Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.

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1 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y z = 2 x + y + 2z w = x + 2y z w = x + y z + w = 6 (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, A 1. (c) Determine os vectores de R 4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (, 1, 1, ) é u e que são perpendiculares aos vectores (1,,, 1) e (1,, 1, ). (d) Determine o ponto sobre a recta definida por 2x + 3y = 1 mais próximo da origem. (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. 3 n+1 11 n i) 2 2n ii) n!, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 2x 8/5 + xe 2x x 2 ii) x log(7x)

2 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 4 sin 32 x + 5 cos(3x) dx ii) + 4e 3x 3e 4x dx (b) Considere as regiões do plano definidas por X β = { (x, y) R 2 : < y < e 3x < x < β }, e Y β = { (x, y) R 2 : < y < e 3x β < x }, onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de X β e Y β sejam iguais. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim e x2 1 + x 2 x x 4 ii) lim x 2x sin(t 2 ) dt x 3. IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 dois vectores de R n tais que α 1 u 1 + α 2 u 2, quaisquer que sejam os números reais α 1 e α 2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v 1 e v 2 por v 1 = u 1 e v 2 = u 2 P v1 u 2, onde P v1 u 2 denota a projecção do vector u 2 sobre o vector v 1. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β 1 v 1 + β 2 v 2, mostre que se tem β i = w.v i 2, i = 1, 2. v i

3 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Teste de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y z = 2 x + y z + w = 6 x + 2y z w = x + y + 2z w = (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, A 1. (c) Determine o ponto sobre a recta definida por 3x + 2y = 1 mais próximo da origem. (d) Determine os vectores de R 4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (, 1, 1, ) é u e que são perpendiculares aos vectores (1,,, 1) e (1,, 1, ). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. 4 n+1 7 n i) 3 2n ii) n!, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 3x 9/5 + xe 3x x 2 ii) x log(7x)

4 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 4 sin 53 x + 5 cos(5x) dx ii) + 4e 2x 2e 4x dx (b) Considere as regiões do plano definidas por X β = { (x, y) R 2 : < y < e 2x < x < β }, e Y β = { (x, y) R 2 : < y < e 2x β < x }, onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de X β e Y β sejam iguais. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim e x2 1 + x 2 x x 4 ii) lim x 3x sin(t 2 ) dt x 3. IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 dois vectores de R n tais que α 1 u 1 + α 2 u 2, quaisquer que sejam os números reais α 1 e α 2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v 1 e v 2 por v 1 = u 1 e v 2 = u 2 P v1 u 2, onde P v1 u 2 denota a projecção do vector u 2 sobre o vector v 1. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β 1 v 1 + β 2 v 2, mostre que se tem β i = w.v i 2, i = 1, 2. v i

5 Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatística Exame de Matemática CURSO: Ergonomia e Reabilitação Psicomotora 1/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I (12 valores) (a) Determine os valores de α para os quais o sistema y z = 2 x + 2y z w = x + y z + w = 6 x + y + 2z + αw = é possível e determinado. Determine a solução quando α = 1. (b) Sendo A = e B = determine AB 2. Com base neste resultado, calcule, justificando, A 1. (c) Determine os vectores de R 4 com norma 2 cuja projecção sobre o vector u = (, 1, 1, ) é u e que são perpendiculares aos vectores (1,,, 1) e (1,, 1, ). (d) Determine o ponto sobre a recta definida por 4x + 5y = 1 mais próximo da origem. (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. 4 n 1 9 n i) 3 2n ii) n! n=2, (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 3x 9/5 + xe 5x x 2 ii) x log(9x)

6 II (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais π ( ) i) 4 sin 32 x + 5 cos(2x) dx ii) + 2e 3x 3e 2x dx (b) Considere as regiões do plano definidas por X β = { (x, y) R 2 : < y < e 4x < x < β }, e Y β = { (x, y) R 2 : < y < e 4x β < x }, onde β é um número real positivo. Determine β por forma a que as áreas de X β e Y β sejam iguais. III (1.5 valores) Calcule os seguintes limites i) lim e x2 1 + x 2 x x 4 ii) lim x 2x sin(t 2 ) dt x 3. IV (2 valores) Sejam u 1 e u 2 dois vectores de R n tais que α 1 u 1 + α 2 u 2, quaisquer que sejam os números reais α 1 e α 2 não simulataneamente nulos. Defina os vectores v 1 e v 2 por v 1 = u 1 e v 2 = u 2 P v1 u 2, onde P v1 u 2 denota a projecção do vector u 2 sobre o vector v 1. (a) Mostre que os vectores v 1 e v 2 são perpendiculares. (b) Sendo w = β 1 v 1 + β 2 v 2, mostre que se tem β i = w.v i 2, i = 1, 2. v i