c) (d) 1.6D (a) 56 5 ( 1 R4 ) (b) 16.6E (a) a (b) 4 (c) 4a ( 7 8 ) (d) (e) 4 (f) 8 (g) (h) (R + a ) R a (i) 4 [R (R a ) = ].6F r = 1; R = e V = 4. Exercícios.7.7A kr 4 e kr.7b 18k.7C 9k.7D M ' E C M (; ; 8R 15 ).7F k 5 HR5.7G C M (; ; R 5k 8 ).7H 6 a6.7i Considerando uma mudança de base, se necessário, não há erda de generalidade em admitir que tal reta L é o eixo z. caso, = k x + y e, ortanto: Massa = k.7j vol () = a (1 cos ) : Z Z Z a (sen ') dd'd = k a 4 : 4 Nesse