O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio

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1 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 O equilíbrio e a qualidade do equilíbrio O princípio dos trabalhos virtuais fundamenta vários outros princípios. Um deles é o princípio de Langrange que dita: Na posição do equilíbrio (estável) a energia potencial total do sistema atinge o seu mínimo. Nesta parte da matéria o princípio de Langrange será utilizado para encontrar a posição de equilíbrio de alguns mecanismos, de 1 ou mais graus de liberdade cinemática, habitualmente com apoios flexíveis (externos ou internos). Os apoios flexíveis serão constituídos por molas lineares ou rotacionais. Assume-se que a aplicação das forças externas é lenta e gradual (quase-estática), para não se activarem as forças de inércia (termo explicado no capítulo de dinâmica). Mas a posição de equilíbrio será determinada usando o valor final das forças aplicadas ao sistema. O procedimento na elaboração dos problemas será o seguinte: 1. Determinar a energia potencial como função de parâmetros que definem a posição da estrutura em equilíbrio. Estes parâmetros de deformação serão na forma de deslocamentos ou rotações. Da posição inicial para a posição final a estrutura efectuará um movimento finito, por isso, ao contrário dos problemas para a utilização do TV, agora os deslocamentos e os ângulos de rotação serão finitos (grandes) e por isso nenhuma simplificação das funções trigonométricas será possível. Igualmente nenhuma das barras poderá sofrer algum alongamento, nem mesmo infinitesimal.. Aplicar métodos de análise matemática para encontrar o mínimo de uma função, ou seja, encontrar o ponto estacionário (anular as derivadas parciais da energia potencial segundo parâmetros de deformações) e confirmar que o valor da energia potencial neste ponto atinge o seu mínimo. Quando a posição final da estrutura depender de 1 parâmetro, será necessária 1 derivada ordinária que formará 1 equação para 1 incógnita. ara confirmação que o equilíbrio é estável, basta verificar que a segunda derivada no ponto estacionário é positiva. ara mais parâmetros é necessário efectuar derivadas parciais segundo cada parâmetro e resolver o sistema de equações. A verificação da propriedade do mínimo é mais complicada e usa o diferencial total da função. Neste contexto não será possível usar apenas a definição do trabalho elementar, porque, como dito acima, os deslocamentos e as rotações serão finitos. Como o trabalho tem a propriedade sumativa, o trabalho total numa trajectória finita equivale à soma dos trabalhos elementares. or isso, pode escrever-se: B B d F dr A A Quando a força é constante (as suas componentes não dependem da posição) e a trajectória é recta e finita, o trabalho da força equivale ao trabalho desta força realizado no deslocamento que representa a trajectória e pode ser exprimido na sua forma vectorial. or exemplo, em D, o trabalho da força F,3 N realizado numa trajectória u AB B 4, 3, e por isso u AB B A 4, 3 equivale a Fu J, onde 0,0 A e

2 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 ode-se comprovar matematicamente que para as forças constantes, o valor do trabalho depende apenas da posição inicial e final do ponto de actuação da força, ou seja, o valor do trabalho não se altera, alterando a trajectória. Esta propriedade pode ser deduzida matematicamente, mas a mesma propriedade está atribuída às forças conservativas cujo significado físico será explicado em seguida. Usa-se igualmente neste contexto o termo potencial, ou seja, as forças conservativas são aquelas que têm o potencial, ou seja, aquelas para as quais existe uma função escalar U tal que B A B A d F dr U B U A U U U e por isso Fx, F y, Fz. x y z dxt Assumindo que as posições dependem do tempo, ou seja, que dx dt e analogamente dt para outros termos B B B B U dx U dy U dz du d F dr dt dt U B U A x dt y dt z dt dt A A A A As condições necessárias e suficientes para a existência do potencial são F F x y U Fx F z U Fy F z U,, y x xy z x xz z y yz Voltando ao problema simples em D, o cálculo anterior F u J pode ser interpretado como o trabalho da componente horizontal na trajectória horizontal C 4,0, ou seja 4 positivo, porque os sentidos são iguais; e o trabalho da AC, onde componente vertical na trajectória vertical CB, ou seja 33, mas juntando o sinal negativo, porque os sentidos são opostos. Analogamente, o trabalho do momento num ângulo finito equivale à soma dos trabalhos elementares, tal como no caso anterior.

