Princípios dos Momentos -Teorema de Varignon- ( ) Prof. Ettore Baldini-Neto

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1 Princípios dos Momentos -Teorema de Varignon- ( ) Prof. Ettore Baldini-Neto

2 Princípios dos Momentos -Teorema de Varignon- momento de uma força em relação a um dado ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto. 1 ~M 0 = ~r ~ = ~r ( ~ 1 + ~ 2 ) 2 = ~r ~ 1 + ~r ~ 2 r

3 Princípios dos Momentos Problemas bidimensionais Neste caso a decomposição da força resultante em suas componentes resolve o problema. d M M 0 =

4 Resumo até aqui... momento de uma força cria a tendência de um corpo girar ao redor de um eio que passa por um ponto específico. A regra da mão direita diz que o sentido de rotação segue a curva dos dedos e o polegar fornece a direção do momento da força (torque). módulo do momento da força (torque) é M 0 =.d onde d é chamado de braço do momento e representa a distância perpendicular do ponto até a linha de ação da força. Em 3D, o torque é dado por M 0 = r, e r está direcionado de até qualquer ponto sobre a linha de ação de.

5 Eemplo 1: Determine o momento da força em relação ao ponto da figura. EXAMPLE PRINCIPLE MMENTS 129 d Determine the moment of the force in ig. 4 18a about point. 75 d d 3 cos 30 m d 3 cos 30 m (5 kn) cos 45 (5 kn) cos m (a) 30 3 m 5 kn (a) 5 kn d 3 sin 30 m d 3 sin 30 m (b) (5 kn) sin 45 (5 kn) sin 45 4 SLUTIN I The moment arm d in ig. 4 18a can be found from trigonometr. (b) d = (3 m) sin 75 = m Thus, M = d = (5kN)(2.898 m2 = 14.5 kn # m b Ans. Since the force tends to rotate or orbit clockwise about point, the moment is directed into the page. SLUTIN II The and components of the force are indicated in ig. 4 18b. Considering counterclockwise moments as positive, and appling the principle of moments, we have

6 Eemplo 2: A força age na etremidade da cantoneira mostrada na figura abaio. Determine o momento da força em relação ao ponto. 0.2 m 0.2 m 0.4 m 400 sin 30 N (a) 30 = 400 N 0.4 m (b) 400 cos 30 N

7 Momento de uma força em relação a um eio dado. Algumas vezes, o torque produzido por uma força em relação a um dado eio precisa ser calculado z M u d M d A força aplicada na chave cria a tendência de a chave e a porca girarem em torno do eio do momento que passa pelo ponto ; mas a porca só pode girar em torno de. Logo, somente esta componente do momento interessa para o cálculo. Moment Ais Para resolver este problema podemos utilizar a análise escalar ou a análise vetorial.

8 Análise Escalar z u d No caso específico do problema anterior, o braço do momento perpendicular à linha de ação da força é d = d.cos M d M Moment Ais M = d =.d.cos Em geral, para qualquer eio a podemos escrever: M a = d a

9 Análise Vetorial z u r u M M 0 r j Neste caso, determinanamos 4 o torque ig. (momento 4 20 da força) em relação a qualquer eio passando pelo ponto e depois tomamos a projeção deste torque, junto ao eio de interesse. Neste eemplo, o eio, representado pelo vetor unitário j.

10 Análise Vetorial Calculando o momento em relação ao eio. ~M 0 = ~r ~ Calculando a sua projeção junto ao eio M = ˆ ~M 0 = ˆ (~r ~ )

11 a Generalizando discussão. M a u a r M r M a = û a ~M 0 = û a (~r ~ ) = (u a î + u a ˆ + u az ˆk) (~r ~ ) A Ais of projection ig M a = û a (~r ~ )= u a u a u az z z M a = u a ( z z )+u a (z z )+u az ( ) Tendo determinado M a, escrevemos M a =M a u a como um vetor cartesiano.

12 Pontos Importantes momento de uma força (torque) em relação a um eio especificado pode ser determinado escalarmente desde que a distância perpendicular d a a partir da linha de ação da força até o eio possa ser determinada. Neste caso, M a =d a Se utilizarmos a análise vetorial, M a=u a.(r ), o vetor unitário u a define a direção do eio de interesse e r é definido a partir de qualquer ponto sobre o eio até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. Se M a < 0, M a é oposto a u a

13 Eemplo: Determine o momento produzido pela força na figura abaio. ele tende a girar o tubo em relação ao eio AB. z z 0.6 m 0.3 m C = 300 N 0.2 m A B (a) 0.4 m C D r C r D B M AB u B (b) A

14 Eemplo: Determine a intensidade do momento produzido pela força em relação ao segmento A do encanamento da figura abaio. z z 0.5 m D 0.5 m 300 N C B 0.3 m D r AD r D r C C 0.4 m A 0.2 m 0.1 m u A r AC (a) A