ANÁLISE VETORIAL. Cálculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ CORRÊA. Campo Mourão, Paraná. Brasil. Universidade Tecnológica Federal do Paraná

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná ampus ampo Mourão Wellington José orrêa ANÁLISE VETORIAL álculo Diferencial e Integral III WELLINGTON JOSÉ ORRÊA ampo Mourão, Paraná Brasil.

2 A Análise Vetorial, cujo início data dos meados do século XIX, tornou-se nos tempos atuais uma parte essencial da base matemática exigida a engenheiros, físicos, matemáticos e outros cientistas. Ela é de grande utilidade para aqueles que estudam, ou vão estudar física, mecânica, teoria eletromagnética, aerodinâmica, ou outro qualquer dos numerosos assuntos em que se empregam vetores. Para tanto, é necessário que o aluno tenha afinidade com álculo Diferencial e Integral I e II, Geometria Analítica e Álgebra Linear. Esta manuscrito aborda o conteúdo de Análise Vetorial, tendo como ênfase, as aplicações, onde os resultados principais, gráficos, figuras e os exemplos serão desenvolvidos em sala de aula, para um melhor aproveitamento das aulas. Este trabalho é organizado como segue: no capítulo 1, encontra-se o conceito de Funções Vetoriais e urvas Parametrizadas; no capítulo 2, é apresentado a noção de ampos Vetoriais, no capítulo 3, destina-se as Integrais de Linha. No capítulo 4, estuda-se Independência do aminho. No capítulo 5, é discutido o Teorema de Green e, finalmente, no capítulo 6, são abordados os Teoremas de Gauss e Stokes no espaço tridimensional. Ademais, para contemplar o assunto abordado, no final, encontra-se a lista de exercícios para verificação dos resultados apresentados. Vale ainda ressaltar que é de inteira responsabilidade do autor, todo erro, bem como está aberto a sugestões e críticas a respeito do mesmo. Wellington José orrêa. 2

3 Sumário 1 Funções Vetoriais e urvas Parametrizadas 4 omprimento de Arco ampos Vetoriais 7 ampo Vetorial ampo Vetorial onservativo Integrais de Linha 10 Integral de Linha Independência do aminho 13 Teorema Fundamental para Integrais de Linha Teorema de Green 15 Teorema de Green Teorema da Divergência de Gauss no Plano Teorema de Stokes no Plano Teorema de Gauss e Stokes no Espaço 20 Teorema da Divergência de Gauss no Espaço Teorema de Stokes no Espaço Lista de Exercícios 23 Bibliografia 30 Índice Remissivo 31 3

4 apítulo 1 Funções Vetoriais e urvas Parametrizadas Iniciemos o nosso estudo com a seguinte definição: Definição 1.1. Uma função σ cujo domínio é um conjunto de números reais cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada uma função vetorial σ : I R R 3 (1) t σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) onde x(t), y(t) e z(t) são funções reais definidas em I. z z(t) P = (x(t), y(t), z(t)) σ(t) 0 y(t) y x(t) x 4

5 Wellington José orrêa 5 Quando σ(t) é contínua em I, o ponto final P do vetor σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) descreve uma curva, denominada curva em R 3. A equação (1) é dita uma parametrização da curva. Exemplo 1.1. Obtenha uma parametrização para as curvas 1 e 2, que possuem equações cartesianas y = x 2 e y = 2x 1, respectivamente. Exemplo 1.2. Seja a circunferência no plano xy de centro na origem e raio r, cuja equação cartesiana é x 2 + y 2 = r 2. Obtenha uma parametrização desta curva. Exemplo 1.3. onsidere a hélice circular: seja θ o ângulo de rotação em radianos de equações x = cos θ y = sen θ z = θ. Uma parametrização da hélice é σ(θ) = (cos θ, sen θ, θ). z x y Observação 1.1. Temos que a derivada de uma função vetorial é σ (t) = (x (t), y (t), z (t)), se x (t), y (t) e z (t) existirem.

6 6 Análise Vetorial omprimento de Arco onsideremos uma curva definida por σ(t), t [a, b]. Podemos pensar que a curva é a trajetória descrita por uma partícula se movendo com velocidade v(t) = σ (t). Qual o comprimento desta curva quando t varia de a até b? Temos a seguinte definição. Definição 1.2. Seja uma curva definida por uma função σ(t), t [a, b], de classe 1 (uma função contínua com derivada contínua). O comprimento da curva é L = b a σ (t) dt. Exemplo 1.4. alcule o comprimento de arco da curva, onde: (a) é a circunferência de raio r. (b) é a hélice parametrizada por σ(t) = (cos 3t, sen 3t, 4t), 0 t 4π.

