4.1 Curvas Regulares. 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva.

Transcrição

1 4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação ositiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t < 1 (d) ~r (t) = t~i + 1 t 2~ j; 0 t 1 (e) ~r (t) = t~i + ln t~j; 1 t e (f) ~r (t) = cos t~i + sen t~j + t ~ k; 0 t 2 4.1B uas arametrizações ara o círculo. Considere a circunferência c : x 2 + y 2 = 2x, ercorrida no sentido ositivo (anti-horário), como na gura ao lado. Parametrize a curva c de duas maneiras: rimeiro utilize o arâmetro t e, deois, o arâmetro. Calcule a integral da função xy ao longo da curva c, usando as duas arametrizações encontradas. [res. 3]. 4.1C Um caminho não regular. eja o caminho dado or: ~r (t) = t~i + t 2 sen (1=t) ~j; 0 < t 1; e ~r (0) = ~0. Note que a coordenada y do caminho é: 8 < t 2 sen (1=t) ; se 0 < t 1 y (t) = : 0, se t = 0 com derivada y 0 (t) = 2t sen (1=t) descontínua em t = 0, concluímos que o caminho não é regular: cos (1=t), ara 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. endo esta derivada 4.1 Calcule o comrimento da hélice do Exercício 1.1(f). res E Considere o caminho = 1 + 2, sendo 1 descrito or ~r 1 (t) = t~i + t 2 ~j; 0 t 1 e 2 or ~r 2 (t) = ~i + ~j + t ~ k; 0 t 1: Esboce o caminho c e veri que que o mesmo é simles e arcialmente regular etermine o vetor velocidade onde existir.

2 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO F Considere o caminho 1 : ~r 1 (t) = t ~i + t 2 ~j; 1 t 2; e seja 2 o caminho de nido or ~r 2 (t) = ~r 1 (3 caminhos? t) ; 1 t 2. Esboce os grá cos de c 1 e c 2. Qual a relação entre esses dois 4.2 ntegral de Linha 2.2A eja f (x; y) uma função contínua sobre um caminho regular c de comrimento L: e jf (x; y)j M, em todos os ontos (x; y) do caminho c, mostre que: f (x; y) ds ML: 4.2B Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado: (a) 2ydx 3xdy ; : x = 1 t; y = 5 t ; 0 t 1: [res. 15=2] (b) (c) (d) (1;1) ( 1;1) (4; 2) (3; 1) xydx y 2 dy ; ao longo da arábola y = x 2 :[ res. 0] y x dx x dy ; ao longo da reta y = 2 x: [res. ln (4=9) 2] y ydx + 2xdy ; : x 2 + y 2 1; (e) xyds; c : x = t; y = t ; 0 t 1: y x y; y 0: [res. =4] res. 2=3 (f) x 2 ds; : x = cos 2t; y = sen 2t ; 0 t 2: [res. 2] (g) ydx + 2xdy ; é o triângulo de vértices (0; 0) ; (1; 0) e (1; 1) : [res.1=2] c (h) (i) (j) (k) (0;1) (0; 1) (0;1) (1;0) x 2 y 2 ds; : x 2 + y 2 = 4: [res. 0] y 2 dx + x 2 dy ; ao longo do semicírculo x = 1 y 2 : [res. 4=3] ydx xdy x 2 + y 2 ; ao longo da curva x = cos 3 t; y = sen 3 t; 0 t =2: [res. =2] (ax + by) dx + (x + y) dy ; : x 2 + y 2 = 4: [res. 4 ( (l) xy (3ydx + 7xdy) ; : 9x 2 + 4y 2 = 36: [res. 0] b)]

