Eletromagnetismo. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques. 5.1 Introdução 5.2 Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso

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1 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática Gil da Costa Marques 5.1 Introdução 5. Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso 5..1 Diferença de potencial entre dois pontos 5.. Potencial da Terra e o fio Terra 5. Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas 5.4 Energia de ionização: átomo de hidrogênio 5.5 Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos 5.6 O Potencial de Repouso e o Potencial de Ação 5.7 O Peixe Elétrico 5.8 Potencial e Campo produzido por uma distribuição contínua de cargas 5.9 As leis da Eletrostática Comentários sobre as leis da Eletrostática 5.9. A Lei de Gauss Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Introdução A situação na qual cargas elétricas ocupam posições bem definidas no espaço é objeto de estudo da eletrostática. Nessas circunstâncias, as cargas elétricas dão origem a apenas um dos conjuntos de campos analisados no último capítulo, isto é, os fenômenos eletrostáticos podem ser descritos fazendo uso de dois campos: o potencial elétrico (representado por V ) e o campo elétrico, representado por E, que pode ser derivado do potencial. Uma vez que o campo elétrico pode ser derivado do potencial, eles acabam não sendo campos independentes um do outro. Escrevemos: E x, yz, V x, yz, = 5.1 Exemplos Exemplo 1 Admitindo-se que a função escalar dada pela expressão V(x,y,z) = 4x²y + y + z³ descreve o campo potencial eletrostático em um ponto P(x,y,z) do espaço, determine as componentes do campo elétrico na origem do referencial. Resolução: Lembramos, inicialmente, que o operador = i + j + k x y z escalar, por exemplo, B(x,y,z). Assim: pode ser aplicado a uma função (,, ) (,, ) (,, ) B xyz B xyz B xyz B( xyz,, ) = i+ j+ k B( xyz,, ) = i+ j+ k x y z x y z A partir de 5.1 podemos escrever : (,, ) (,, ) (,, ) V xyz V xyz V xyz E( xyz,, ) = V( xyz,, ) = i+ j+ k x y z ( 4xy y z) ( 4xy y z) ( 4xy y z) E( xyz,, ) = i+ j+ k x y z E x y z xy i x j z k (,, ) = ( 8 ) ( 4 + 1) ( )

3 18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo As componentes do campo E são: E x = 8xy; E y = (4x² + 1) e E z = z². Assim, escreve-se o vetor campo elétrico: E ( x, y, z) = 8xyi ( 4x + 1) j z k. E,, = 1 j, ou seja, o campo tem intensidade 1 e sentido oposto ao eixo y. Na origem, A seguir, daremos ênfase à questão da determinação do potencial elétrico gerado por uma distribuição de cargas elétricas em repouso. De acordo com a expressão 5.1, a determinação do campo elétrico a partir do potencial é o problema de encontrar suas derivadas parciais. É bom lembrar que o campo elétrico se relaciona com a força elétrica experimentada por uma partícula localizada no ponto do espaço de coordenadas (x, y, z), enquanto o potencial elétrico tem a ver com a energia potencial calculada no mesmo ponto. A propósito dos campos elétrico e potencial, é bom lembrar como eles se relacionam com a energia de uma partícula sob a influência deles e a natureza vetorial ou escalar dessas grandezas: Campo elétrico Força Potencial elétrico Energia Grandezas vetoriais Grandezas escalares A eletrostática é a área do eletromagnetismo em que se estuda o comportamento e as consequências de uma distribuição estática de cargas (situação na qual as cargas elétricas estão em repouso e, consequentemente, em equilíbrio). Esse é o sentido do termo estática agregado à palavra eletro. Dado que cada carga numa distribuição produz um campo elétrico, ao qual está associado um potencial eletrostático, o problema da eletrostática se reduz ao problema de se determinar o campo eletrostático ou o potencial, uma vez conhecida a distribuição de cargas. Para resolver esse problema, fazemos uso do princípio da superposição. Princípio da superposição Os campos e potenciais de um conjunto de cargas são iguais à soma (ou integral) dos campos produzidos por pequenos pedaços (ou pelas cargas individuais). 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 19 Algumas vezes, o problema da eletrostática consiste em se determinar a distribuição de cargas, uma vez conhecido o potencial ou o campo elétrico numa certa região do espaço (uma superfície, por exemplo). Esses casos serão abordados através de exemplos. 5. Campos Gerados por uma Carga Elétrica em Repouso Para o bom entendimento do caso geral, consideremos uma partícula de carga Q, localizada num ponto Pʹ do espaço caracterizado pelo vetor de posição r de coordenadas (xʹ, yʹ, z'). Essa partícula gera um campo potencial elétrico de tal forma que, num ponto P cujo vetor posição é r (coordenadas (x, y, z)), ele pode ser escrito como: onde r r = d( P, P ) Q 1 Q V( r)= r r = 1 4πε 4πε d P, P é a distância entre os pontos P e P' (veja Figura 5.1), e ε é a permitividade do vácuo. Se a mesma partícula estiver embebida num meio material (como a água) caracterizado por uma permitividade ε, a expressão acima é dada por: 5. Q 1 Q V( r)= r r = 1 4πε 4πε d P, P De agora em diante, admitiremos que o meio em que a partícula se encontra seja o vácuo, lembrando no entanto que, se considerarmos um meio qualquer, basta substituir, nas fórmulas seguintes, o valor da permitividade do vácuo pela constante permitividade do meio. Sabemos da Geometria Euclidiana que a distância entre dois pontos do espaço pode depender das coordenadas desses pontos, de acordo com a expressão: 5. Figura 5.1: Uma carga elétrica Q no ponto P produz um potencial elétrico no ponto P. d( P, P )= ( x x ) + y y z z + ( ) 5.4