7 apítulo 2 ampos Vetoriais Iniciemos o nosso estudo analisando duas situações: A figura (a) representa os vetores velocidade do ar e indicam a rapidez, a direção e sentido no litoral da Bahia, Espírito Santo e Rio de Janeiro no dia 14/01/2009 às 09:00 horas. Associando a cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor velocidade do vento. Esse é um exemplo de um campo de vetores velocidades. Um outro exemplo é o fluxo do ar passando por um aerofólio inclinado, representado na figura (b). (a) (b) Figura 2.1: Exemplos de ampos de vetores. Temos a seguinte definição: Definição 2.1. Seja D um conjunto em R n. Um campo vetorial sobre R 3 é uma aplicação F : D R 3 R 3 (x, y, z) F (x, y, z) 7

8 8 Análise Vetorial Perceba que F é uma função que associa a cada (x, y) em D a um vetor F (x, y). Os exemplos anteriores, exibiram F um vetor bidimensional. Veremos em breve, campos vetoriais em R 3, por exemplo, campo de força gravitacional, campo de velocidade de escoamento de um fluido, um campo elétrico, etc. Exemplo 2.1. Um campo vetorial em R 2 é definido por F (x, y) = ( y, x). Descreva F desenhando alguns de seus vetores F (x, y). Definição 2.2. Seja f uma função de três variáveis. Definimos a função gradiente de f, denotada por f por f(x, y, z) = (f x (x, y, z), f y (x, y, z), f z (x, y, z)). Note que f é um campo vetorial sobre R 3, portanto, denominamos-o como campo do vetor gradiente. Exemplo 2.2. Determine o campo de vetor gradiente de f(x, y) = x 2 y y 3. Definição 2.3. Um campo vetorial F é dito um campo vetorial conservativo se existe uma função f tal que F = f. Neste caso, dizemos que f é uma função potencial de F. Exemplo 2.3. onsidere o campo gravitacional ( ) F (x, y, z) = m M G x, m M G y, m M G z, (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 onde (x, y, z) é a posição do objeto de massa m e M, por exemplo, seja a massa da Terra e ainda, G é a constante gravitacional. m M G Se definirmos f(x, y, z) =, então F é conservativo, pois f = F. x2 + y 2 + z2 A palavra conservativo vem da física, na qual se refere a campos nos quais o princípio da conservação de energia é válido (é válido em campos conservativos). Um potencial elétrico é uma função escalar cujo campo gradiente é um campo elétrico. Um potencial gravitacional (veja o exemplo anterior) é uma função escalar cujo campo gradiente é um campo gravitacional e assim por diante.

9 Wellington José orrêa 9 Exemplo 2.4. Outros exemplos de campos vetoriais ( ) y (a) F (x, y) = (y, x) (b) F (x, y) =, x x2 +y 2 x2 +y 2 (c) ampo vetorial conservativo (d) ampo vetorial em pontos da esfera unitária (e) ampo de força gravitacional (f) ampo vetorial em pontos do cubo

10 apítulo 3 Integrais de Linha Este capítulo trata de integração para campos vetoriais. A matemática neste momento, é aquela usada por matemáticos e engenheiros para descrever o escoamento de fluidos, projetar cabos de transmissão subaquáticos, explicar o fluxo de calor nas estrelas e calcular o trabalho necessário para deslocar um satélite em órbita. Para motivar a definição de integral de linha de F ao longo de, suponhamos que F representa um campo de forças e calculemos o trabalho realizado pela força F ao deslocar a partícula ao longo de. Quando é um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F é uma força constante, sabemos que o trabalho realizado por F ao deslocar uma partícula ao longo de é dada por W = F AB = (força na direção do deslocamento) (deslocamento). Quando não é um segmento de reta, ao considerarmos σ(t) uma parametrização de, de classe 1, o trabalho W é dado por W = definição a seguir: b a ( F (σ(t)) σ (t) ) dt, donde com deleite temos a Definição 3.1. onsideremos uma curva em R 3 parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b], onde σ 1 e F (x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) um campo vetorial contínuo definido em. Definimos a Integral de Linha ao longo de por F dr = b a ( F (σ(t)) σ (t) ) dt. (1) 10