3 62 CAMPO VETORA COMP. 4 (m) xydx + y 2 x 2 dy ; consiste dos arcos y = x 2 e y = x; 0 x 1: [res. 9=20] (n) (x + y + z) dx+(x 2y + 3z) dy +(2x + y z) dz; é o caminho que liga a origem ao onto A (2; 3; 4), através de três segmentos retilíneos: o rimeiro uma orção do eixo x, o segundo aralelo ao eixo y e o terceiro aralelo ao eixo z: [res. 19 ] 4.2C Calcule R ~ F d ~r; nos seguintes casos: (a) ~ F = x 2 + y 2 ~i + 3xy 2 ~j; é o círculo x 2 + y 2 = 9: [res. 243=4] (b) ~ F = 3x 2 8y 2 ~i + (4y 6xy) ~j; é a fronteira da região : x + y 2; x 0; y 0: [res. 40=3] (c) ~ F = xy~i y~j + ~ k; é o segmento de reta ligando a origem ao onto A (1; 1; 1) : [res. 5=6] (d) ~ F = y 2 ~i + x 2 ~j; é o arco da arábola x = t; y = t 2 ; z = 0; 1 t 2: [res. 137=10] (e) ~ F = z 2 ~i + x 2 ~ k; é o segmento de (1; 0; 1) a (2; 0; 1), seguido do segmento de (2; 0; 1) a (2; 0; 4) : [res. 13] 4.2 Considere as funções P (x; y) = y x x 2 e Q (x; y) = + y2 x 2, de nidas ara (x; y) 6= + y2 (0; 0) e seja a região descrita or 0 < x 2 + y 2 R: (a) Mostre que P dx + Qdy (b) Mostre que dxdy xdx + ydy 4.2E Calcule x 2 + y 2 ; onde consiste do arco da arábola y = x 2 1, 1 x 2; seguido do segmento de reta que une os ontos (2; 3) e ( 1; 0) : [res. 0] 4.2F e F ~ = P ~i + Q~j + R ~ k e é o ângulo entre o camo F ~ e d ~r, mostre que: ~F d ~r = P 2 + Q 2 + R 2 cos ds: c c 4.2G Considere os caminhos 1 : ~r (t) = t ~i + t 3 ~j; 1 t 1 e 2 : ~r () = (1 ) ~i + (1 ) 3 ~j; 0 2. e ~ F é um camo contínuo em uma região contendo esses caminhos, mostre que F ~ d~r = 1 e que forma ode-se generalizar esse fato? 2 ~ F d~r:

4 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO O Teorema de Green no Plano 4.3A No Exercício 2.2 identi que as integrais de linha que odem ser calculadas diretamente com o Teorema de Green. O cálculo das integrais tornou-se mais simles? Qual di culdade você enfrenta ao usar o Teorema de Green? 4.3B Com auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: (a) (sen x + 4xy) dx + 2x 2 cos y dy = 0; é um contorno simles fechado e regular [res. 0]; (b) x 2 + y 2 dx + y ln(x + x 2 + y 2 )dy ; é um contorno simles, regular e fechado, que não envolve a origem [res. 0]; (c) 2dx + x 2 y tg y dy ; c : (x 1) 2 + y 2 = 1: [res. 2] ; (d) P (x) dx + Q (y) dy ; é um círculo de raio r e P (x) e Q (y) são de funções classe C 1 na região delimitada ela curva c: [res. 0]; (e) e x sen ydx + e x cos ydy; é a elise 3x 2 + 8y 2 = 24: [res. 0] (f) x 2 dx + xydy; é a cardióide r = 1 + cos ; 0 2: [res. 0] 4.3C Por que os resultados (a) e (b) do Exercício 2.4 não contradizem o Teorema de Green? 4.3 eja o anel descrito or 1 x 2 + y 2 2 e sejam P (x; y) e Q (x; y) funções de classe C 1, isto é, com derivadas arciais de rimeira ordem contínuas, tais que P y = Q x na região : Quantos valores são ossíveis ara a integral de linha H P dx + Qdy, sendo uma curva simles fechada regular or artes contida em? [res. 3] 4.3E Considere uma curva c simles fechada e suave, orientada no sentido ositivo, que não assa or (0; 0), e seja ' (x; y) = ln x 2 + y 2 : e ~n reresenta a normal exterior à curva c, mostre que a integral de linha H r' ~nds assume aenas os valores 0 e 4, conforme a curva c envolva ou não a origem.

