UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - PROGRAD DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET CÁLCULO IV

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1 UNIVESIDADE ESTADUAL DE SANTA CUZ - UESC PÓ-EITOIA DE GADUAÇÃO - POGAD DEPATAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET GUIA DE ESTUDO N 0 2 CÁLCULO IV OBJETIVOS: Proporcionar o ábito de leitura no aluno; Motivar a leitura prévia do conteúdo a ser ministrado na aula seguinte; Motivar o aluno para o envolvimento, entendimento e participação na aula seguinte; Fixar conceitos discutidos em aulas; deposite a sua maior atenção para as explicações e participe nas discussões sobre o assunto em curso; Evitar a metodologia tradicional de exposição unilateral do conceito; INSTUÇÕES: Faça uma leitura cuidadosa do presente guia antes da aula; Numa primeira leitura anote todas dúvidas a fim de discuti-las em sala de aula com professor e com os demais colegas; Atente para a leitura sistematizada do guia, de modo que as definições, teoremas, lemas e corolários, fiquem bem entendidos; Consulte pré-requisitos sempre que for necessário (este é um dos pontos importantes); Consulte o professor, sempre que surgir uma dúvida na leitura do presente guia, antes ou depois da aula; Evite copiar aulas expositivas; esponda sempre todos os exercícios presentes nesta guia, sem esquecer os demais problemas presentes no livro texto, bem como nas demais referências bibliográficas da disciplina em curso. Pensamentos Deve se aprender fazendo o que se aprende; porque embora se pense que aprendeu uma coisa, só se terá certeza quando se tentar fazer a coisa. Sophocles Não há ramo da Matemática, por mais abstrata que seja, que não possa um dia vir ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lobachevsy IDENTIFICAÇÃO Nome: Matrícula Curso Disciplina Turma Turno Professor Data / / 1

2 MASSA E DENSIDADE Prof. Dr. Afonso Henriques, henry@uesc.br INTOCUÇÃO Antes de prosseguirmos para o estudo de cálculo de Momento e Centro de Massa utilizando integrais triplas, é interessante abrirmos um parêntese com uma pequena incursão em aplicações preliminares de determinação da MASSA e DENSIDADE de um sólido homogênea, pois elas nos facilitarão no entendimento de algumas propriedades das operações com integrais triplas, estendendo os estudos para uma lâmina não-homogênea. DENSIDADE DE MASSA: Se um sólido tem massa m e volume V, e se a massa é distribuída uniformemente por todo o sólido, dizemos que o sólido é homogêneo, e a DENSIDADE DE MASSA δ é dada por m δ ou m δv ou seja, δ é massa por unidade de volume. Se por exemplo, m está V em quilograma e V em metros cúbicos, então δ esta em g/m 3. fig. 1 maior diagonal Consideramos agora um corpo NÃO-HOMOGÊNEO em que a densidade de massa não é a mesma em todo ele. Introduzimos um sistema de coordenadas tal como na figura ao lado onde é um sólido não-homogêneo. Para definir a densidade de massa δ ( x, em P(x,, consideramos uma sub-região em forma de um cubinho que contem P e tenha volume V e massa m (fig. 1). Se a V é suficientemente pequena, é de esperar que m / V seja uma aproximação de δ ( x,. Isso conduz a seguinte relação: m δ( x, lim V V 0 Se o limite na definição acima existe e V 0, então m δ ( x, V. Em alguns casos podemos conhecer a densidade δ ( x, e querermos achar a massa. Se a densidade é uma função contínua e é uma região conveniente, então consideraremos uma partição interior { } de, escolhendo um ponto (x, y, z ) em cada, e formamos a soma de iemann δ ( x, y, z ) V. Assim, podemos definir a massa m de como um limite de tais somas, o que nos dá a seguinte fόrmula (técnica) para o cálculo de massa de um sόlido não-homogêneo por integrais triplas: m δ ( x, 2