11 Wellington José orrêa 11 Se a curva é fechada, isto é, σ(a) = σ(b), a integral de linha é denotada por sentido anti-horário. F dr, no Observação 3.1. A integral de linha definida acima pode ser escrita como F dr = (F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz). Propriedades: 1. Se a e b são constantes, então a F + b G dr = a F dr + b G dr. 2. Se admite uma decomposição num número finito de curvas 1, 2,... n, isto é, = n, então F dr = F dr + F dr F dr. 1 2 n 3. Se é obtido de por reversão de orientação, então F dr = F dr. Exemplo 3.1. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = (x, y, z) sobre uma partícula que percorre a curva parametrizada dada por σ(t) = (sent, cos t, t), t [0, 2π]. Exemplo 3.2. Idem para F (x, y, z) = (x, y, z), só que agora tem equações paramétricas x = t 2, y = t 3 e z = t 4, t [0, 2π]. Exemplo 3.3. Avalie y 2 dx xy dy, onde é a fronteira da região R dada por { } (x, y)/1 x 2; 1 y 1 + x 2. Em vez de um campo de força, suponha que F seja o campo de velocidade de um fluido por uma região no espaço (um dique ou a câmara de uma turbina de um gerador hidroelétrico, por exemplo). b a Neste caso, denotamos o escoamento ao longo da curva de t = a até t = b é F dr. Se a curva for fechada, o escoamento por chamado circulação ao redor da curva. alculamos integrais de escoamento do mesmo modo que calculamos integrais de trabalho.

12 12 Análise Vetorial Exemplo 3.4. O campo de velocidade de um fluido é F (x, y, z) = (x, z, y). Encontre o escoamento ao longo da hélice σ(t) = (sent, cos t, t), 0 t π 2. Exemplo 3.5. Encontre a circulação do campo F (x, y) = (x y, x) ao longo da circunferência σ(t) = (cos t, sent), t [0, 2π].

13 apítulo 4 Independência do aminho onsidere F (x, y) = (y 2 + 2x + 4, 2xy + 4y 5) o campo de forças que move uma partícula da origem ao ponto (1, 1). alcule o trabalho realizado (a) Pela curva y = x de (0, 0) à (1, 1). (b) Da parábola y = x 2 de (0, 0) à (1, 1). Neste exemplo, vimos que a integral de linha é a mesma nos dois caminhos de (0, 0) à (1, 1). Na verdade, o valor da integral de linha é o mesmo sobre qualquer curva suave. (Dizemos que uma curva é suave se sua equação vetorial σ(t) = de classe 1 e σ 0, t (a, b). Se um intervalo I puder ser dividido em um número finito e subintervalos nos quais é suave, então será dita curva seccionalmente suave em I.) Neste caso, dizemos que a integral de linha é independente do caminho. Em geral, não é verdade que F dr = F dr, por isso, daremos a seguir, condições 1 2 para que uma integral de linha independa do caminho. Teorema 4.1. Seja qualquer curva seccionalmente suave, contida num disco aberto R R 2 do ponto inicial A e ponto final B. Se F for um campo vetorial conservativo contínuo em R e f for uma função potencial para F, então a integral de linha F dr será independente do caminho e F dr = f dr = f(b) f(a). (1) 13

14 14 Análise Vetorial Observação 4.1. Devido à semelhança do saudoso Teorema Fundamental do álculo, este teorema é conhecido como Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Observação 4.2. Se a curva for fechada, então A = B, logo, nas mesmas condições do teorema anterior, F dr = f(b) f(a) = 0. Antes de darmos um exemplo com respeito a este belo teorema, exibiremos um resultado que nos diz quando um campo vetorial é conservativo. Teorema 4.2. Seja F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) um campo vetorial sobre uma região B aberta e seccionalmente suave. Suponha que M e N tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que Então F é conservativo. M y = N, para toda região B. x Exemplo 4.1. Use o Teorema (4.1) para calcular a integral de linha do nosso exemplo inicial. Exemplo 4.2. Uma partícula movimenta-se sobre a circunferência ( σ(t) = (2 cos t, 2sen t), t [0, 2π]. Ache o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = 4 ln 3y + 1 x, 4 x ). y Agora, apresentaremos uma versão do teorema precedente em R 3. Teorema 4.3. Seja F (x, y, z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)) um campo vetorial sobre uma região B aberta e seccionalmente suave. Suponha que M e N tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que P y = N z, Então F é conservativo. M z = P x, M y = N, para toda região B. x Exemplo 4.3. Mostre que F (x, y, z) = (e x cos y + yz, xz e x sen y, xy + z) é conservativo e encontre uma função potencial para ele. Exemplo 4.4. alcule (2,3, 1) (1,1,1) y dx+x dy +4 dz sobre o segmento de reta de (1,1,1) até (2,3,-1).