5 64 CAMPO VETORA COMP Considere o camo vetorial: ~F (x; y) = x3 + 2 x 1 ~ y i + (y 2) 3~ j e sejam 1 ; 2 ; 3 e 4 os caminhos exibidos na gura ao lado. abendo que H ~ F d~r = 10, calcule H ~ F d~r Outras conseqüências do Teorema de Green Nos exercícios 3.6 a 3.13, reresenta uma região do lano xy com fronteira simles, fechada e regular or artes. A área da região estamos reresentando or A () : Lembramos as fórmulas clássicas no caso bidimensional: Green iferencial: Green Vetorial: Gauss: P dx + Qdy = ( F ~ T ~ )ds = ( F ~ ~n)ds = (Q x P y ) da (r ~ F ) ~ kda r ~ F da onde r ~ F = P x + Q y é o divergente, r ~ F = (Q x P y ) ~ k é o rotacional do camo ~ F = P (x; y)~i + Q (x; y)~j e ~ é a normal exterior à fronteira : 4.3F Veri que o Teorema da ivergência no lano ara os seguintes dados: (a) ~ F (x; y) = 3y~i 2x~j ; é a região delimitada or x 2=3 + y 2=3 = 1 (b) ~ F (x; y) = x 2 ~i + y 2 ~j ; é a região delimitada or 4x y 2 = 100: 4.3G eja f (x; y) uma função de classe C 2, isto é, com derivadas arciais de segunda ordem contínuas, em uma região. e f = 0 em ; use a Fórmula de Green e deduza que: f y dx f x dy = 0: 4.3H Nas condições do exercício recedente e considerando v de classe C 1, mostre que: (f x dy f y dx) v = (v x f x + v y f y ) dxdy:

6 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO e x 0 e y 0 reresentam as coordenadas do centróide da região ; com densidade de massa 1; mostre que: 2x 0 A () = x 2 dy e y 0 A () = xydy : 4.3J Considerando ~ F = ru na Fórmula de Gauss, sendo u de classe C 2 ; deduza a relação: u ds: 4.3K Com auxílio da Regra do Produto ara derivação, obtenha a seguinte roriedade ara o divergente: r (vru) = vu + ru rv: Agora, considere na Fórmula de Gauss ~ F = vru e deduza a identidade: dentidade de Green: RR vu dxdy + RR ru rv dxdy = ds: 4.3L e u = 0 na região, usando v = u na dentidade de Green, mostre que: jruj 2 dxdy ds: 4.3M eja f (x; y) um camo de classe C 1 na região : Considerando na Fórmula de Gauss ~F = f (x; y)~i, dxdy = f 1 ds; onde ~ = 1 ~i + 2 ~j é a normal exterior à fornteira : 4.3N Um o tem o formato do círculo x 2 + y 2 = a 2. etermine sua massa e o momento de inércia em torno de um diâmetro, se a densidade no onto (x; y) do o é (x; y) = jxj + jyj : res. m = 8a 2, L = 4a 4 4.3O eja ~ = 1 ~i + 2 ~j o camo de vetores normais exteriores a uma curva simles fechada e regular. Use a Fórmula de Gauss com F ~ =~i e F ~ = ~j e deduza que: 1 (x; y) ds = 2 (x; y) ds = 0

7 66 CAMPO VETORA COMP Camos Conservativos 4.4A eja ' (x; y; z) uma função de classe C 1 em uma região contendo uma curva regular com origem no onto A e extremidade no onto B. Mostre que: r' d ~r = ' (B) ' (A) : 4.4B e ' e são duas funções otenciais de um mesmo camo vetorial F ~, em uma região ; mostre que existe uma constante C tal que ' (x; y; z) = (x; y; z) + C em qualquer onto (x; y; z) da região : 4.4C Considere o camo de forças F ~ (x; y; z) = y~i + z~j + yz ~ k: (a) Veri que que F ~ não é conservativo; (b) Qual o trabalho realizado elo camo F ~ ara mover uma artícula do onto A (1; 0; 1) ao onto B ( 1; 0; e ) ao longo da curva ~r (t) = cos t~i + sen t~j + e t ~ k? [res. 2e 2 5e 5 3 =10] 4.4 Um camo radial de forças no lano é descrito or ~ F (x; y) = f (r) ~r; onde ~r = x~i + y~j e r = k~rk. Admitindo f de classe C 1, veri que que um tal camo é conservativo e calcule a integral R f (r) ~r d~r sobre o semicírculo : x2 + y 2 = 1; y 0: [res. 0. Note que ao longo do semicírculo tem-se: ~r d~r = 0] 4.4E Encontre uma função otencial ara o camo F ~ de nido em R 2 n f0; 0g or F ~ (~r) = r ~r. h i res. ' (~r) = 1 +2 r+2, se 6= 2 e ' (~r) = ln r + C, se = 2 4.4F Mostre que as funções P (x; y) = y x 2 + y 2 e Q (x; y) = x x 2 + y 2 satisfazem @x, ara (x; y) 6= (0; 0) ; mas o camo F ~ (x; y) = P (x; y) ~i + Q (x; y) ~j não é conservativo em região alguma contendo a origem. (veja o Exercício 4.2) 4.4G Veri que se o camo (resectivamente a forma) é conservativo (resectivamente exata) e determine uma função otencial em caso a rmativo. (a) F ~ (x; y) = x~i + y~j: res. ' (x; y) = 1 2 x2 + y 2 + C (b) F ~ (x; y) = 3x 2 y~i + x 3 ~j : res. ' (x; y) = x 3 y + C (c) F ~ (x; y) = (2xe y + y) ~i + x 2 e y + x 2y ~j: res. ' (x; y) = x 2 e y + xy y 2 + C