5 11 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Assim, podemos expressar o potencial elétrico produzido no ponto de coordenadas (x, y, z), devido à existência de uma carga puntiforme localizada no ponto de coordenadas (x', y', z') como função das coordenadas desses dois pontos, ou seja, combinando 5. e 5.4, a expressão 5. pode ser escrita assim: Q V( x, yz. )= 4πε Considerando k = 1/(4πε ) = Nm²/C², a equação 5.5 pode ser assim representada: 1 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 5.5 V( x, yz, )= kq ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 5.6 Exemplo Considere uma carga elétrica pontual Q = + μc no espaço. Determinar o potencial elétrico por ela gerado no ponto P(,8 m;,6 m;,7 m) quando a carga Q estiver em repouso e localizada nos seguintes pontos do espaço: a. Carga Q localizada no ponto de coordenadas P ( ; ;, m). b. Carga Q localizada na origem do referencial. Resolução: a. Potencial no ponto P como resultado de estar a partícula localizada no ponto P'. Substituindo-se na equação 5.6 as coordenadas do ponto P'(; ;, m), o potencial gerado por Q em pontos de coordenadas (x, y, z) assim se escreve: (,, ) V xyz kq = = kq ( x ) + ( y ) + ( z,) x + y + ( z,) Para o ponto P(,8 m;,6 m;,7 m), o potencial é: V P 9 Nm ( 1 C) C 18 1 = = 16.1 N/C = 16,1 kv (,8 m) + (,6 m) + (,7,) m 1, 5 b. Potencial no ponto P como resultado de a partícula estar localizada na origem. Nessa nova situação, a carga Q encontra-se na origem, ou seja, P'(,,). Então, o potencial gerado 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

6 por Q em qualquer ponto de coordenadas (x, y, z) é: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo kq V( xyz,, ) =, onde x + y + z = d = distância da origem até o ponto P(x, y, z). x + y + ( z) Assim, o novo potencial no ponto P é: V P 9 Nm C C 18 1 = = = N C = 14,7 kv 1, 49 (,8 m) + (,6 m) + (,7 m) Superfície equipotencial A distância do ponto P(x, y, z) à origem é d = x + y + z ; para x = 8 cm, y = 6 cm e z = 7 cm, ela é d = 14.9 cm 1 cm. Existem infinitos pontos cuja distância à origem é d = 14.9 cm 1 cm. Esses pontos pertencem à superfície esférica, concêntrica com a carga Q e com raio R = d. Todos os pontos da superfície esférica de raio 1 cm, concêntrica com Q (que está na origem), têm coordenadas tais que x + y + z = d = R; em todos esses pontos, o potencial elétrico gerado pela carga Q é V = kq/d. Portanto, essa superfície é uma equipotencial. Figura 5.: Os pontos da superfície esférica de raio R = d = x + y + z têm o mesmo potencial elétrico. Essa superfície é equipotencial. 111 Admitiremos que a expressão 5., ou sua forma alternativa 5.5, seja uma lei fundamental e única da eletrostática, isto é, ela não pode ser derivada de outras. A seguir, veremos que ela leva à lei de Coulomb, que é tida muitas vezes como a lei fundamental da eletrostática. As superfícies equipotenciais associadas ao potencial 5.5 são superfícies esféricas concêntricas adotando-se o ponto P como centro delas (veja Figura 5.). Os pontos de cada circunferência têm o mesmo potencial elétrico, pois distam igualmente do centro de carga. Figura 5.: As circunferência tracejadas são intersecções das superfícies esféricas equipotenciais associadas ao potencial elétrico gerado pela carga Q, com a superfície z =.

7 11 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Como apontado no tópico anterior (Cargas Elétricas Produzem Campos), sabemos que a mesma partícula gera um campo elétrico, e que este pode ser determinado a partir de 5.1. Assim, utilizando a expressão 5.1, podemos escrever, como regra geral, que as componentes do campo elétrico serão dadas por: V x, yz, V x, yz, Ex( x, yz, )= ; Ey( x, yz, )= ; Ez x, yz, x y = V ( x, yz, ) Assim, substituindo a expressão do potencial produzido por uma carga puntiforme 5.5 em 5.7, encontramos: x 5.7 Q Ex ( x, yz, )= 4πε Q = 4πε Q Ey ( x, yz, )= 4πε Q Ez ( x, yz, )= 4πε ( x x ) + y y z z x + ( ) x x (( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ) ( x x ) y / + ( ) + y y z z Q y y = 4 x x y y z z = ( + ( ) + ( ) ) πε / ( x x ) + y y z z z + ( ) Q z z πε x x y y z z 4 ( + ( ) + ( ) ) / 1 / 1 / 1 / = = = 5.8 Exemplo Considere uma carga pontual de valor Q = 5 nc na origem de um referencial cartesiano, ou seja, P' tem coordenadas (,,). Determine o campo elétrico associado ao potencial elétrico nos pontos A(, 5, ); B(-5, ; ); C(; -5, ); D(5,, ) em unidades do MKSA ou SI. Resolução: Por meio da expressão 5.8 determinamos as componentes E x (x, y, z), E y (x, y, z) e E z (x, y, z) do campo elétrico E (x, y, z) associado ao potencial elétrico V(x, y, z) no ponto P(x, y, z). Assim, tomando os 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

8 valores x' = y' = z' = em 5.8, encontramos: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 11 kq x kq y kq z E( xyz,, ) = ; E ( xyz,, ) = ; E( xyz,, ) = x + y + z x + y + z x + y + z x y z Vamos, agora, determinar as componentes do campo elétrico nos pontos A(, 5, ); B(-5, ; ); C(; 5, ); D(5,, ) utilizando as expressões acima. Lembramos que k = Nm²/C², Q = 5 nc = C e os valores de x, y e z são especificados em metro. A Figura 5.4 permite visualizar a posição dos pontos A, B, C e D. Figura 5.4: Os pontos A, B, C e D pertencem ao plano xy, pois todos eles têm coordenada z =. E E E Ax Ay Az (,5,) 9 9 ( )( ) ( x) 9 9 ( )( ) ( y) 9 9 ( )( ) ( z) ( x) ( y) ( z) C 5 5,5, = = = = x + y + z x + y + z x + + ( 5 ) C ,5, = = = = = 18 N C x + y + z x + y + z = 5 1 C = 5 x + y + z x + y + z ( 5 ) ( 5) ( 5) = = ( x ) A tabela é apresentada abaixo: Componentes/ponto A(, 5, ) B( 5,, ) C(, 5, ) D(5,, ) E x -18 N/C 18 N/C E y 18 N/C -18 N/C E z