15 apítulo 5 Teorema de Green No capítulo anterior, aprendemos a calcular integrais de linha para campos conservativos. Encontramos uma função potencial para o campo, calculamos essa função nas extremidades do caminho e calculamos a integral como a diferença apropriada daqueles valores. Neste capítulo, veremos como calcular integrais de linha de curvas planas e fechadas quando o campo vetorial não é conservativo. O meio de fazer isso é um teorema conhecido como Teorema de Green, que converte integrais de linha em integrais duplas. Definição 5.1. Uma curva é simples, se ela não se intercepta. Teorema 5.1. (Teorema de Green)Sejam M e N funções de duas variáveis de tal modo que tenham derivadas parciais primeiras contínuas em um disco aberto B R 2. Se for uma curva simples, fechada, seccionalmente suave contida inteiramente por B e se D for a região limitada, então Exemplo 5.1. Determine M(x, y) dx + N(x, y) dy = D = { (x, y)/1 x 2; 1 y 1 + x 2}. D ( N x M ) da. (1) y y 2 dx xy dy, onde é a fronteira da região D dada por Exemplo 5.2. alcule (3y e senx ) dx + (7x + y 4 + 1) dy onde é o círculo x 2 + y 2 = 9. 15

16 16 Análise Vetorial Há duas formas vetoriais do Teorema de Green. Teorema da Divergência de Gauss no Plano Iniciemos esta seção com uma definição: Definição 5.2. Seja F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) um campo vetorial em R 2. Suponha que M e N tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas. O divergente de F é definido por DivF = M x + N y. Exemplo 5.3. Se F (x, y) = (xy, y 2 ), calcule Div F. Dedutivamente, considere duas situações: (a) se estiver escoando água para uma região através de um pequeno furo no ponto (x 0, y 0 ), as linhas de escoamento divergirão lá e, como a água estaria escoando para fora de um retângulo pequeno em torno de (x 0, y 0 ), teríamos Div F (x 0, y 0 ) > 0, dizendo assim que o fluido tem uma fonte em (x 0, y 0 ). (b) Se a água estivesse sendo drenada pelo furo, teríamos Div F (x 0, y 0 ) < 0. Neste caso, dizemos que o fluido tem um semidouro em (x 0, y 0 ). Se DivF (x 0, y 0 ) = 0, dizemos que o fluido é incompressível. Div F(x 0, y 0 ) > 0 Div F(x 0, y 0 ) < 0 (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) (g) O fluido sai através de um pequeno furo em (x 0, y 0 ). (h) O fluido chega através de um pequeno furo em (x 0, y 0 ).

17 Wellington José orrêa 17 Enfim, Teorema 5.2. (Teorema da Divergência de Gauss no Plano) Sejam as funções M e N, a curva e a região D idênticas àquelas que foram definidas no Teorema de Green. Se F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) e n for o vetor normal exterior unitário de, então F n ds = D Div F da. Do ponto de vista físico, seja F = (M, N) um campo de velocidades (em um ponto (x, y), F (x, y) é a velocidade de um fluido). Suponhamos que o fluido escoe através de uma região D tendo a curva como fronteira e seja orientada positivamente (sentido anti-horário). O fluxo do campo de velocidade F através de é a taxa segundo a qual o fluido atravessa na direção perpendicular a. Tal fluxo é dado por F n ds. Exemplo 5.4. O campo de velocidade de um fluido é F (x, y) = (5x y, x 2 3y). Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de D, limitada por uma curva fechada, suave, cuja área seja de 150 cm 2. Teorema de Stokes no Plano Temos a definição: Definição 5.3. Seja F um campo vetorial numa bola aberta B R 3 tal que F (x, y, z) = (M(x, y), N(x, y), R(x, y)). Então o rotacional de F é definido por ( R Rot F (x, y, z) = y N z, M z R x, N x M ). y Observação 5.1. Uma regra mnemônica para calcular o rotacional de F é estender a notação de produto vetorial de do operador com o campo vetorial F, isto é, F, escrevendo Rot F = F i j k = x y z M N R