8 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO 67 (d) F ~ (x; y; z) = x~i + y~j + z ~ k: res. ' (x; y) = 1 2 x2 + y 2 + z 2 + C (e) F ~ (x; y) = y 2 3x ~i + (2xy + cos y) ~j: res. ' (x; y) = xy x2 + sen y + C : (f) (sen y y sen x + x) dx + (cos x + x cos y + y) dy: res. ' (x; y) = x sen y + y cos x x2 + y 2 + C (g) [sen (yx) + xy cos (xy)] dx + x 2 cos (xy) dy: [res:' (x; y) = x sen xy + C] (h) (x + z) dx (y + z) dy + (x y) dz: [res. ' (x; y; z) = (x y) z x2 y 2 + C] (i) 2xy 3 dx + x 2 y 3 dy + 3x 2 yz 2 dz: [res. não conservativo] (j) 3y 4 z 2 dx + 4x 3 y 2 dy 3x 2 y 2 dz: [res. não conservativo] (k) 2x 2 + 8xy 2 dx + 3x 3 y 3xy dy 4y 2 z 2 + 2x 3 z dz: [res. não conservativo] (l) y 2 cos x + z 3 dx (4 2y sen x) dy + 3xz dz: res. ' (x; y; z) = y 2 sen x + xz 3 4y + 2z + C (m) 4xy 3x 2 z dx + 2x dy 2x 3 z + 3z 2 dz: res. ' (x; y; z) = x + 2x 2 y x 3 z 2 + 2y z 3 + C (n) (e x sen z + 2yz) dx + (2xz + 2y) dy + e x cos z + 2xy + 3z 2 dz: res. ' (x; y; z) = e x sen z + 2xyz + y 2 + z 3 + C 4.4H Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma indeende do caminho. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (1;2) (0; 1) (4;=4) ( 2;0) (1;0) (0;2) (1;1;1) (0;0;0) (0;;3) (2;0;1) (2y x) dx + 2x + y 2 dy: [res. 13=2] tg ydx + x sec 2 ydy: [res. 4] 2ydx + 2xdy (xy + 1) 2 : [res. 0] (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz: [res. 3] (e x sen y + yz) dx + (e x cos y + z sen y + xz) dy + (xy cos y) dz: [res. 4] e x sen ydx + e x cos ydy; é uma curva suave da origem ao onto (1; 2 ): [res. e] 4.4 e f (t) é uma função de classe C 1 no intervalo a t b; veri que em que região do lano xy o camo vetorial ~ F (x; y) = yf (xy) ~i+xf (xy) ~j é conservativo: [res. em qualquer região contida em : a xy b]

