Exame de 2ª Época de Mecânica Aplicada II

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1 Exame de 2ª Época de Mecânica Aplicada II Este exame é constituído por 4 problemas e tem a duração de três horas. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada grupo em folhas separadas Problema 1 (5 val.) Os dois cursores A e B estão ligados por uma barra de comprimento m. Na situação em que a barra forma um ângulo com a horizontal e sabendo que cursor A se desloca com velocidade constante para baixo de m/s, calcule: a) Os vectores velocidade e aceleração do cursor A. [0,5 val.] b) O vector velocidade do cursor B. [2 val.] c) O vector aceleração do cursor B. [2,5 val.] Problema 2 (4 val.) Um automóvel circulava à velocidade de 60 km/h no momento em que o seu condutor se apercebeu que, à sua frente, a uma distância de 90 m, se encontrava uma viatura parada. Após 1s o conductor accionou os travões, entrando o automóvel em derrapagem até se imobilizar. A inclinação da estrada era desprezável e o piso encontrava-se molhado, pelo que o coeficiente de atrito, entre os pneus do automóvel e o asfalto, pode ser considerado 0,2. Note ainda que a massa do automóvel era 2000 kg. a) Diga, justificando através dos seus cálculos, se ocorreu colisão. [2,5 val.] b) Quanto teria a distância de travagem de ser aumentada para não ocorrer colisão se, em vez de um automóvel, se tratasse de um camião com uma massa de 5000 kg a circular nas mesmas condições? [1,5 val.] Problema 3 (6 val.) A figura mostra um veio AB ao qual estão ligadas por pequenas barras de massa desprezável três esferas, cada uma com massa kg e raio mm. O veio encontra-se inicialmente em repouso quando se aplica um binário de momento constante M. Sabendo que após 2s a posição do veio é a mostrada na figura e a velocidade angular do veio é 120 rev/min, determine: a) A aceleração angular do veio. [0,5 val.] b) O momento M do binário aplicado. [2,5 val.] c) As reacções dinâmicas em A e B devidas à rotação do veio no instante referido (isto é, 2s após o início da aplicação do binário). [3 val.]

2 Problema 4 (5 val.) Considere a transformação de coordenadas de cartesianas para curvilíneas seguinte: ;. a) Determine as componentes dos vectores da base natural e dual do referencial curvilíneo, escritos no referencial. [1 val.] b) Obtenha a expressão que dá o elemento de arco cartesiano, em função de e. [1 val.] c) Determine as matrizes da métrica covariante e contravariante em, simplificando para a forma mais compacta possível. Verifique se o referencial curvilíneo é ortogonal. [1,5 val.] d) Dado o vector velocidade contravariante, determine o vector aceleração sabendo que as componentes do símbolo de Christoffel são as seguintes: [1,5 val.] Formulário Esfera homogénea: Relações fundamentais da dinâmica: Lei de transformação tensorial: Aceleração em coordenadas curvilíneas:

3 Resolução: Problema 1

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5 Problema 2

6

7 Problema 3

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9 Problema 4 Alínea a) Os vectores da base natural (contravariantes) pedidos são os vectores coluna da matriz de transformação inversa dada, ou seja:,. Os vectores da base dual (covariantes) pedidos são os vectores linha da matriz de transformação directa, obtida por inversão da matriz anterior, ou seja:. Alínea b) Por definição e fazendo uso da matriz de transformação inversa dada, o elemento de arco cartesiano:. Alínea c) Usando o resultado de a), a matriz da métrica covariante pode ser obtida através da relação seguinte:,. Por sua vez, a matriz da métrica contravariante pode ser obtida por inversão da anterior, ou seja:. Ou, alternativamente, desenvolvendo o resultado de b) e conjugando-o com a relação seguinte:. O referencial será ortogonal se:. Alínea d) A aceleração é obtida a partir da relação dada no formulário:. Determinando as duas componentes do vector aceleração separadamente, fazendo uso do símbolo de Christoffel dado, resulta: ;.

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