3 EXEMPLO Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h. Determine a massa, se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. A discussão acima é análoga para uma lâmina com a forma de uma região retangular do plano-xy. Para tal, consideramos uma subregião K que contenha o ponto P e tenha área A (cf. fig. 2 ao lado). Nesse caso, a densidade de massa por área em P(x, é definida por δ ( x, lim A 0 m A Fig. 2 Tal como para o caso de sólidos, a equação abaixo permite o calculo de massa de uma lâmina EXECÍCIOS m δ ( x, 1) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de comprimentos a. Ache a massa, se a densidade de massa por área em um ponto P é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. 2) Uma lâmina com densidade de massa por área δ ( x, tem a forma da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo. Estabeleça uma integral dupla para achar a massa da lâmina. a) δ ( x, y 2 ; y e -x, x 0, x 1, y 0; b) δ ( x, x 2 + y 2 ; xy 2 1, x 0, y 1, y 2. 3) Um sólido de densidade δ( x, tem a forma da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo. Esboce os respectivos gráficos, e estabeleça uma integral tripla para calcular a massa do sólido. a) δ ( x, x 2 + y 2 ; x + 2y + z 4, x 0, y 0, z 0; b) δ ( x, z +1; z 4 x 2 y 2, z 0. 3

4 MOMENTO E CENTO DE MASSA Os momentos e centro de massa de uma lâmina homogênea foram também abordados no cálculo II (aplicação de integrais definidas para funções de uma variável). Agora utilizaremos integrais duplas para estender tais conceitos a uma LÂMINA NÃO HOMOGÊNEA L que tenha a forma de uma região do plano-xy. Se a densidade de massa por área em um ponto (x, é δ( x, e se δ é uma função contínua em, então, de acordo com a definição anterior, a massa m de L é m δ( x, Seja P { } uma partição de e, para seja (x, y ) um ponto arbitrário de. Como δ é continua em, uma pequena variação acarreta uma pequena variação na densidade δ ( x,. Isto é, δ é quase constante em. Logo se P 0, a pode ser aproximada por δ( x, y ) A onde Admitindo que a massa A é a área de. m que correponde a m seja concentrada em (x, y ) então, o momento desse elemento da Lâmina L em relaçãoao eixo-x é o produto yδ( x, y ) A. A soma dos momentos deve aproximar-se do momento da lâmina. Assim, temos a seguinte: DEFINIÇÃO Seja L uma lâmina com forma de uma região do plano-xy. Se a densidade de massa por área em (x, é δ ( x, e se δ é uma função contínua em, então a massa m, os momentos M x e M y e o centro de massa ( x, y ) são respectivamenete (i) m δ( x, (ii) (iii) Mx My x y M y m M x m yδ( x, xδ( x, Obs. M x é o momento de L em relação ao eixo-x. M y é o momento de L em relação ao eixo-y. ( x y, ) centro de massa (ou centro de gravidade ou ponto de equi líbrio) da lâmina L. Os momentos M x e M y são também chamados primeiros momentos de L em relação aos eixos de coordenadas. Se L é homogênea, então a densidade de massa por área δ, ) é constante, e pode ( x y ser cancelada em (iii) na definição ao lado O centro de massa de uma lâmina homogênea depende apenas da sua forma; ( x y, ) é o centróide de. 4

5 EXEMPLO: (1) Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com os lados iguais de comprimentos a. A densidade de massa por área no ponto P é diretamente proporcional o quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. Ache o centro de massa. (2) Uma lâmina tem a forma da região do plano-xy delimitada pela parábola x y 2 e a reta x 4. A densidade de massa por área no ponto P(x, é diretamente proporcional à distância do eixo-y a P. Ache o centro de massa. MOMENTO DE INÉCIA DE UMA LÂMINA Como destacamos na observação, os momentos M x e M y são também chamados primeiros momentos de L em relação aos eixos de coordenadas. Considerando os quadrados das distâncias aos eixos coordenados, obtemos os segundo momentos ou momentos de inércia, I x, e I y em relação ao eixo-x e ao eixo-y respectivamente. A soma I 0, I x, + I y é o momento polar, ou momento de inércia em relação à origem. As fórmulas abaixo descrevem os momentos de inércia de uma lâmina. lim I yδ( x, y ) A yδ( x, x P 0 lim I xδ( x, y ) A xδ( x, y P 0 0 ( ) δ ( ) lim P 0 I x + y ( x, y ) A x + y δ( x, EXEMPLO Uma lâmina tem a forma de um semicírculo de raio a. A densidade de massa por área é diretamente proporcional à distância do eixo-x. Ache o momento de inércia em relação ao eixo-x. 5