18 18 Análise Vetorial Exemplo 5.5. alcule Rot F, onde 1. F (x, y, z) = (xz, xyz, y 2 ) 2. F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)), M e N definidas no Teorema de Green. Se houver água se movendo sobre uma região do plano xy em uma camada fina, então a componente k da circulação, ou rotacional, em um ponto (x 0, y 0 ) fornece uma maneira de medir a que velocidade e em qual sentido uma roda de pás pequena girará se for colocada na água em (x 0, y 0 ) com seu eixo perpendicular ao plano, paralelo a k. Eixo Vertical Eixo Vertical k k (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) Rot F(x 0, y 0 ) k > 0 (i) irculação no sentido anti-horário. Rot F(x 0, y 0 ) k < 0 (j) irculação no sentido horário. Teorema 5.3. (Teorema de Stokes no Plano) Sejam as funções M e N, a curva e a região D idênticas àquelas que foram definidas no Teorema de Green. Se F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) e T for o vetor tangente unitário a, então F T ds = D Rot F k da = D ( N x M ) da. y Do ponto de vista físico, se F for o campo de velocidade de um fluido, o produto escalar F T, será a componente tangencial de F e a integral de linha F T ds será chamada circulação de F em torno da curva fechada. De uma forma intuitiva, a circulação é a soma das componentes tangenciais de F em.

19 Wellington José orrêa 19 Exemplo 5.6. Seja F (x, y) = (2y, 5x) e R é a região limitada pela circunferência unitária com centro na origem. alcule F T ds. Exemplo 5.7. Use o Teorema de Stokes no plano para calcular F T ds. Pelo resultado, determine se a circulação do fluido é anti-horária, horária ou se F é irrotacional, ou seja, F e T são ortogonais para F (x, y) = (8y, 3x) e é a elipse 4x 2 + 9y 2 = 1.

20 apítulo 6 Teorema de Gauss e Stokes no Espaço Neste capítulo, aplicaremos o conceito de integral de linha àquele de uma integral definida em uma superfície. Faremos uma generalização do Teorema de Gauss e Stokes de campos de velocidade no plano para campos de velocidade no espaço. Para tanto, precisamos fazer um comentário sobre superfícies orientáveis, antes de definir uma integral de superfície para o fluxo. Definição 6.1. hamamos uma superfície S de superfície orientável se for possível definir um campo n de vetores unitários normais sobre S que variam continuamente com a posição. onvencionamos que n sobre uma superfície fechada aponta para fora. Um exemplo de uma superfície não-orientada é a é a Faixa de Möbius mostrada a seguir. Se uma formiga resolvesse caminhar sobre a faixa de Möbius partindo de um ponto P, ela terminaria sobre o outro lado da faixa (isto é, com sua cabeça apontando na direção oposta à de sua partida). E, mais ainda, se prosseguisse sua caminhada, conforme iniciara, ela retornaria ao mesmo ponto P sem nunca ter cruzado uma borda. Portanto, a faixa de Möbius realmente tem um lado só. No que segue, consideraremos somente as superfícies orientáveis (com dois lados). 20

21 Wellington José orrêa 21 Suponha que S seja uma superfície orientada com versor normal n submersa em um fluido com campo de velocidade F (x, y, z) (pense em S como uma superfície imaginária que não impeça a passagem do fluido, como uma uma rede de pesca em uma corrente de água). Representaremos por ds um pequeno retalho da área sobre S. A quantidade de fluido que atravessa ds na unidade de tempo pode ser aproximada pelo volume de um paralelepípedo de base ds e de altura F n, então dv = F n ds. omo dv representa a quantidade de fluido que atravessa S por unidade de tempo, a integral de superfície é o volume do fluido que atravessa S por unidade de tempo e representamos por Φ S. Então, Φ S = fluxo de F através de S = F n ds. S Observação 6.1. O conceito de fluxo não está limitado ao campo de velocidade de um fluido. Por exemplo, se F for um campo elétrico, então a integral anterior será um fluxo elétrico, ou se F for um campo magnético, então a integral acima será um fluxo magnético. Também, pode-se representar a integral como um fluxo de calor. Teorema 6.1. (Teorema da Divergência de Gauss no Espaço) Sejam M, N e R funções de três variáveis x, y e z tais que suas derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em uma bola aberta B R 3. Seja S uma superfície regular contida em B e E uma região do R 3 limitada por B (S é a fronteira da região sólida E). Se F (x, y, z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), R(x, y, z)) for um campo vetorial e n o vetor normal unitário exterior à S, então Φ S = F n ds = S E Div F dv. Exemplo 6.1. Seja F (x, y, z) = (0, 0, 5z) um campo de velocidade de um fluido e S uma esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16. Ache o fluxo de F através de S. Exemplo 6.2. Seja R uma região limitada pelos planos z = 0, z = 3 e pelo cilindro x 2 + y 2 = 1. Seja S a superfície de R e n o vetor normal unitário exterior à S. Sendo F (x, y, z) = (x, y, z), calcule F n ds S