9 114 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Portanto, os vetores campo elétrico em cada ponto são, respectivamente: A E A =. i + 18 j + k B E B = 18i + j + k C E C =. i 18 j + k D E D = 18i + j + k A Figura 5.5 ilustra a posição desses vetores no plano xy ou plano z =. Figura 5.5: A circunferência representa pontos de mesmo potencial (equipotencial). Em todos os pontos da equipotencial, o vetor campo elétrico associado é perpendicular à superfície no respectivo ponto. Se a carga elétrica geradora dos campos for negativa, o campo elétrico tem sentido radial convergente à carga. Utilizando a notação vetorial, é possível escrever o campo elétrico acima de forma bem simples: Q 1 Q r r E( r)= = 4πε r r 4πε r r As linhas de força do campo elétrico, que surge devido à existência de uma partícula no ponto P', são retas radiais partindo desse ponto. Ademais, elas têm o sentido convergente à carga elétrica se a carga for negativa (Q < ). No entanto, o sentido das linhas de força será o oposto se a carga for positiva (Q > ) (veja Figura 5.6). Grosso modo, podemos dizer que as linhas de força saem do ponto P' (divergentes desse ponto) se Q >. Analogamente, dizemos que as linhas de força convergem para o ponto P' se a carga for negativa, Q <. 5.9 Figura 5.6: Linhas de força do campo elétrico em torno de carga numa visão bidimensional. Elas saem de cargas positivas (Q > ) e chegam até as cargas negativas (Q < ). Elas são ortogonais às linhas equipotenciais. 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Quando uma partícula de carga q se encontrar no ponto P, de coordenadas (x, y, z), ela terá uma energia potencial U(x, y, z) nesse ponto (resultante da interação com a partícula de carga Q, localizada em Pʹ ). Essa energia potencial, resultante da interação entre ambas, é dada por: qq 1 U( x, yz. )= qv ( xyz,. )= 4πε x x y y z z Analisemos agora a força que age sobre a partícula de carga q. De 4.19 segue-se que: qq r r F( r)= qe ( r )= πε r r e essa expressão é a lei de Coulomb. + ( ) + ( ) A Lei de Coulomb rege a interação entre duas partículas (ou cargas pontuais); a força decorrente da interação tem direção do segmento de reta que une as duas partículas. O sentido da força depende do sinal das cargas elétricas em interação, ou seja, ela pode ser de atração ou de repulsão. O módulo dessa força é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. a b Figura 5.7: Forças entre as partículas carregadas de mesmo sinal e de sinais opostos. (a) Atração: cargas de sinais contrários. (b) Repulsão: Cargas de sinais iguais Diferença de potencial entre dois pontos Analisemos agora a questão da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer. Admitamos que um dos pontos - o ponto A - tenha coordenadas (x A, y A, z A ) e que o ponto B tenha coordenadas (x B, y B, z B ) (veja Figura 5.8). Figura 5.8: A carga Q situada no ponto P' gera potenciais elétricos nos pontos A e B.

11 116 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo A diferença de potencial entre os pontos A e B, gerada pela presença da carga elétrica Q no ponto P' é: = = V x, yz, V x, y, z V x, y, z Figura 5.9: Considerando a carga na origem, as equações se simplificam, pois, P' coincidindo com a origem, temos: x' = y' = z' = ou r =. B B B A A A Q 1 1 4πε d B, P d A, P ( ) Se considerarmos o referencial de tal forma que a sua origem coincida com o ponto P' em que se encontra a carga Q (veja Figura 5.9), as expressões 5., 5.9 e 5.1 se simplificam. Escrevemos nesse caso: Q 1 V( r)= 4 πε r Q r E( r)= 4 πε r Q 1 1 V( x, yz, )= 4πε rb ra Pode-se mostrar, como será feito no próximo tópico ( Materiais Condutores ), que a lei de Coulomb permite prever que o potencial elétrico, criado por uma carga Q de uma esfera de raio R em pontos do seu entorno para distâncias que satisfaçam a condição r R, é dado por: Q 1 V( r)= desde que r R 4πε r 5.16 ou seja, o potencial elétrico de uma esfera com excesso de carga Q é o mesmo que se a carga estivesse toda concentrada no centro da esfera. Figura 5.1: Neste caso, o potencial elétrico em um ponto P distante r R (raio da esfera) é o mesmo que o de uma carga puntiforme localizada na origem e de valor igual a Q. 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 117 Exemplo 4 Uma esfera metálica de raio R = 5 cm tem excesso de carga Q e está presa a um suporte isolante. a. Determinar o potencial elétrico na superfície da esfera e nos pontos A (r 1 = cm); B (r = cm); C (r = 4 cm) e para um ponto infinitamente distante (r = ), quando Q = + 5 μc C e Q = 5 μc (μ = 1 6 C). b. Determinar a diferença de potencial entre os pontos A e C quando Q = + 5 μc e quando Q = 5 μc. c. Qual a diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto infinitamente distante dela? Resolução: a. Potencial elétrico na superfície da esfera A expressão V = kq/r permite calcular o potencial elétrico para pontos r R = 5 cm. A tabela resume os cálculos: Q Superfície r = R =,5 m A (r 1 =, m) B (r =, m) C (r =,4 m) Infinito r = +5 μc V = 9. kv V =.5 kv V = 1.5 kv V = 1.15 kv V = 5 μc V = 9. kv V =.5 kv V = 1.5 kv V = 1.15 kv V = Observações: I. 1 kv = 1³ volts. II. O sinal do potencial é o mesmo da carga elétrica. III. O módulo do potencial elétrico é inversamente proporcional a r tanto para Q > quanto para <. b. Diferenças de potencial Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, a diferença de potencial elétrico entre dois pontos se determina realizando a diferença entre os potenciais de cada ponto. Assim, a diferença de potencial entre A e C é ΔV AC = V C V A. Veja tabela a seguir: Para Q = + 5 μc Para Q = 5 μc ΔV AC = = kv ΔV AC = 1.15 ( 9.) = kv Figura 5.11: Uma esfera metálica carregada produz campos, nos pontos externos a ela, como se toda a carga elétrica nela contida estivesse no centro da própria esfera. c. Diferença de potencial quando um dos pontos está muito longe da esfera. A diferença de potencial entre a superfície da esfera e um ponto no infinito (significa num ponto longínquo, adotado como se fosse o infinito) é: ΔV = V V superfície

