Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 1º Teste 18/04/ :00h
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- Benedicto Carreira Carvalhal
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1 Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Geológica e de Minas Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação Mecânica e Ondas 1º Ano º Semestre 1º Teste 18/04/016 18:00h Duração do teste: 1:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 Um pequeno elevador de serviço para transporte de alimentos num restaurante tem uma massa de (quando vazio) e um contrapeso de massa igual à da caixa (ver figura). Quando transportava uma refeição com uma massa total de, deuse uma avaria que fez com que o elevador se desligasse do motor ficando a caixa apenas suspensa pelo contrapeso. a) Desprezando o efeito do atrito e a massa das roldanas e do cabo de suporte que une o elevador ao contrapeso, determine a função de Lagrange do sistema nas circunstâncias descritas (comece por definir o número de graus de liberdade, e o sistema de coordenadas conveniente para descrever o sistema, faça um esquema). b) Determine a equação diferencial do movimento do elevador e a aceleração do mesmo nas condições descritas, utilizando o resultado da alínea a). c) Qual a velocidade da caixa do elevador após uma queda de uma altura de, partido do repouso nas condições descritas no enunciado? Problema Um automóvel com uma massa total de (incluindo ocupantes) deslocavase com uma velocidade inicial de quando se apercebeu que iria colidir frontalmente com uma carrinha de massa que se encontrava imobilizada a uma distância no instante em que o automóvel começou a travar. a) Considerando que a força de atrito é proporcional ao peso dos veículos com coeficiente de atrito, escreva a equação que define a posição do automóvel em função do tempo num referencial solidário com a estrada, após o início da travagem e determine a velocidade do veículo no instante em que colide com a carrinha imobilizada. b) Considerando que o choque é totalmente inelástico (os dois veículos passam a deslocarse solidariamente após o choque) determine a velocidade do conjunto após o choque e a distância que o conjunto dos dois veículos percorre até à imobilização total. Se não resolveu a alínea a) considere que a velocidade do automóvel no instante imediatamente antes do choque é
2 Problema 3 Um brinquedo de um parque infantil consiste numa plataforma giratória, que pode ser descrita aproximadamente como um cilindro, homogéneo, de massa e raio (momento de inércia de um cilindro homogéneo relativo ao respectivo eixo de revolução: ). Uma criança com uma massa de dirigese para o brinquedo, correndo com uma velocidade de módulo na direção tangencial à circunferência exterior do dispositivo (ver figura) e salta para cima do mesmo mantendose agarrada ao respetivo bordo (considere, como aproximação, que o sistema pode ser descrito no plano da base do carrossel) a) No momento em que a criança salta, o carrossel roda com uma velocidade angular inicial de 1 voltas por minuto. Calcule a velocidade angular do sistema, após a criança saltar e ficar a rodar solidariamente com este (considere que o centro de massa da criança se encontra a uma distância do centro igual ao raio do carossel). b) Compare a energia cinética total do sistema formado pelo carrossel e pela criança imediatamente antes e depois desta saltar para o carrossel e comente o resultado. c) Se o carrossel for imobilizado por uma força de atrito constante exercida na periferia do mesmo (por exemplo através do contacto com o solo), determine o valor do módulo da força necessária para que o mesmo se imobilize em 0 segundos.
3 . f T F ma P mv 1 T mv dp F W C F dr L d L L T U 0 qi dt q i L r i P i i I m R i i i F U N r i F i i Mm F G r e r dl dt TROT N L I 1 I
4 Soluções Problema 1 a) Definindo a coordenada positiva no sentido ascendente da caixa do elevador: b) c) Utilizando a lei da conservação da energia: Ou utilizando as equações do movimento com aceleração uniforme dada na alínea b) com Problema a)
5 O cálculo da velocidade no instante do choque pode ser feito utilizando este sistema de equações ou recorrendo à lei da conservação da energia (notese que o trabalho da força de atrito é negativo pois esta tem o sentido contrário da velocidade): ( ) Ou utilizando a lei do movimento: Considerando ; ; ambos positivos (notese que a velocidade final, no momento do choque é inferior em módulo à velocidade inicial). ( deve ser menor que, logo a expressão com significado físico é que tem o sinal negativo na raiz. Ou ainda, utilizando a lei do movimento para determinar o momento do choque:
6 b) (o segundo veículo estava imóvel) Pela conservação do momento linear (a uma dimensão: choque frontal): (no momento imediatamente após o choque) (no momento em que o sistema se imobiliza temos: ) Ou utilizando as equações do movimento (notese que a aceleração devida à força de atrito,, é independente da massa) No momento em que os veículos se imobilizam temos, logo: A deslocação até o sistema se imobilizar é dada por
7 Problema 3 a) Uma vez que o momento resultante das forças exteriores aplicadas é nulo, verificase a conservação do momento angular do sistema. é o vetor que define a posição da criança no referencial cuja origem se situa no centro do carrossel e é o ângulo formado pelos vetores e. Notese que b) A diferença entre as energias inicial e final corresponde à energia de ligação entre a criança e a plataforma (interacção inelástica). c) para constante = Verificação:
a) (2 valores) Mostre que o módulo da velocidade de um satélite numa órbita circular em torno da Terra é dado por:
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