9 68 CAMPO VETORA COMP J uondo que e são constantes, u e v são camos escalares e F ~ e G ~ são camos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial: (a) r (u + v) = ru + rv (b) r (uv) = vru + urv (c) r(u=v) = 1=v 2 [vru urv] (d) div( F ~ + G) ~ = div F ~ + div G ~ (e) div(rot( F ~ )) = 0 (f) div( F ~ G) ~ = G ~ rot( F ~ ) F ~ rot( G) ~ (g) rot(u F ~ ) = u rot( F ~ ) + ru F ~ (h) rot( F ~ + G) ~ = rot( F ~ ) + rot( G) ~ (i) div(vru) = vu + ru rv (j) div(u F ~ ) = ru F ~ + u div( F ~ ): Usando (e) conclua que não existe um camo vetorial F ~ com rotacional x~i + y~j + z ~ k: 4.5 Trabalho, Massa, Centro de Massa, A Utilizando a fórmula A () = xdy, calcule a área das seguintes regiões: (a) é a região limitada elo eixo y, elas retas y = 1 e y = 3 e ela arábola y 2 = x: [res. 26=3] (b) é a região limitada ela elise x2 a 2 + y2 = 1: [res. ab] b2 (c) é o triangulo com vértices nos ontos (2; 0) ; (1; 3) e ( 1; 1) : [res. 4] 4.5B Encontre a massa de um o cujo formato é aquele da curva interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 com o lano x + y + z = 0, se a densidade no onto (x; y; z) do o é (x; y; z) = x 2 : [res. 2=3] 4.5C Qual o trabalho realizado elo camo de forças ~ F = (2x + 3y) ~i + xy~j, ara levar uma artícula da origem até o onto A (1; 1) ; ao longo do círculo x 2 + (y 1) 2 = 1? [res. (22 3) =6] 4.5 A força gravitacional F ~ atuando em uma artícula de massa m, róxima da suerfície da terra, é dada or F ~ = mg ~ k. Mostre que o trabalho W realizado ela força F ~ sobre a artícula, quando essa se move verticalmente de uma altura H a uma altura h; é W = mg (H h) : 4.5E Um o uniforme com densidade constante = 1 tem o formato da hélice do Exercício 1.1(f). etermine seu centro de massa e seu momento de inércia com relação ao eixo L : x = z; y = 1: [res. C M (0; 0; ) ; L = 2 2 ( =3)]

10 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO F Calcule a massa m e o momento de inércia z da hélice do Exercício 1.1(f), se a densidade no onto (x; y; z) da mola é (x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 : [res. m = =3 ; z = m] 4.5G Para o camo F ~ y (x; y) = x 2 + y ~ x 2 i + x 2 + y ~ 2 j; mostre que div( F ~ ) = 0 e rot( F ~ ) = ~0 em R 2 n f(0; 0)g : ê exemlo de um camo vetorial F ~ ara o qual rot( F ~ ) = ~0 e div( F ~ ) = 5: [res. ~F = 5x~i ] 4.5H e ~r = x~i + y~j + z ~ k, r = k~rk e f (t) é uma função real derivável; mostre que rf (r) = f 0 (r) ~r r e rot(f (r) ~r) = ~0. Encontre os inteiros k de modo que div(r k ~r) = 0: [res. k = 3] 4.5 Use o exercício recedente e calcule r (r) ; r(1=r) e r (ln r) [res. ~r r ; ~r r 3 ; ~r r 2 ] 4.5J Um o uniforme de massa m tem o formato de um semicírculo de raio a. Mostre que o momento de inércia em torno do diâmetro é ma 2 =2 e que o centróide jaz no eixo de simetria a uma distância 2a= do centro. 4.5K Calcule a massa e o momento de inércia z do o descrito ~r (t) = t~i+2t ~j+3t ~ k; 0 t 1, cuja densidade linear é (x; y; z) = x + y + z: [res. ] 4.6 Área de uma uerfície 4.6A Calcule a área da suerfície em cada caso: (a) é uma esfera de raio R: res. 4R 2 (b) é a orção do lano x + y + z = a; a > 0; interna ao cilindro x 2 + y 2 = a 2 : res. a 2 3 (c) é a orção do arabolóide x 2 + y 2 + z = a 2 ; delimitada elo cilindro vazado 1 x 2 + y 2 9; x 0; y 0: res =24 ' 30:71 (d) é a orção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ; interna ao cilindro x 2 + y 2 = ay: [res. (2 4) a 2 ] (e) é a orção do cilindro x 2 + z 2 = a 2 ; delimitada or y 2 = a (x + a) : res. 8a 2 2 (f) é a orção do cone z 2 = x 2 + y 2 ; z 0; interna ao cilindro x 2 + y 2 = 2ax: res. a 2 2 (g) é a orção do arabolóide x 2 + z 2 = 2ay; a > 0; abaixo do lano y = a: [res. (3 3 1)2a 2 =3] (h) é a orção do cilindro y 2 + z 2 = 16; comreendida acima da região triangular 0 x 2; 0 y 2 x: res =3 16