13 118 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo De 5.15, nota-se que o potencial se anula no infinito, ou seja, ele tende a zero quando a distância tende para o infinito. Obtemos assim o resultado da tabela abaixo. Para Q = + 5 μc Para Q = 5 μc ΔV (superfície ) = 9. = 9. kv ΔV (superfície ) = ( 9.) = + 9. kv 5.. Potencial da Terra e o fio Terra A Terra é a maior esfera condutora ao nosso alcance. Ela não é exatamente neutra. De fato, ela é carregada negativamente. A rigor, a Terra tem um potencial elétrico não nulo. A diferença de potencial elétrico a uma altura de um metro da sua superfície é de 1 Volts. Admitamos que ela tenha uma carga total de Q = 1 C e o seu potencial elétrico seria: V Terra = kq/r = / V = 17 kv Observe que, se uma esfera metálica de raio m recebesse a mesma carga, o seu potencial elétrico seria, em módulo, dado por: Figura 5.1: Cargas elétricas são distribuídas pela superfície da Terra produzindo um campo elétrico. V esfera = k Q/R = / = V = = 54 bilhões de volt O potencial elétrico é uma grandeza que pode ser considerada relativa, uma vez que, via de regra, estamos mais interessados nas diferenças de potencial. Por isso, na prática, o potencial elétrico da Terra é considerado nulo: tomamos V Terra =. O fato concreto é que a Terra é um bom condutor à nossa disposição, com imensa capacidade de receber (e também ceder) elétrons livres. Isso acaba tendo uma finalidade prática. Recomenda-se que os aparelhos elétricos sejam ligados à Terra por um fio terra. Qual a razão para isso? 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 119 Isso é feito para permitir que elétrons livres encontrem um caminho, entre o aparelho e a Terra, por onde possam escoar com mais facilidade. Um chuveiro bem aterrado (com ligação Terra) propicia um caminho para o fluxo de cargas elétricas entre a Terra e a carcaça do chuveiro. Isso evita um fluxo de elétrons livres através do corpo humano - que provoca choques elétricos - caso ocorra um eventual contato entre a mão e o chuveiro. Todos os aparelhos, por questão de segurança, devem ser aterrados. 5. Campos produzidos por uma distribuição discreta de cargas O princípio da superposição assegura que o potencial eletrostático, quer seja de uma distribuição discreta ou contínua de cargas, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas partes. Assim, o potencial produzido por N cargas, cujos valores são Q 1, Q, Q,... Q N, localizadas em r 1, r, r, rn, é dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas elétricas individuais: N Qi V( r)= 1 4 r r i= 1 πε i 5.17 o qual, quando expresso em termos das componentes, se escreve como: N Qi 1 V( x, yz, )= i= 4 πε x x y y z z 1 (( i) + ( i) + ( i ) ) O campo elétrico, derivado da expressão acima, é dado por N Qi r ri E( r)= i= 1 4 πε r r i 5.19 Como podemos constatar, as expressões para o potencial eletrostático que resulta de uma distribuição estática de cargas são mais simples do que a dos campos, pois nesse caso estamos falando de uma grandeza escalar. Temos, no caso do potencial, apenas um campo escalar e não um campo vetorial com três componentes.