3 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Energia potencial das forças externas A energia potencial das forças externas equivale ao negativo do trabalho mecânico no sistema conservativo. Visto que nesta parte da matéria não serão considerados outros sistemas que conservativos, a energia potencial das forças aplicadas poder-se-á determinar como o trabalho dessas forças, adicionando posteriormente o sinal negativo. Como as forças serão conservativas, o trabalho não dependerá do caminho percorrido pelas forças, apenas dependerá das posições inicial e final. or outras palavras, para o cálculo será possível utilizar a trajectória mais vantajosa (mais simples). A energia potencial na realidade corresponde à subtracção de valores de dois níveis, por outras palavras, para definir a energia potencial é necessário definir o nível zero, ou seja, o nível em que a energia potencial tem o valor nulo. Este nível é da nossa escolha. Exemplo: trabalho do peso Levantando um objecto da superfície para o nível h, o peso deste objecto mg, realiza um trabalho negativo mgh. or isso a energia potencial é positiva mgh e pode ser libertada deixando o objecto cair para a superfície. O valor da energia potencial dependeu do nível zero, ou seja, admitimos o nível da energia potencial na superfície como zero. Mas poderia arbitrarse outro valor. O valor de energia potencial seria depois a diferença entre os níveis final e inicial. Visto que o termo trabalho já foi explicado e praticado, torna-se mais simples determinar a energia potencial das forças externas como trabalho negativo. Molas As molas classificam-se em: molas lineares e rotacionais. As molas lineares resistem às forças aplicadas na sua direcção, as molas rotacionais resistem aos momentos. Mola linear A mola linear é um elemento estrutural flexível que resiste principalmente às forças aplicadas na sua direcção. Aplicando por exemplo uma força de compressão F, esta provocará um deslocamento u. Fazendo dois cortes na mola, verifica-se que o equilíbrio com a força aplicada assegura uma força interna da mola. Esta força designa-se a força elástica ou a força de restituição. ara caracterizar esta força, introduz-se um valor, K, que se chama a rigidez da mola. A rigidez da mola define a força elástica para o deslocamento unitário.

4 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Assim a força elástica é definida por Ku Fe e a unidade da rigidez da mola é [N/m]. A rigidez da mola corresponde assim ao declive do gráfico força elástica-deslocamento. Nota-se que a força elástica actua sempre contra a força aplicada, e por isso o seu trabalho é sempre negativo. Como a força elástica depende do deslocamento imposto, o trabalho tem que ser calculado pela integração. u1 u 1 F du Kudu K u u u1 u e u1 u1 1 Ou seja, o trabalho realizado pela força elástica entre as posições deformadas correspondentes a u 1 e u, equivale à área tracejada, com sinal negativo. A energia potencial, neste caso denominada também como a energia de deformação, corresponde à energia acumulada na mola e é sempre positiva. Basta imaginar que se a força aplicada for de compressão (tracção), a mola vai estar sujeita à compressão (tracção), diminui o seu comprimento-encurta (aumenta o seu comprimentoalonga), mas depois de libertar a força aplicada a mola volta à sua posição inicial, indeformada, ou seja liberta a energia acumulada, e por isso a energia acumulada foi positiva. Recorda-se que é necessário imaginar este processo como lento, sem envolvimento das massas, para não originar alguma vibração. Mola rotacional Analogamente, pode-se concluir que as molas rotacionais acumulam sempre a energia potencial (energia de deformação) e o valor é dado por 1 u 1 M d K d K 1 e 1 u1 O momento elástico é dado por K Me 1 e a rigidez da mola rotacional K corresponde ao momento elástico quando a mola está sujeita a uma rotação de 1 radiano. A rigidez tem a unidade do momento, ou seja [Nm]. Sublinha-se que para os efeitos de cálculo o ângulo imposto tem que ser introduzido em radianos. ode-se concluir que nos problemas desta parte da matéria as forças externas tratam-se separadamente das molas. ara a resolução é necessário escolher uma posição do mecanismo inicial, de forma arbitrária, que não envolve o parâmetro de deformação incógnito. O trabalho exprime-se como o trabalho das forças no caminho efectuado da posição inicial para a final. A contribuição das molas pode-se introduzir directamente ao valor da energia potencial. Esta