6 MOMENTO E CENTO DE MASSA EM TÊS DIMESSÕES Prof. Dr. Afonso Henriques, henry@uesc.br Consideramos um sólido com a forma de uma região tridimensional. Suponhamos que a densidade de massa em (x, seja δ ( x, e que δ seja uma função contínua em todo. Seja { } uma partição interior de, e seja V o volume de. Se (x, y, z ) é um ponto de tal como na figura ao lado, então a massa correspondente é aproximadamente δ( x, y, z ) V. Consequentemente, a massa do sólido é o limite de soma desse produto. Isto é: lim δ( x, y, z) V δ( x, P 0. O momento em relação ao plano-xy da parte do sólido que corresponde é aproximadamente zδ( x, y, z ) V. Somando e tomando o limite, obtemos o momento M xy do sólido em relação ao plano-xy. Analogamente, obtêm-se os momentos M xz e M yz em relação aos planos xz e yz respectivamente. O centro de massa ( x, z ) se define como segue: fig. 3 DEFINIÇÃO: Massa m δ( x, Centro de massa Momentos M M M xy xz yz zδ( x, yδ( x, xδ( x, ( x, z ) onde Myz M M xz x, y, z m m m xy Obs. O centro de massa de um sólido homogêneo depende somente da forma de. Tal como em duas dimensões, o ponto correspondente para sólido geométrico é chamado de centróide do sólido. Para achar o centróide, fazemos δ ( x, 1na definição acima. EXEMPLO: 1. Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base a e altura h. A densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. Ache o centróide de massa. 2. Um sólido tem a forma da região do primeiro octante delimitada pelo 6

7 parabolóide z4-9x 2 y 2 e os planos y 4x, z 0 e y 0. A densidade no ponto P(x, é proporcional a distância da origem a P. Estabeleça integrais iteradas para calcular x. MOMENTO DE INÉCIA DE SÓLIDOS Se uma partícula de massa m está no ponto (x,, então sua distância ao eixo-z é 2 2 x + y (cf. fig. 4) e seu momento de inércia I z em relação ao eixo-z define-se como (x 2 +y 2 )m. Por analogia, os momentos de inércia I x e I y em relação ao eixo x e y são respectivamente (y 2 +z 2 )m e (x 2 + z 2 )m. Para sólidos da forma da figura 3, empregamos limites de soma na maneira usual, para obtermos o seguinte. fig. 4 MOMENTOS DE INÉCIA DE SÓLIDOS Iz ( x + y ) δ( x, Ix ( y + z ) δ( x, Iy ( x + z ) δ( x, EXEMPLO: 1. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo de simetria, do sólido cilíndrico do exemplo anterior 2. Um sólido homogêneo tem a forma da região delimitada pelo cone x 2 y 2 +z 2 0 e o plano y 3. Estabeleça uma integral tripla para calcular seu momento de inércia em relação ao eixo-y. TEOEMA DE PAPPUS Seja uma região de um plano situada inteiramente a um lado de uma reta l do plano. Fazendo revolver uma vez em torno de l, o volume do sólido resultante é o produto da área de pela distância percorrida pelo centróide de. Demo:

8 EXECÍCIOS. 1. Estabeleça uma integral iterada para achar o momento de inércia em relação ao eixo-z do sólido indicado. a) Esfera de raio a e centro na origem; onde δ ( x, x + y + z 2 b) O cone delimitado pelos gráficos de x 2 +9y 2 z 2 0 e z 36; onde δ ( x, x + y. 2. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que tema forma da região delimitada pelos gráficos das equações dadas e a densidade de massa por área indicada. a) y x, x 9, y 0; δ( x, x y b) y x 2, y 4 e a densidade no ponto P(x, é diretamente proporcional à distância do eixo-y a P. 8