15 1 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 5 Considere uma distribuição de cargas elétricas como a esboçada na Figura 5.1. As cargas pontuais Q 1, Q e Q têm intensidades iguais a q e estão fixas nos vértices de um prisma retangular. a. Determine o potencial elétrico resultante na origem do referencial cartesiano. b. Qual a carga que, fixada em P, anula o potencial no ponto. Figura 5.1: As posições das cargas neste exemplo são: Q 1 (x A,y A,z A ); Q (x B,y B,z B ) e Q (x C,y C,z C ). Cada carga gera um potencial num ponto do espaço P(x,y,z). O resultado, de acordo com o princípio da superposição, é a soma dos potenciais gerados pelas diversas cargas elétricas. Resolução: a. Potencial elétrico na origem do referencial cartesiano Pelo princípio da sobreposição, o potencial na origem do referencial [o ponto de coordenadas (x = y = z = )] é a soma algébrica dos potenciais que cada carga gera nesse ponto. As cargas estão localizadas nos pontos de coordenadas A(; ;,5 m); B(;,5 m; ) e C(,5 m; ; ). Vamos calcular cada um deles fazendo uso da expressão geral do potencial calculado na origem resultante de uma carga Q localizada num ponto arbitrário P de coordenadas (x, y, z ). Tal expressão é: Q 1 1 VP (,,) = = Qk 4 πε ( x ) + ( y ) + ( z ) ( x ) + ( y ) + ( z ) Para simplificar o cálculo, basta lembrar que o potencial depende apenas da distância d entre a carga e o ponto onde se deseja determinar o potencial. Lembrando que Q 1 = Q = Q = q, e substituindo-se, na expressão anterior, os valores das coordenadas de cada um dos pontos, concluímos, então, que o resultado é dado por: = = 1 1+ i + V Vi kq d kq d kq d Carga Distância da carga ao ponto V = kq/d Q 1 = q,5 m kq/,5 = 4kq Q = q,5 m kq/,5 = kq Q = q,5 m kq/,5 = kq V = 4kq + kq + kq = 8kq 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo b. Quarta carga que, fixada em P, anula o potencial na origem do referencial Trata-se de determinar o valor de uma quarta carga Q 4 que, colocada no ponto P(5 cm; 5 cm; 5 cm) (veja figura), torna nulo o potencial resultante na origem (x =, y =, z =). Assim, V 4 + V = V 4 = V = 8kq. Como V 4 = kq 4 /d 4 e cm,75 m d = x + y + z = + + = = =, tem-se kq 4 /(,75) = 8kq Q 4 = 6q. Resumindo: uma carga Q 4 = 6q, fixa no ponto P, torna nulo o potencial elétrico no ponto. Exemplo 6 Determine a energia potencial eletrostática (ou elétrica) do sistema de três cargas alinhadas e distribuídas de acordo com o esquema da Figura 5.14, dado que Q = C ; Q 1 = C e Q = C. Resolução: A energia potencial elétrica de um sistema de cargas é a soma da energia potencial de cada um dos pares de cargas do sistema. O sistema das cargas (Q, Q 1 e Q ) forma pares, a saber: I) Q e Q 1 ; II) Q e Q e III) Q 1 e Q. A energia potencial desse sistema será: sistema = cargas = = U U Ui U U U Figura 5.14: Três cargas alinhadas ao longo do eixo x. 11 Par U par Q e Q 1 U = k.q.q 1 /d = [(9 1 9 N.m²/C²)(4 1 C)(- 1 - C)]/(, m) 6 1³ J Q e Q U = k.q.q /d = [(9 1 9 N.m²/C²)(4 1 C)(- 1 C)]/(,4 m) 18 1³ J Q 1 e Q U = k.q 1.Q /d = [(9 1 9 N.m²/C²)( 1 C)(- 1 C)]/(,6 m) + 6 1³ J Portanto, U sistema = ( 6 1³ J) + ( 18 1³ J) + (+6 1³ J) = 48 1³ J. O significado físico de energias negativas de um sistema em interação é o fato de que ele é um sistema dito ligado. Como consequência, para separar as cargas para longe é necessário fornecer uma energia mínima para o sistema, cujo valor é igual à sua energia de ligação. Nesse caso, essa energia mínima para separá-las completamente é dada por E = 48 1³ J. Exemplo 7 A Figura 5.15 ilustra cargas elétricas pontuais fixas em três vértices de um retângulo imaginário de lados L e 4L. Determine o campo elétrico resultante no vértice A, admitindo-se para isso os valores: q = nc (n = nano = 1-9 ) e L =, m. Figura 5.15: Cargas elétricas localizadas nos vértices de um retângulo.

17 1 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Resolução: Cada carga elétrica Q 1, Q e Q gera no ponto A os respectivos campos elétricos E 1, E e E. De acordo com o Princípio da superposição: o campo elétrico no ponto A é E = E1+ E + E. Isto é, o campo resultante é a soma vetorial dos campos elétricos que cada carga puntiforme gera num determinado ponto do espaço. Vamos determinar as componentes E x e E y dos campos, adaptando as equações descritas em 5.8 do texto, para cargas situadas no plano xy (ou z = z = ); portanto, como E z =, o problema se reduz a determinar as componentes: ( x x ) I. Ex = ( kq) e ( x x ) + ( y y ) ( y y ) II. Ey = ( kq) ( x x ) + ( y y ) Figura 5.16: As cargas nos vértices de um retângulo ABCD com os eixos cartesianos com origem em D e os vetores campos elétricos gerados pelas cargas no ponto A. onde k = 1/(4πε ) = N.m²/². As coordenadas (x, y ) são coordenadas da carga elétrica que gera o campo elétrico; aquelas (x, y) são as do ponto A no qual se quer determinar o campo resultante. Baseados no referencial da Figura 5.16, podemos construir a tabela a seguir, a qual foi elaborada visando a facilitar os cálculos das componentes E x e E y (equações I e II acima) dos campos criados pelas cargas no ponto A (L; ) em função de L, q e k, os quais serão substituídos apenas nos cálculos finais. Carga Posição (x x ) (y y ) [(x - x )² + (y y )²] / kq E x E y Q 1 (q) B (; 4L) L 4L [9L² + 16L²] / = 15L³ + kq (9 kq)/15l² (1 kq)/15l² Q ( q) C (L; 4L) 4L [ + 16L²] / = 64L³ kq (kq)/8l² Q (q) D (; ) L [ 9L² + ] / = 7L³ + kq kq/9l² Explicando a linha 1 da tabela: A carga Q 1 = q; a posição de Q 1 tem coordenadas (; 4L); a diferença (x x ) = (abscissa do ponto A abscissa da carga Q 1 ) = (L ) = L; a diferença ( y y ) = (ordenada de A ordenada de Q 1 ) = ( 4L) = 4L; o denominador de I e II é [(x x )² + (y y )²] / = [(L)² + ( 4L)²] / = [5L²] / = [5L]³ = 15L³; assim, por I e II, tem-se: E x = [k(q)l]/(15l³) = 9kq/15L² E y =[k(q)( 4L)/14L³ = 1kq/15L² 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Substituindo-se os valores de k = Nm²/C², L =, m e q = nc = 1-9 C, temos: Carga geradora do campo no ponto A Símbolo do vetor campo elétrico E x (N/C) E y (N/C) Módulo e ângulo c/eixo x Q 1 E N/C; φ 7 Q E 56,5 56,5 N/C; φ = 9 Q E 5 5 N/C; φ = 1 Portanto: E1 = i j E = i + j E = i j ( 4) ( 4) ( 56, 5) ( 5) Pelo princípio da superposição, o campo elétrico E no ponto A é: E = E = E + E + E = i ,5 +. j E = i + j 1 n 1 ( 84 ). ( 1,5 ). [ N C] E = ,5 84 N C e faz, com o eixo x, um ângulo cuja tangente é E y /E x = 1,5/84 =,158, cujo ângulo correspondente é φ = 9. O módulo de E no ponto A é 5.4 Energia de ionização: átomo de hidrogênio Para arrancar elétrons de um átomo, devemos fornecer certa quantidade de energia a eles. Essa quantidade de energia leva em conta que os elétrons têm uma energia cinética (positiva) e uma energia potencial, que é sempre negativa. A soma das duas determina a energia de ligação dos elétrons. A energia necessária para liberar o elétron da última camada - o elétron mais externo, é uma energia mínima, a qual é determinada pela energia de ligação do elétron, admitindo-se a sua energia mais baixa possível. Tal energia tem o nome de energia de ionização.