11 70 CAMPO VETORA COMP. 4 (i) é a orção do lano 3x + 2y + z = 7 no rimeiro octante. [res =12 ] (j) é a orção do cilindro arabólico z 2 = 8x; comreendida acima da região 0 x 1; 0 y x: [res. 2 3 ( ) ] (k) é a orção do cilindro y 2 + z 2 = 4; interna ao cilindro arabólico x 2 = 2y + 4 e acima do lano z = 0: res (l) é o triângulo com vértices A (2; 0; 0) ; B (0; 3; 0) e C (0; 0; 2) : [res. 22] (m) é a orção do cone z = x 2 + y 2 interna ao cilindro x 2 + y 2 = 2x e externa a x 2 + y 2 = 1: [res. 2=3 + 6=2] 4.6B eja a suerfície de um aralelogramo do R 3 e sejam 1 ; 2 e 3 suas rojeções nos q lanos coordenados. Veri que que A () = A ( 1 ) 2 + A ( 2 ) 2 + A ( 3 ) 2 : 6.4 Uma edi cação é erguidano formato da gura ao lado, onde a fachada é descrita ela suerfície cilíndrica xy = 1. Usando as aroximações: ln 2 = 0:7 e R 2 0:5 1 + t 4 dt = 2:26, calcule a área total da edi cação. [res. 19:32] 4.6C eduza as fórmulas ara as áreas de um cone e de um cilindro (circular reto) de raio a h e altura h: res. a i a 2 + h 2 e 2ah : 4.7 Cálculo de ntegrais de uerfície 4.7A Calcule as seguintes integrais de suerfícies: (a) xd ; : x 2 + y 2 = R 2 ; 1 z 1: [res. 0] (b) z x 2 + y 2 d ; é a orção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9; comreendida entre os lanos z = 1 e z = 2: res. 2( ) (c) ~F ~d ; : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ; x 0 e F ~ = y~j + z ~ k: res. 4R 3 =3

12 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO 71 (d) ~F ~d ; : x 2 + y 2 = R 2 ; x 0; y 0; 0 z a e ~ F = sen z~i + xy~j cos z ~ k: [res. (1 cos a) R + ar 3 =3] (e) xyd ; : x 2 + y 2 = 2z; 0 x 1; 0 y 1: res. (9 3 (f) x 2 + y 2 + z 2 d ; : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 : res. 4R )=15 (g) z 2 d ; é a orção do cilindro x 2 +y 2 = 4, comreendida entre os lanos z = 0 e z = x+3: [res. 60] (h) xd ; é a orção do lano x + y + z = 1 no rimeiro octante. res. 3=6 (i) xd ; é a fronteira da região delimitada elo cilindro x 2 + y 2 = 1 e elos lanos z = 0 e z = x + 2: [res. ] (j) x 2 d ; é a orção do lano z = x, interna ao cilindro x 2 + y 2 = 1: res. 2=4 (k) x 2 d ; : x 2 + y 2 = z 2 ; 1 z 2: res. 15 2=4 (l) (x + y) d ; é a orção do lano 2x + 3y + z = 6 no rimeiro octante. [res. 5 14] xz (m) y d ; é a orção do cilindro x = y2, situada no rimeiro octante, entre os lanos z = 0; z = 5; y = 1 e y = 4: res B Considere o camo F ~ = x 2 ~i+y 2 ~j +z 2 ~ k e comare os valores das integrais: ~F ~n d e div( F ~ )dv, onde é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e é a bola do R 3 x 2 + y 2 + z 2 a 2 (res. 0): 4.8 Fórmulas de Gauss e tokes. Alicações 4.8A Com auxílio do Teorema de tokes calcule c ~F d~r, sendo c o bordo da suerfície : (a) F ~ = y 2 ~i + z 2 ~j + x 2 ~ k ; é a orção do lano x + y + z = 1, situada no rimeiro octante. [res. 1] (b) F ~ = 3y~i xz~j + yz 2 ~ k ; é a suerfície do arabolóide 2z = x 2 + y 2, situada abaixo do lano z = 2: [res. 20]