22 22 Análise Vetorial Exemplo 6.3. Use o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfície F n ds, onde S é a fronteira da superfície que é o hemisfério superior da esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 S e F (x, y, z) = (x 2, 2xy, 3zx). Neste instante, temos o seguinte teorema: Teorema 6.2. (Teorema de Stokes no Espaço) Sejam M, N e R funções de três variáveis x, y e z tais que suas derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em uma bola aberta B R 3. Seja S uma superfície regular contida em B e uma curva fechada simples, seccionalmente suave que é o bordo (ou fronteira) de S. Se F (x, y, z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), R(x, y, z)) for um campo vetorial e T o vetor tangente unitário exterior à, então F T ds = S Rot F n da. Observação 6.2. Se z = f(x, y) é a equação que descreve S, então n = ( f x, f y, 1). Exemplo 6.4. onsidere o campo de velocidade dado por F (x, y, z) = ( 4y, 2z, 3x) e suponha que S seja a parte do parabolóide z = 10 x 2 y 2 acima do plano z = 1. alcule a circulação F T ds, onde é a curva de intersecção do parabolóide com o plano dado. Exemplo 6.5. Use o Teorema de Stokes para calcular F T ds onde F (x, y, z) = (xz, xy, y 2 ) e for a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro z = 4 x 2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3.

23 Wellington José orrêa 23 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná ampus ampo Mourão Wellington José orrêa Lista de álculo 3 1. Ache o comprimento de arco L da curva dada entre os valores indicados no parâmetro. (a) σ(t) = (3t 2, t 3 3t), t [0, 1]. Resp.: 4. (b) ψ(t) = (2t 2, 2t 3 2 ( ), t [1, 2]. Resp.: (c) ρ(t) = (3e 2t, 4e 2t ), t [0, ln 5]. Resp.: 120. (d) φ(t) = (e t cos t, e t sen t), t [0, π]. Resp.: 2(1 e π ). ). 2. Determine o campo do vetor gradiente de f. (a) f(x, y) = ln(x + 2y) (b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Respostas: (a) f = 1 x + 2y (1, 2); (b) f = 1 (x, y, z) x2 + y 2 + z2 3. Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada. (a) f(x, y) = 3x 2 + 2y 2 (b) f(x, y) = arctg(x 2 y 2 ). Resp.: (a)f (x, y) = (6x, 4y); (b) F (x, y) = ( ) 2xy x 4 y, 2x 2 y x 4 y 4 4. Determine se o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial para (a) F (x, y) = (y, x) (b) F (x, y) = (2xy 2 y 3, 2x 2 y 3xy 2 + 2) (c) F (x, y, z) = (2y 5z, 2x + 8z, 8y 5x) (d) F (x, y, z) = (e y sen z, x e y sen z, x e y cos z) Resp.: (a) Sim; f(x, y) = yx +. (b) Sim; f(x, y) = x 2 y 2 xy 3 + 2y. (c) Sim; f(x, y, z) = 2xy 5xz + 8yz +. (d) Sim; f(x, y, z) = x e y sen z +.

24 24 Ana lise Vetorial 5. Seja F o campo vetorial mostrado nas figuras (a) e (b). (a) om respeito a figura (a): i. Se 1 e o segmento de reta vertical de ( 3, 3) a ( 3, 3), determine se F dr 1 e positiva, negativa ou zero. ii. Se 2 e o cı rculo de raio 3e centro na origem percorrido no sentido anti-hora rio, determine se determine se F dr e positiva, negativa ou zero. 2 (b) A figura (b) mostra um campo vetorial F e duas curvas, 1 e 2. As integrais de linha de F sobre 1 e 2 sa o positivas, negativas ou nulas. explique? (k) (l) F dr > 0 e Resp.: (a) (i) Positivo; (ii) negativo. (b) Temos que 1 F dr < A partir do gra fico de F nas figuras abaixo, quais voce diria que o campo vetorial e conservativo? Explique. (a) Resp.: (a) Sim; (b) na o; (c) sim. (b) (c)