19 14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Consideremos o caso simples do átomo de hidrogênio. Pela teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron orbita o núcleo, quando no seu estado de mais baixa energia, a uma distância d =,59Å. Nessas condições, a energia potencial do sistema núcleo-elétron é negativa e dada por: ( ) = = = 19 U = k. Qq d = k + e e d ke d 4, 6 1 J ou U 7, ev 5. Tendo em vista que a sua energia cinética é E c = +1,6 ev, concluímos que, para ionizar o átomo de hidrogênio (arrancar o elétron do campo de influência elétrica do próton ), são necessários apenas 1,6 ev. Essa é a energia de ionização, energia necessária para liberar o elétron quando ele se encontra no seu estado fundamental (aquele de mais baixa energia). Exemplo 8 O diagrama ao lado esquematiza um sistema de três cargas Q, q B e q C, distribuídas nas posições A, B e C, conforme a figura. Pode-se pensar essa configuração como se fosse o átomo de Hélio quando os elétrons estão equidistantes do núcleo e suas posições têm direções formando um ângulo de 9. Considerando-se os valores L = 1,5Å (1Å = 1-1 m); e = 1, C, determinar: a. a energia potencial elétrica do átomo de Hélio nessa situação. b. a energia mínima para dissociar o átomo. Resolução: a. A energia potencial elétrica do átomo O sistema, átomo de Hélio, é formado por três cargas - o núcleo e os dois elétrons -, o que resulta em pares distintos de cargas. Para determinar a energia potencial do sistema de cargas, consideramos a soma das energias dos pares: Dados: L = 1,5 Å=1,5 1-1 m); e = 1, C; cargas = = U Ui U U U ( 1, 41) BC = d = AB + AC = L + L = L L, tem-se: Figura 5.17: Uma situação clássica para o átomo de Hélio. Par de cargas Q q d U par cargas = kqq/d U par (joules) Q q C e e L k(e)( e)/l = [k/l],e², J Q q B e e L k(e)( e)/l = [k/l],e², J q B q C e e (1,41)L k( e)( e)/(1,41) L = [k/l],(,77)e² + 1, J 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

20 Portanto: U U Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo cargas = Ui = 1 + = 19 Hélio = 5,58 1 J, 7 1 J, 7 1 J 1,86 1 J 5,58 1 J Sabendo que 1 ev = 1, J, podemos expressar essa energia em eletrovolts. Assim, U Hélio 47,4 ev. 15 b. Energia de dissociação do átomo A energia para dissociar o sistema é aquela que, introduzida no sistema, anula a sua energia potencial. Com isso podemos assegurar que o núcleo e cada um dos elétrons estarão livres, isto é, liberados para se mover para onde quiserem. Assim, a energia mínima para dissociar o sistema é U = + 47,4 ev. A energia para arrancar apenas um elétron de um átomo, no seu estado de menor energia, é a sua energia de ionização. 5.5 Potencial e Campo de duas Cargas de sinais opostos A título de exemplo, consideremos o caso de duas cargas elétricas de sinais opostos. Seja Q o módulo dessa carga. Consideremos a situação descrita pela Figura 5.14, na qual a carga de sinal positivo se encontra na posição z = d (as demais coordenadas iguais a zero) e a carga negativa se encontra no eixo z e com coordenada z = d. Figura 5.18: Duas cargas +Q e Q separadas por uma distância d. Nessas circunstâncias, o potencial para um ponto arbitrário no espaço, cujas coordenadas são (x, y, z), será dado pela expressão: Q V( x, yz, )= πε ( z d) + ( y) + ( x) ( z+ d) + ( y) + ( x )

21 16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Ao olhar a expressão 5.1 podemos constatar que, para z =, o potencial se anula: V( x, y,)= 5. O campo elétrico será dado por: E( x, yz, )= Q ( z d) k + xi + yj ( z+ d) k + xi + yj πε (( z d) + ( y) + x ) ( z+ d) + ( y) + x 4 5. As superfícies equipotenciais e as linhas de força para o sistema composto por duas cargas de sinal oposto são apresentadas na Figura Figura 5.19: Linhas de força e superfícies equipotenciais em e dimensões. 5.6 O Potencial de Repouso e o Potencial de Ação Como apontado antes, a membrana de uma célula é tal que a concentração de íons positivos no meio extracelular é superior à de íons negativos. No interior da célula ocorre o oposto. As duas regiões são separadas pela membrana. Como resultado, a parte interna da célula fica com uma distribuição de cargas negativas e a parte externa fica carregada positivamente. A conclusão é a de que as células exibem uma diferença de potencial entre essas duas regiões delimitadas pela membrana celular. Essa diferença de potencial é denominada potencial de repouso da célula. Seu valor é de aproximadamente 65 mv. 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

