Movimento Giroscópico Guia de Ensaio Laboratorial

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1 Movimento Giroscópico Guia de Ensaio Laboratorial Mecânica Aplicada II Cursos MEAer, MEMec, LEAN Abril 2017

2 Conteúdo Lista de Símbolos iii 1 Introdução Objectivo do Ensaio Teoria 2 3 Equipamento Giroscópio Tacómetro Experiência Equilibrio Medições Tratamento dos Resultados Discussão dos Resultados Referências 8 A Tabelas de Registo e Tratamento de dados 9 ii

3 Lista de Símbolos Simbolos gregos Ω ω velocidade de precessão em z [rad/s]. velocidade de rotação no eixo x [rad/s]. ρ densidade [kg/m 3 ]. θ τ ângulo de precessão [rad]. momento aplicado [N.m]. Simbolos romanos h momento angular [kg m 2 /s]. J momento inércia em relação ao eixo x [kg m 2 ]. k l m r t raio de giração [m]. comprimento do cilindro [m]. massa [kg]. raio do cilindro [m]. tempo [s]. iii

4 1. Introdução O giroscópio consiste num disco solidário com um eixo normal que, por sua vez, está montado num aro, num plano transversal do disco que, por sua vez, pode girar em torno de outro eixo, no plano longitudinal, conforme ilustrado na figura 1.1. Quando o disco está a rodar em torno do seu eixo, o vector do momento angular resultante é constante e tem a direcção do eixo de suporte do disco, quando este não está sujeito a momentos (supondo que o atrito entre as ligações é desprezável). Portanto, o eixo do giroscópio tem uma direcção Figura 1.1: Giroscópio. invariável no espaço, em relação a um referencial de inércia. Aplicando um momento constante ao giroscópio, este passa a ter também movimento de precessão e nutação: o eixo do disco vai girar em torno de uma direcção constante no espaço (precessão) e o ângulo entre essa direcção e o eixo do disco vai oscilar (nutação). 1.1 Objectivo do Ensaio O trabalho experimental a ser realizado no Laboratório de Mecânica Aplicada utiliza um giroscópio didáctico que permite observar as propriedades deste mecanismo. Tem por finalidade comprovar que, quando se aplica um momento perpendicular ao eixo de rotação do disco do giroscópio, existe uma relação de proporcionalidade entre o momento aplicado e a velocidade de precessão e que essa relação é o momento angular. Isto permite determinar o momento de inércia do disco do giroscópio segundo o seu eixo de simetria. 1

5 2. Teoria A figura 2.1 representa, esquematicamente, o disco de um giroscópio e o motor ao qual está acoplado, que roda em torno do eixo x com uma velocidade angular ω. Figura 2.1: Esquema do rotor e motor do giroscópio. Se o momento polar de inércia do conjunto rotor em relação ao eixo x for J, então o momento angular em relação ao eixo de rotação x é h = J ω (2.1) que pode ser representado pelo vector ab. Se se aplicar um momento τ ao aro interior, em relação ao eixo y, num determinado período de tempo dt, haverá uma variação do momento angular em igual a τdt, representado pelo vector bc, que fará o eixo descrever um ângulo dθ. Este movimento do eixo é denominada por precessão. A partir da triangulação dos vectores ab e bc, é possível concluir que τdt = Jωdθ (2.2) ou τ = Jω dθ dt = JωΩ = hω (2.3) em que Ω = dθ/dt, ou seja, a velocidade angular de precessão. A derivação da equação (2.3) também pode ser feita partindo da relação M = d h dt, (2.4) 2

6 em que M é o momento resultante em relação ao centro de massa e a derivada é em relação ao um referencial inercial. Na presente situação, M = τ = τ ey e h = J ω = Jω e x. Se considerarmos o referencial 0xyz com rotação Ω = Ω e z, isto é, solidário com a velocidade precessão, então da definição de derivada de um vector num referencial em rotação [1] resulta M = τ = ( d h dt ) 0XY Z = ( d h dt ) 0xyz + Ω h, (2.5) em que 0XY Z se refere ao referencial inercial. Na situação em que a velocidade de rotação do disco é mantida constante, ( d h dt ) 0xyz logo a equação (2.5) pode ser simplificada em = ( ) d dt J ω = 0, (2.6) 0xyz τ = τ e y = Ω h = Ω e z Jω e y = ΩJω e y (2.7) recuperando assim relação expressa pela equação (2.3). Portanto, se a velocidade do disco for constante, existe uma relação de proporcionalidade entre o momento aplicado e a velocidade de precessão. Observa-se também que a constante de proporcionalidade é função do momento polar de inércia. A demonstração experimental destas relações constitui o objectivo deste ensaio experimental. 3

7 3. Equipamento O trabalho experimental será realizado com o equipamento ilustrado na figura 3.1. (A) giroscópio eléctrico Cussons P5377 (B) tacómetro óptico Cussons P4740 Serão também usadas três massas marcadas de 150g e uma massa de cerca de 90g. Figura 3.1: Equipamento. 3.1 Giroscópio O giroscópio utilizado neste trabalho experimental é o modelo P5377 do fabricante Cussons [2], ilustrado na figura 3.2. Figura 3.2: Giroscópio didático Cussons P5377. O giroscópio possui um disco montado num veio de um motor de baixa inércia. O disco está montado com um anel removível. O motor está rigidamente ligado a uma protecção do disco que, com dois pinos bloqueadores, formam o aro interior que, por sua vez, está ligado por dois semi-eixos a um suporte em forma de U. Este suporte constitui o aro exterior e é suportado por rolamentos numa coluna vertical, de forma a poder girar livremente sobre esta. Ligados ao aro interior, encontram-se dois braços de extensão calibrados, nos quais é possível colocar três massas, de 150 g cada, a fim de produzirem um momento externo, em relação ao eixo 4

