b) [10] Se os segmentos do cabo entre as polias não são precisamente verticais, a sua resposta em a) seria afetada? Explique.

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1 TEA005 - Mecânica dos Sólidos I Curso de Graduação em Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P01, 22 Março 2018 Prof. Michael Mannich NOME: GABARITO Assinatura: P01 1 [30] Os sistemas de cabo-polia mostrados são usados para suportar um peso W. a) [20] Assumindo que os segmentos do cabo entre as polias são verticais, determine a tensão T no cabo em termos de W. Elabore esboços das forças se julgar necessário. b) [10] Se os segmentos do cabo entre as polias não são precisamente verticais, a sua resposta em a) seria afetada? Explique. SOLUÇÃO DA QUESTÃO: a) Sabendo que a tensão T no cabo continua sendo a mesma após a passagem pelas polias, e que existe uma força de reação na fixação da polia de cima, a análise de equilíbrio pode ser feita entre o bloco com peso W e a(s) polia(s) inferior(es): Para todas as configurações, cada seta vermelha indica a força T e o valor da mesma é obtido através de um somatório de forças na vertical/em y e igualando esse somatório a zero, pela condição de equilíbrio. (a) (b) F = T W = 0 T = W F = T W + T = 0 2T = W T = W 2 (c) F = T W + T = 0 2T = W T = W 2

2 (d) F = T + T W + T = 0 3T = W T = W 3 (e) F = T + T W + T = 0 3T = W T = W 3 (f) F = T + T W + T + T = 0 4T = W T = W 4 b) Utilizando como exemplo a configuração (b), a figura a seguir ilustra os seguimentos do cabo entre as polias não verticais. Ao projetar a força T no eixo vertical/y, a força na vertical é igual a T cosθ. Dessa forma,temos que o somatório de forças na vertical é igual a F = T cos θ W + T cos θ = 0 2T cos θ = W T = W 2 cos θ Como para θ 0 o cosseno assume um valor menor que 1, nesse caso a força T teria que ser maior que no caso do sentido da força ser precisamente na vertical. Portanto, as respostas da alternativa anterior seriam afetadas caso as forças não estivessem precisamente na vertical.

3 2 [35] A estrutura OAB é engastada no ponto O e suporta duas forças de magnitude F paralelas aos eixos y e x. Se a magnitude do momento sobre o ponto O não pode exceder 1 kn m, determine o maior valor que F pode ter. Resolva o problema vetorialmente. SOLUÇÃO DA QUESTÃO: 1) Momento de F no ponto A: 2) Momento de F no ponto B: M 1 = î ĵ ˆk F 0 M 1 = r F r = 0.4î m, F = F ĵ kn = 0î + 0ĵ 0.4F ˆk [0ˆk + 0î + 0ĵ] M 1 = 0.4F ˆk kn m M 2 = î ĵ ˆk F M 2 = r F r = 0.4î 0.09ĵ m, F = F ˆk kn = 0.09Fî + 0ĵ + 0ˆk [0ˆk + 0î + 0.4ĵ] M 2 = 0.09Fî 0.4F ĵ kn m 3) Somatório dos momentos e cálculo do módulo: sabendo que a magnitude/módulo do momento M não pode exceder 1 kn m, calcula-se o módulo do momento e a partir disso é possível descobrir o valor de F. F = M = M 1 + M 2 = 0.09Fî 0.4F ĵ 0.4F ˆk M = ( 0.09F ) 2 + ( 0.4F ) 2 + ( 0.4F ) 2 M = F 2 [( 0.09) 2 + ( 0.4) 2 + ( 0.4) 2 ] M = F ( 0.09) 2 + ( 0.4) 2 + ( 0.4) 2 = 1 1 ( 0.09) 2 + ( 0.4) 2 + ( 0.4) = 1 = kn 1.75 kn

4 3 [35] Uma escada rolante é impulsionada por uma corrente ligada ao ponto A, que suporta uma força F. Os rolos dos pontos A e B têm rolamentos sem atrito e se deslocam em uma pista com folga. Se uma pessoa com peso 900 N está sendo levantada a uma velocidade constante, podendo ser desprezados outros pesos, determina a força F necessária da corrente e as reações em A e B. SOLUÇÃO DA QUESTÃO: As forças em A e B são normais à superfície, que nesse caso é inclinada. Para verificar o sentido de cada força, é possível fazer uma análise qualitativa: supondo o momento em torno do ponto A, a força de 900 N gera um momento no sentido horário, então a força em B deve ter um sentido que gere o momento no sentido anti-horário. O mesmo raciocínio é aplicado ao analisar o momento em torno do ponto B, a força de 900 N gera momento no sentido horário, e portanto a força em A deve ter um sentido que gere o momento em B no sentido anti-horário. A figura mostra os sentidos das forças encontrados através dessa análise. Essa questão pode ser resolvida utilizando tanto os eixos x-y (B) quanto os eixos x -y (A). Para ambos é necessário utilizar o valor do ângulo θ, que é dado por (A) Coordenadas x -y : (I) Solução M-F-F: tan θ = CO CA = θ = tan 1 (0.75) = ) Somatório de forças em x : F x = F A + F B 900 cos θ = 0 F A = cos 36.9 = N 3) Somatório de forças em y : F y = F 900 sin θ = 0 F = 900 sin 36.9 = N (II) Solução M-M-F:

5 2) Somatório de momentos em B: M B = F A ( ) 900 (0.1) = 0 F A = = 240 N 3) Somatório de forças em y : F y = F 900 sin θ = 0 F = 900 sin 36.9 = N (III) Solução M-M-M: 2) Somatório de momentos em B: M B = F A ( ) 900 (0.1) = 0 F A = = 240 N 3) Somatório de momentos em C: M C = F B cos θ (0.1) + F B sin θ (0.225) + F A cos θ (0.4) + F sin θ (0.4) = 0 M C = F = 0 (B) Coordenadas x-y: (I) Solução M-F-F: F = = N 2) Somatório de forças em x: F x = F A sin θ + F B sin θ F cos θ = 0 F A F 0.8 = 0 F A = 1.33F 960 Nesse caso, nem a força F A nem a força F são conhecidas, então através dos somatórios das forças em x e y é possível criar um sistema e descobrir ambas: 3) Somatório de forças em y: F y = F A cos θ + F B cos θ + F sin θ 900 = 0

6 Dividindo a equação inteira por cos θ, e substituindo o valor de F A pela equação dada acima, temos que: (II) Solução M-M-F: F A + F B + F tan θ 900 cos θ = F F tan cos 36.9 = F F = F = = N 2.08 F A = F = = 241 N 2) Somatório de momentos em B: M B = F A ( ) 900 (0.1) = 0 3) Somatório de forças em x: (III) Solução M-M-M: Solução igual à obtida no sistema x -y. F A = = 240 N F x = F A sin θ + F B sin θ F cos θ = sin sin 36.9 F cos 36.9 = F = F = = N 0.8