22 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 17 Algumas células denominadas Neurônios são capazes de se excitar, ou seja, por um lapso de tempo muito curto, de cerca de milissegundos, essa distribuição pode ser alterada gerando um pulso, que se propaga sob a forma de uma diferença de potencial conhecido como potencial de ação. A propagação dos potenciais de ação por meio de vias especializadas, conhecidas como Áxions, provê um mecanismo de comunicação celular altamente complexo e essencial para os seres vivos. Figura 5.: Distribuição de íons de cargas opostas gera uma diferença de potencial entre os dois lados da membrana celular. 5.7 O Peixe Elétrico Alguns peixes são muito conhecidos e estudados por serem capazes de produzir campos elétricos, que se estendem por um espaço limitado ao seu redor. Utilizam-no como parte do sistema sensorial. Figura 5.1: Linhas de força nas proximidades de um peixe elétrico.

23 18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 5.8 Potencial e Campo produzido por uma distribuição contínua de cargas Para uma distribuição contínua de cargas, aplicamos o princípio da superposição, considerando as contribuições associadas a volumes infinitesimais da distribuição de cargas e, então, efetuando a soma. Como resultado, se a distribuição volumétrica for caracterizada pela densidade ρ(x, y, z), o potencial gerado por tal distribuição no ponto r será dado pela integral de volume: V( x, yz, )= 1 ρ( x, y, z ) dxdydz 1 (( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ) 4πε V ρ( r ) r r dv onde a integral de volume deve ser efetuada sobre o volume V que contém a distribuição de cargas. Para o caso de cargas distribuídas ao longo de uma superfície, caracterizada pela densidade superficial e distribuição superficial σ, o potencial gerado por uma tal distribuição é dado por: V( x, yz, )= 1 σ( x, y, z ) ds 1 (( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ) 4πε S A integral agora deve ser efetuada como uma soma sobre as contribuições de todos os pontos da superfície que contêm a distribuição. O caso de uma distribuição linear de cargas é uma simples extensão dos resultados anteriores. O potencial no ponto r agora se escreve como a integral: V( x, yz, )= 1 πε λ( x, y, z ) (( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ) 4 Γ dl Com respeito ao campo elétrico, basta aplicar a definição 5.1 às expressões Por exemplo, o campo elétrico de uma distribuição volumétrica pode ser escrito como a integral sobre o volume da distribuição: 1 r r E( x, yz, )= ρ( r ) dv 5.7 πε r r 4 V 1 1 4πε 1 4πε 1 4πε S Γ V σ( ) r r r ds λ r r r dl Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

24 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo enquanto o campo elétrico de uma distribuição superficial é dado por: 1 r r E( x, yz, )= σ( r ) ds πε r r 4 S Exemplo 9 Um fio de comprimento cm tem C de cargas em excesso, distribuídas uniformemente ao longo desse fio. Qual é o valor do potencial elétrico num ponto localizado a uma distância d acima de uma das suas extremidades? Resolução: A partir dos dados do enunciado, podemos concluir que a densidade linear de cargas é uniforme e dada pela relação entre a carga total e o comprimento do fio: λ= Q L= = = 9 1 C cm 1 C cm 1 C m Utilizando o referencial da Figura 5., concluímos que a distância r de um ponto sobre o fio é a hipotenusa do triângulo de catetos x e d = x + d, onde x é a coordenada, ao longo do fio, do elemento de carga infinitesimal. Portanto, de 5.6, concluímos que o potencial é dado pela soma: = ( + ) V = k dq r = k ( λdx) x + d kλ dx x d Os limites de integração são: x = até x = L, coordenadas essas associadas aos pontos A e B (as extremidades do fio), abrangendo todo o comprimento do fio. Então, substituindo λ = Q/L e, de acordo com o principio da superposição, concluímos que: L V = k Q L dx x + d Consultando uma tabela de integrais, encontramos: Donde inferimos que: L L dx x + d = ln x+ x + d = ln L+ L + d ln + + d L kq L + L + d = + = V k Q L dx x d.ln, L d. Figura 5.: Pedaço de fio com densidade linear de carga uniforme.

25 1 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo ou seja, o potencial elétrico gerado pela carga Q no fio de comprimento L, no ponto P, é: kq L + L + d V =.ln L d Exemplo 1 Determine o campo elétrico, num ponto fora da distribuição, devido à existência de cargas distribuídas de uma forma uniforme, com densidade σ sobre um plano infinito. Resolução: Para facilitar o cálculo, consideramos a distribuição como se estivesse no plano z = Ademais, podemos sempre tomar um referencial de tal forma que as coordenadas do ponto no qual queremos determinar o campo sejam (veja Figura 5.): a x =, y = Considerando-se o referencial da Figura 5., o campo elétrico pode ser escrito como: σ x i + y j + zk E ( x, y, z) = dx dy 4 πε S x + y + z Como as integrais das componentes x e y envolvem integrais de funções ímpares, essas componentes são nulas: E xyz,, = E xyz,, = x Para o cálculo da única componente não nula, efetuamos uma mudança de variáveis (de coordenadas cartesianas para polares) e obtemos: σ σ ρ ρ ϕ E ( x, y, z) = zk = zk 4πε 4 x π dx dy d d πε ( x + y + z ) ( ρ + z ) πσ ρdρ σ 1 σ z E ( x, y, z) = zk = zk = k 4πε ε ε z ( ρ + z ) ( ρ + z ) b Figura 5.: Referencial cartesiano adotado para determinar o campo elétrico produzido por uma placa plana carregada e infinita. 5 Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