8 transversal. Se o anel, que se encontra ligado ao disco, for removido, então o aro interior deverá ser calibrado através da colocação da massa de 50 g no braço de extensão que lhe está ligado. O giroscópio e a coluna estão montados num conjunto de alimentação que fornece potência eléctrica de corrente contínua e voltagem variável ao motor que acciona o giroscópio e que permite que a sua velocidade de rotação varie até cerca de 5000 rpm. Trocando a polaridade da alimentação eléctrica é possível inverter o sentido de rotação do motor. As dimensões do disco rotor do giroscópio e do anel removível são indicadas na Fig. 3.3: O material Figura 3.3: Dimensões do disco e anel do rotor. do disco e anel é latão, de densidade ρ = 8410kg/m 3. momento polar de inércia do giroscópio em relação ao eixo x. Esta informação servirá para o cálculo do 3.2 Tacómetro A velocidade do disco do giroscópio pode ser medida com precisão, através do tacómetro óptico (modelo P4740 da Cussons). Para tal, é colocada uma fita adesiva não reflectora para cobrir parte da periferia do disco rotor, cujo material é reflector. Deste modo, a reflexão do raio de infravermelhos emitido pelo tacómetro é interrompida a cada revolução do rotor. O tacómetro regista estes impulsos e calcula a correspondente velocidade de rotação. A velocidade de precessão é medida de forma indirecta: com recurso a um cronómetro, é medido o tempo necessário para completar um (ou mais) períodos de precessão. Para controlar os períodos, é necessário instalar um dispositivo de fim-de-curso para servir de referência ao movimento de rotação. 5

9 4. Experiência 4.1 Equilibrio Os alunos deverão garantir que o giroscópio se encontra equilibrado. A sua equilibragem deve ser efectuada da seguinte forma: 1. Colocar a massa de cerca de 90 g no braço de extensão do aro interior do lado do motor. Desapertar o parafuso de fixação para libertar o aro interior do aro exterior. Ajustar a posição da massa na extensão até que o giroscópio esteja equilibrado relativamente ao eixo y; 2. Segurar um dos braços de extensão de modo a que o eixo rotativo esteja na horizontal e rodar, simultaneamente, o controlo de velocidade no sentido dos ponteiros do relógio até que seja alcançada a velocidade desejada. Medir a velocidade de rotação com o tacómetro óptico; 3. Libertar o braço de extensão com o eixo rotativo na horizontal e, se necessário, ajustar a posição a massa de equilíbrio de 90 g de modo a que o giroscópio permaneça horizontal e não precesse em torno do eixo z. 4.2 Medições Garantido o equilíbrio do giroscópio, e utilizando a tabela de registo de dados A.1 incluída no anexo, o trabalho a realizar pelos alunos consistirá em: 1. Prender um dos braços de extensão e colocar uma massa de 150 g no braço de extensão do aro interior na marca de 20 cm e libertar o braço de extensão com o eixo rotativo na horizontal e medir o período de precessão e a direcção de precessão. Medir a velocidade de rotação (própria) do giroscópio; 2. Repetir o procedimento do parágrafo anterior movendo a massa para três outras distâncias diferentes da coluna vertical. Efectuar mais leituras adicionando uma segunda e uma terceira massa, no braço de extensão, de modo a completar o preenchimento da tabela A.1. 6

10 Notas importantes: o regime transiente da velocidade de rotação é elevado devido à inércia do rotor. Assim sendo, será necessário garantir que a velocidade de rotação já se encontra estabilizada antes de realizar as medições; a graduação da régua nos braços de extensão NÃO corresponde à distância ao centro de massa do giroscópio (eixo de rotação do anel exterior após o equilíbrio). É necessário medir a distância efectiva entre o centro de massa das massas adicionadas e o centro de massa do giroscópio. 4.3 Tratamento dos Resultados 1. Com base nos dados recolhidos na tabela A.1, preencher a folha de cálculo na tabela A.2 em anexo. 2. Traçar um gráfico do momento aplicado,τ, em função do produto das duas velocidades, ωω, fazendo passar uma recta pelos pontos. Determinar graficamente o valor do momento polar de inércia. 3. Determinar a intersecção da recta, na origem das abcissas (ou seja, para velocidade de precessão igual a zero). 4. Calcular o momento polar de inércia do disco e do anel e do conjunto motor e comparar com o valor obtido experimentalmente. 4.4 Discussão dos Resultados A partir do tratamento dos resultados, tecer as considerações que considerem pertinentes. 7

11 Referências [1] F. Beer Jr., E. R. Johnston, D. Mazurek, and P. Cornwell. Vector Mechanics for Engineers, Dynamics. McGraw-Hill, 10 nd edition, ISBN: [2] Cussons Technology Ltd., Manchester, England. P5377 Mk.2 Electrical Gyroscope Instruction Manual,

12 A. Tabelas de Registo e Tratamento de dados Posição do peso 1 Posição do peso 2 Posição do peso 3 Velocidade do rotor Período de precesão ω T (cm) (cm) (cm) (rpm) (seg) Tabela A.1: Dados experimentais. 9

13 Momento aplicado Velocidade do rotor Velocidade de precessão Produto das velocidades τ ω Ω = 2π/T ωω (N.m) (rad/s) (rad/s) (rad/s) 2 Tabela A.2: Tratamento de dados. 10