25 Wellington José orrêa As figuras a seguir mostram um campo vetorial F. Determine se os pontos P 1 e P 2 nas figuras dadas são fontes (Div F > 0) ou sorvedouros (Div F < 0)? (a) (b) Resp.: (a) Div F (P 1 ) > 0, Div F (P 2 ) < 0; (b) Div F (P 1 ) < 0 e Div F (P 2 ) > alcule a integral de linha curva dada por σ(t) = (e t sen t, e t cos t), t [0, π]. F dr, de modo que F (x, y) = (3 + 2xy, x 2 3y 2 ) e é a (Sugestão: Verifique que F é conservativo e encontre f e use o Teorema Fundamental para integrais de linha. Resp.: e 3π + 1). ( ) 9. Seja F (x, y, z) = m M G x, m M G y, m M G z, o (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 campo gravitacional exercido por uma partícula M unidades de massa na origem sobre uma partícula com massa unitária no ponto (x, y, z). Ache o trabalho realizado pela força F sobre a partícula com massa unitária no movimento, ao longo da curva suave de (0, 3, 4) a (2, 2, 1). Resp.: 2 GM Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha. (a) F (x, y) = (3x + y, 4x 5y) e é a elipse x2 4 + y2 = 16. (b) F (x, y) = (e x + y 2, x 2 y + cos y) e é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 0) e (0, 2). (c) 4y dx + 3x dy e é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1). (d) (x 2 y 2 ) dx + 2xy dy onde é a curva fechada que consiste no arco de 4y = x 3 de (0, 0) à (2, 2) e no segmento de reta de (2, 2) à (0, 0).

26 26 Análise Vetorial Resp.: (a) 96π; (b) 4 64 ; (c) -1; (d) Use o Teorema da Divergência de Gauss (no plano) para calcular a taxa de escoamento do fluido F n ds, de modo que F (x, y) = (y 2 + 6x, 2y x 2 ) ; : x 2 + 4y 2 = 4. Resp.: 16π cm 2 /s. 12. Use o Teorema de Stokes (no plano) para calcular F T ds. Pelo resultado, determine se a circulação do fluido é anti-horária, horária ou se F e T são ortogonais. (a) F (x, y) = (4y, 6x) e é o triângulo de vértices (0, 0), (3, 0) e (3, 5). (b) F (x, y) = (sen 2 x, cos 2 y) e é a elipse 9x 2 + y 2 = 9. Resp.: (a) 15, anti-horária; (b) 0, ortogonais. 13. Faça o que se pede: (a) Se f for um campo escalar numa bola aberta B R 3 e as derivadas parciais segundas de f forem contínuas em B, então mostre que Rot( f) = 0. Este resultado nos diz que se F for um campo vetorial conservativo, então Rot(F ) = 0. (b) Usando o resultado acima, mostre que o campo vetorial F (x, y, z) = (e 2x, 3x 2 yz, 2y 2 z + x) não é conservativo. 14. Mostre que se F = (M, N, R) é um campo vetorial sobre R 3 e M, N, e R possuem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então Div(Rot F ) = Usando o Teorema de Green, se R for uma região por fronteira uma curva fechada, simples e seccionalmente suave e A unidades de área for a área de R, então A = 1 x dy y dx. 2 (Sugestão: onsidere com enlevo, M(x, y) = 1 2 y e N(x, y) = 1 2 x). Use o resultado acima para encontrar a área da região encerrada pela elipse x2 a + y2 2 b = 1. 2 Resp.: π a b. (Sugestão: Lembre-se que a elipse tem equações paramétricas x = a cos t e y = b sen t, t [0, 2π]).

27 Wellington José orrêa Use o Teorema da Divergência de Gauss para a integral de superfície S F n ds, onde (a) S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 9, Pelo plano xy, pelo plano z = 4 e F (x, y, z) = (x 2, y 2, z 2 ). (b) S é a fronteira da região encerrada entre os planos coordenados e o plano x + y + z = 1 e F (x, y, z) = (2x, 2xy, 3z). (c) S é a fronteira da região determinada pelas esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 4 e 1 F (x, y, z) = (x, y, z). x 2 + y 2 + z2 Resp.: (a) 144 π; (b) 11 ; (c) 4 π; Utilize o Teorema de Stokes para avaliar a integral de linha F T ds em cada item. (a) F (x, y, z) = (y 2, x 2, z 2 ) e S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 acima do plano xy. (b) F (x, y, z) = (y 2, x, z 2 ) e S é a parte do parabolóide x 2 + y 2 = z abaixo do plano z = 1. (c) F (x, y, z) = ( 3y, 3x, 2) e S é a parte do plano z = 1 dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9. Resp.: (a) 0; (b) π; (c) 54 π; 18. Seja F um campo de forças conservativo tal que F (x, y, z) = ϕ(x, y, z). Suponhamos que uma partícula de massa m constante se move nesse campo. Se A e B forem dois pontos quaisquer no espaço, prove que ϕ(a) m [v(a)]2 = ϕ(b) m [v(b)]2, em que ϕ(a) é chamada energia potencial em A e 1 2 m [v(a)]2 é a energia cinética em A. A relação acima estabelece que a energia total (soma da energia cinética com a energia potencial) em A é igual a energia total em B. Esse fato é um dos grandes princípios da Física, chamado Lei de conservação a energia. É por essa razão que a expressão conservativo é usada para um campo de forças que é um gradiente. (Sugestão: considere F = m a = m v (t) e use as relações que envolvem produto interno: d dt (v(t) v(t)) = 2 v (t) v(t) e v(t) v(t) = [v(t)] 2 ).