26 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo O campo elétrico é, portanto, constante e perpendicular à superfície (veja Figura 5.). O vetor campo elétrico aponta para a placa se as cargas forem negativas ou, no caso de cargas positivas, o vetor tem o sentido oposto As leis da Eletrostática São duas as leis que regem o comportamento do campo elétrico nas condições especificadas em 5.1. Numa das versões dessas leis, estabelecemos como os campos variam quando cargas se acumulam em alguma região do espaço. Elas são, portanto, expressas por meio de relações entre taxas de variação do campo produzido e a densidade de carga que deram origem aos campos. Na formulação que privilegia o aspecto local dos campos, a primeira lei estabelece que a combinação de taxas de variação das componentes do campo elétrico, conhecida como divergente do campo, é proporcional à densidade de cargas que produz o campo: E E x y Ez ρ + + = x y z ε 5.9 Utilizando a definição do operador gradiente, escrevemos essa lei, resumidamente, como ρ E = ε 5. A segunda lei especifica que o campo elétrico produzido pela distribuição estática é tal que certa combinação de taxas de variação se anula: Ey Ex E E z y Ex Ez = = = x y y z z x 5.1 As condições acima podem ser escritas de forma resumida como: E = 5.

27 1 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Na segunda versão dessas leis, versão essa que enfatiza propriedades globais do campo elétrico, temos igualmente duas leis. Na primeira delas, constatamos que o fluxo do campo elétrico através de uma dada superfície fechada é igual ao quociente entre a carga elétrica contida na região delimitada pela superfície e a constante denominada permitividade do vácuo. Escrevemos: Φ E Q = ε 5. Levando em conta a definição de cada um dos membros da equação acima, temos: s 1 E ( r ) ds = ρ( r ) dv ε 5.4 À lei enunciada de acordo com as duas expressões acima, damos o nome de Lei de Gauss. Na versão que privilegia aspectos globais do campo, a segunda lei especifica que, para qualquer caminho interligando dois pontos A e B, cujos vetores de posição são r A e r B, respectivamente, a integral de caminho interligando esses pontos é tal que ela depende, ou melhor, ela é uma função apenas desses dois pontos sob a forma: B A E dl = V r V r A B 5.5 Tudo que se afirma, a partir da expressão acima, é que o campo elétrico é um campo que dá origem a uma força conservativa Comentários sobre as leis da Eletrostática Existem duas consequências importantes que emergem das leis da eletrostática. É bom lembrar que, na primeira lei, está expressa a ideia de que o efeito da presença de cargas numa certa região do espaço leva a produzir campos cuja taxa de variação das diversas componentes do campo são especificadas por 5.. Esse é conteúdo fundamental da eletrostática. Podemos assim, sob determinadas circunstâncias, determinar o campo gerado pela distribuiçao de carga a partir dessa lei. No entanto, em situações mais gerais, devemos levar em conta as duas leis especificadas em 5. e Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática

28 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Um primeira consequência da equação 5. é as linhas de força do campo elétrico exibirem, em alguns pontos do espaço, caracterisiticas de fontes e sorvedouros de linhas de campo. Esse nunca é o caso das linhas de força do campo magnético. E isso estabelece uma diferença fundamental entre a eletrostática e a magnetostática. Figura 5.4: Linhas de força começam ou terminam no local onde existe uma carga. A segunda consequência diz respeito à segunda lei representada pela expressão 5.1. A partir dela, é fácil concluir que sua solução é tal que o campo elétrico pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar, ou seja, E xyz (,, ) V( xyz,, ) = 5.6 onde V é uma função escalar, já identificada no início deste tópico como o potencial elétrico. Assim, o conteúdo da segunda lei é basicamente estabelecer que o campo eletrostático é um campo conservativo. um campo para o qual vale a expressão 5.5. A substituição da solução 5.6 em 5. nos leva a uma formulação da eletrostática, na qual o problema agora passa a ser a determinação do potencial a partir da solução da equação diferencial: (,, ) = V xyz ( xyz,, ) que é, em última análise, a equação fundamental da eletrostática, uma vez que ela resulta de uma combinação das duas equações 5. e 5.. ρ ε 5.7

29 14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 5.9. A Lei de Gauss Desde o trabalho pioneiro de Coulomb, sabe-se que uma distribuição de cargas dá origem a um campo elétrico. A relação entre o campo produzido num determinado ponto do espaço e o agente indutor do campo (as cargas elétricas) é simples apenas no caso de uma distribuição discreta de cargas. No caso de uma distribuição contínua de cargas, essa relação é bastante sutil e ela é a base da primeira lei importante do eletromagnetismo: a Lei de Johann Carl Friedrich Gauss. De acordo com essa lei, uma distribuição de cargas caracterizada pela densidade volumétrica de cargas ρ(r, t) gerará um campo elétrico de tal forma que sua taxa de variação pontual é dada por: (, ) E rt E rt ρ rt (, ) E ( rt, ) (, ) (, ) x y z E rt = + + = x y z ε A primeira lei estabelece uma relação entre a taxa de variação do campo elétrico e a distribuição de cargas que lhe dá origem. Essa é uma formulação que leva em conta aspectos locais do campo elétrico (o divergente do mesmo). Na segunda formulação, a lei de Coulomb é expressa como uma relação entre o fluxo do campo elétrico (ao longo de uma superfície fechada) e a carga elétrica total (no interior da superfície). As duas grandezas não são definidas ponto a ponto, mas são definidas como integrais sobre volumes e superfícies. Assim, pode-se formular a primeira lei afirmando que, dada uma distribuição de cargas, o campo elétrico produzido por essa distribuição é tal que o seu fluxo Φ E numa superfície que delimita uma região é proporcional à carga elétrica no interior da mesma: ΦE E ds= S ε ou seja, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S é igual, com exceção de uma constante de proporcionalidade, à carga elétrica contida na região delimitada por essa mesma superfície. O interessante dessa lei é ela estabelecer uma relação muito simples entre a carga total dentro do volume delimitado por uma superfície e o fluxo do campo elétrico através dela. Alterando-se a superfície, alteramos a quantidade de carga e o fluxo. Q Cargas Elétricas em Repouso: A Eletrostática