13 72 CAMPO VETORA COMP. 4 (c) F ~ = 2y~i + z~j + 3 ~ k ; é a arte do arabolóide z = 4 x 2 y 2, interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1: [res. 2] (d) F ~ = z~i + x~j + y ~ k ; é o hemisfério z = 1 x 2 y 2 : [res. ] (e) F ~ = x 2 ~i + y 2 ~j + z 2 ~ k ; é o cone z 2 = x 2 + y 2 ; 0 z 1: [res. 0] 4.8B Com auxílio do Teorema de tokes calcule P dx + Qdy + Rdz : (a) ydx + zdy + xdz ; : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ; x + y + z = 0: res. (b) (c) (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz ; : x 2 + y 2 = 2y; y = z: [res. 0] c 3R 2 y 2 z 2 dx + z 2 x 2 dy + x 2 y 2 dz ; é a curva interseção da fronteira do cubo 0 x a; 0 y a; 0 z a; com lano x + y + z = 3a=2: res. 9a 3 =2 (d) x 3 dz ; é o bordo da suerfície : z = y + 4; 1 x 2 + y 2 4: [res. 45=4] (e) ydx x 2 dy + 5dz ; é o bordo da suerfície : ~r (u; v) = u ~i + v ~j + 1 u 2 ~ k; u 0; v 0; u + v 1: [res. 5=6] 4.8C Calcule o uxo do camo F ~ através da suerfície e, quando ossível, use o Teorema da ivergência de Gauss ara comrovar o resultado: (a) F ~ = x~i + y~j + z ~ k; é a suerfície do sólido limitado elo hemisfério z = a 2 x 2 y 2 e elo lano z = 0: res. 2a 3 (b) F ~ = 2~i + 5~j + 3 ~ k; é a orção do cone z = x 2 + y 2 interna ao cilindro x 2 + y 2 = 1: [res. 3] (c) F ~ = x~i y~j; é a arte do rimeiro octante, limitada elos três lanos coordenados e ela esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = R 2 : [res. 0] (d) F ~ = x~i + y~j + z ~ k; é a fronteira do sólido no rimeiro octante limitado elos lanos x = 1; y = 2; e 3x + 2y + z = 12: [res. 51] 4.8 eja a suerfície descrita or: ~ X (u; v) = u ~i + v~j + 2 u 2 + v 2 ~ k; u 2 + v 2 1; e considere o camo ~ F = y~i + (x + y) ~ k: Calcule o uxo de rot( ~ F ) através de de duas maneiras: rimeiro or um cálculo direto e, deois, usando a Fórmula de tokes. [res. ]

14 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO E eja ~r = x~i + y~j + z ~ k o vetor osição do onto P (x; y; z) e seja r = k~rk. Veri que que o uxo do camo F ~ = ~r através de uma suerfície simles fechada regular que não contenha a r3 origem é igual a zero. Qual seria o uxo do camo F ~, se a suerfície contivesse a origem no seu interior? [res. 4] 4.8F Com a notação do exercício recedente e admitindo que reresenta uma região comacta do R 3 delimitada or uma suerfície simles fechada e regular (or exemlo uma esfera), use o Teorema da ivergência de Gauss e veri que a relação: r ~r ~n d = 4 r dv: 4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades: (a) (vu + ru rv) dv = d: (b) (vu uv) dv = (c) vol () = 1 3 k~rk cos (~r; ~n ) 4.8H e cos; cos e cos reresentam os co-senos diretores da normal exterior à suerfície, use o Teorema de Gauss e calcule as seguintes integrais de suerfícies: (a) (xy cos + yz cos + xz cos ) d ; é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 : [ res. 0] (b) x 2 y 2 z 2 (cos + cos + cos ) d ; é a fronteira do cubo 0 x a; 0 y a ; 0 z a : res. a 8 =3 4.8 Uma curva regular c no lano xz; de equação cartesiana z = f (x) ; a x b; gira em torno do eixo z descrevendo uma suerfície : eduza a Fórmula de Paus: A () = 2Lh, onde L é o comrimento da curva c e h é a distância do centróide de c ao eixo de rotação. 4.8J Em coordenadas cilíndricas uma suerfície é descrita ela equação z = G (r; ) ; (r; ) 2 : Mostre que: A () = r 1 + G 2 r + 1 r 2 G2 rdrd:

15 74 CAMPO VETORA COMP K Mostre que em coordenadas cilíndricas, a equação z = G (r) ; a r b; 0 2; reresenta uma suerfície de revolução cuja área é: A = 2 b a 1 + G 2 r rdr: 4.8L Calcule a área do cone obtido or rotação da reta y = 3x + 2; 0 x 3; z = 0; em torno do eixo x: res M Calcule o momento de inércia da suerfície homogênea em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade suer cial de massa é 1: (a) é a orção do cilindro x 2 + y 2 = 2x, que jaz entre as folhas do cone x 2 + y 2 = z 2 ; Eixo x: [res. 1024=45] (b) é a suerfície do tetraedro com vértices A (1; 0; 0) ; B (0; 1; 0) ; C (0; 0; 1) e (0; 0; 0); Eixo y: res. (2 + 3)=6 (c) é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ; Eixo z: res. 8R 4 =3 (d) é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ; Eixo é a reta x = y; z = 0: res. 8R 4 =3 4.8N Encontre o centróide de cada suerfície dada abaixo. Como no exercício recedente, admita que a densidade suer cial de massa é 1: (a) é o hemisfério z = R 2 x 2 y 2 : [res. C (0; 0; R=2)] (b) é a orção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que jaz no interior do cone z 2 = x 2 + y 2 ; z 0: [res. C(0; 0; )] 4 (c) é a orção do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4; y 0; externa ao cilindro x 2 + y 2 = 2: [res. C M (0; ; 0)] 4.8O Uma concha esférica homogênea de raio a é cortada ela folha de um cone circular reto cujo vértice está no centro da esfera. e o ângulo do vértice do cone é ; 0 < <, qual o centro de massa da orção da concha que jaz no interior do cone? [res. sobre o eixo do cone, distante a (1 cos ) do centro da esfera] 4 [1 cos (=2)] 4.8P Calcule o otencial eletrostático ' (x; y; z) no onto A (0; 0; z) devido a uma distribuição uniforme de carga elétrica, com densidade ; no disco x 2 + y 2 a 2 : Qual o camo elétrico ~ E no

16 CÁLCULO E VÁRA VARÁVE MARVALO P MATO 75 a onto A? [res. ' = z 2 jzj ; E ~ 1 = r' = 2z jzj 1 a 2 + z 2 ~ k] 4.8Q No exercício recedente qual seria o otencial eletrostático e o camo elétrico no onto A, se a densidade no onto (x; y) do disco fosse (x; y) = x 2 + y 2? Use os resultados: dr r r 2 + z = ln ; r + r 2 + z z 2 dr = r r 2 2 r 2 + z 2 + z2 2 ln + r 2 + z 2 ; e encontre as seguintes exressões ara o otencial e o camo elétrico: q 1 + (a=z) 2 ln a ' = z 2 z a ~E = 2z ln q1 z + + (a=z) 2 a z q a z (a=z) 2 q1 + (a=z) 2 4.8R Calcule o camo eletrostático na origem devido a uma distribuição uniforme de carga sobre o cilindro x 2 + y 2 = R 2 ; 0 z a: [res. E ~ R 2 + a 2 R = 2 ~ k] R 2 + a Qual o otencial eletrostático no onto (0; 0; z), devido a uma distribuição uniforme de carga sobre o hemisfério z = R 2 x 2 y 2? [res. 2R z ( R 2 + z 2 R + z)] 4.8T Considere uma distribuição uniforme de carga elétrica sobre uma esfera de raio a. Mostre que o camo elétrico num onto do eixo z interior a é zero. Qual o camo elétrico nos ontos do eixo z exteriores à esfera? [res. E ~ 4a 2 (0; 0; z) = ~ k. Note que o fenômeno ocorre como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera] 4.8U Mostre que RR x2 + y 2 (x~i+y~j)~ d = 4 z ; onde z reresenta o momento de inércia, com relação ao eixo z, do sólido com densidade de massa 1; delimitado or : 4.8V eja a orção do cilindro x 2 + y 2 = 2ax; a > 0; 0 z 1; que jaz entre os lanos x = 2a e x = b; 0 < b < 2a: Admita a densidade constante 0 e calcule: (a) a massa de ; e (b) o momento de inércia z de. [res. (a) 2a 0 arcsen( 1 a 2ab b 2 ); (b) 4a 2 0 (a + 2ab b 2 ):] 4.8W ada uma suerfície de equação cartesiana ' (x; y; z) = 0; (y; z) 2 ; ' de classe C 1, com ' x 6= 0; mostre que: (a) RR f (x; y; z) d = RR q ' 2 x + ' 2 y + ' 2 z (b) RR ~ F ~n d = RR ( ~ F r') 1 j' x j dydz: f (x; y; z) dydz; j' x j z 2 ~ k