28 28 Análise Vetorial Os exercícios a seguir são aplicações do Teorema da Divergência de Gauss. 19. Uma importante lei da eletrostática é a Lei de Gauss, que diz que a carga total englobada por uma superfície S é Q = ε 0 E ds de modo que ε 0 é uma constante denominada S permissividade no vácuo que depende das unidades usadas. Use a Lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com vértices (± 1, ± 1, ± 1) se o campo elétrico for E(x, y, z) = (x, y, z). Resp.: 24 ε Outra aplicação de integral de superfícies ocorre no estudo de fluxo de calor que é definido como um campo vetorial F = K u de tal modo que K é uma constante chamada condutividade e u é a temperatura em um corpo na posição (x, y, z). Sendo assim, considere que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substância com condutividade K = 6, 5 é u(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2. Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica y 2 + z 2 = 6, 0 x 4. Resp.: 1248 π. 21. A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro na bola quando a é menor que o raio da bola metálica. (Sugestão: onsidere como no exercício anterior, F = K u. Resp.: 8 K π a 3 ). 22. Uma integral de superfície que aparece com frequência em Física é F n ds quando F = ρ v, tal que ρ(x, y, z) é a densidade e v(x, y, z) é um campo de velocidade fluindo através da superfície orientada S com vetor normal n. De posse disso, considere um fluido com densidade 1200 kg/m 3 flui com velocidade v(x, y, z) = (y, 1, z) m/s. Determine a taxa de vazão do fluido através do parabolóide z = (x2 + y 2 ), x 2 + y Resp.: π kg/s. S 23. Seja um fluido com densidade 1500 kg/m 3 e campo de velocidade v(x, y, z) = ( y, x, 2 z) m/s. Determine a taxa de vazão do fluido saindo da esfera x 2 +y 2 +z 2 = 25. Resp.: π kg/s. 24. Sejam u e v de classe 2 em B R 3, de modo que D e satisfazem as hipóteses do Teorema da Divergência de Gauss no Plano com vetor normal unitário ν. Mostre que: u (a) u da = D ν ds. Lembre-se que u = 2 u x + 2 u 2 y. 2 (b) (u v + u v) da = u v ν ds D

29 Wellington José orrêa 29 (c) D (u v v u) da = ( u v ν v u ) ds ν (d) onsiderando v = 0 na igualdade anterior, prove que (Sugestão: Use propriedades de divergente e produto interno). D u 2 da = u v ν ds. Bom Trabalho!!!

30 Bibliografia [1] LEITHOLD L. álculo com Geometria Analítica, Vol. 2, 2 ā edição, Editora Harbor, Rio de Janeiro, [2] SPIEGEL, MURRAY R. Análise Vetorial: com Introdução a Análise Tensorial. oleção Schaum. 1. ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, [3] ANTON, H. álculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, [4] STEWART, J. álculo, Vol.2, São Paulo: Pioneira Thomson Learning, [5] FINNEY, ROSS L. álculo de George B. Thomas Jr., Vol.2, São Paulo: Person Addison Wesley, [6] GUIDORIZZI, H. L. Um urso de álculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LT,

31 Índice Remissivo Análise Vetorial, 2 ampo do vetor gradiente, 8 gravitacional, 8 Vetorial, 7 vetorial conservativo, 8 irculação, 11, 18 urva em R 3, 5 seccionalmente suave, 13 Simples, 15 suave, 13 Divergente, 16 Escoamento, 11 Integral de Linha, 10 Irrotacional, 19 Parametrização, 5 Rotacional, 17 Semidouro, 16 Superfície orientável, 20 Teorema da Divergência de Gauss no espaço, 21 da Divergência de Gauss no plano, 17 de Green, 15 de Stokes no espaço, 22 de Stokes no plano, 18 fundamental para integrais de linha, 14 Faixa de Möbius, 20 Fonte, 16 Função vetorial, 4 de classe 1, 6 gradiente, 8 potencial, 8 Hélice circular, 5 Incompressível, 16 Independência de caminho, 13 31