5 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 contribuição será sempre positiva. ara a mola linear (rotacional) a fórmula utilizada envolve metade da rigidez, vezes a variação do comprimento (variação do ângulo) ao quadrado. A variação do comprimento (do ângulo) tem sempre que envolver a subtracção das posições final e não-deformada, independentemente da posição inicial que foi utilizada para o cálculo do trabalho das forças externas. Em analogia, a posição inicial do mecanismo é arbitrária, não tendo nada a ver com a posição indeformada das molas. Assim a energia potencial total será composta pela energia de deformação das molas e pela energia potencial das forças externas que entra na fórmula como negativo do trabalho. A qualidade do equilíbrio O equilíbrio classifica-se em: estável, indiferente e instável. O significado físico pode-se facilmente associar ao comportamento de uma esfera (veja a figura abaixo). Uma esfera numa cavidade depois de ser deslocada e libertada, volta à sua posição inicial, isso significa que a esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio estável. Uma esfera numa superfície horizontal depois de ser deslocada e libertada, fica na posição deslocada, isso significa que a esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio indiferente. Uma esfera no topo da superfície circular, depois de ser deslocada e libertada, continua a mover-se até encontrar outra posição do equilíbrio, isso significa que a esfera esteve na sua posição inicial na posição do equilíbrio instável. Em analogia pode-se assumir que a forma da função de energia potencial corresponde à superfície analisada, nomeadamente na posição do equilíbrio estável a função de energia potencial atinge o seu mínimo (local) e na posição do equilíbrio instável a função de energia potencial atinge o seu máximo (local). Na posição do equilíbrio indiferente, a função é localmente constante. A determinação da qualidade de equilíbrio seguirá procedimentos de análise matemática. ara uma variável de deformação basta confirmar a segunda derivada. Se a segunda derivada na posição estacionária for positiva, o equilíbrio é estável, se for negativa, é instável, se for nula, é preciso analisar as derivadas de ordem maior. Se todas as derivadas de ordem maior forem nulas, então o equilíbrio é indiferente. O gráfico da função pode ajudar nesta análise, basta imaginar o gráfico coincidente com a superfície pela qual pode mover-se uma esfera e fazer a análise que foi descrita acima. roblema Uma barra esbelta de comprimento L está ligada a um cursor em B e repousa sobre uma superfície cilíndrica de raio r. Desprezando o atrito e o peso da barra, determine o valor de correspondente à posição de equilíbrio do mecanismo quando

6 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 L=00mm, r=60mm, =40N e Q=80N. Use o princípio do mínimo da energia potencial. Confirme que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável. Resolução Neste caso apenas as forças externas estão aplicadas e não existe nenhum elemento de mola. ara determinar o trabalho das forças externas é necessário escolher uma posição do mecanismo chamada inicial, que não depende do ângulo. Esta posição pode ser aquela em que a barra está na posição vertical. r final Lsin r cos L 1cos inicial Q Q Verifica-se que a força na trajectória percorrida da posição inicial para a final realizou o trabalho positivo, porque a força é vertical e actua no mesmo sentido como o deslocamento vertical: L 1 cos A força Q fez o trabalho negativo, porque actua no sentido contrário do deslocamento horizontal 1 Q Qr 1 cos Em resumo, a energia potencial é dada por: 1 V Q L1 cos Qr 1 cos A condição do extremo dita: sin Qr Lsin Qr 0 sin 0º ou cos 0, 6 39, º d cos L Da definição do problema verifica-se que o ângulo tem que estar no intervalo de 0,90º e por isso a solução encontrada é fisicamente possível. Vê-se que a equação acima tem mais soluções, mas as outras soluções não são fisicamente possíveis. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como: equilíbrio instável equilíbrio estável ode-se assim confirmar visualmente que na solução encontrada 39, º 0, 685rad há equilíbrio estável e na posição de 0º o equilíbrio é instável. Não existem mais posições especiais no intervalo de 0,90º.

7 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada. A primeira derivada (à esquerda) indica a solução encontrada ( 39, º 0, 685rad ) e também a posição de ângulo zero como estacionária. A segunda derivada (à direita) indica que a posição encontrada 39, º 0, 685rad corresponde ao equilíbrio estável (valor positivo) e que a posição zero ao equilíbrio instável (valor negativo). Numericamente: sin 1 L cos Qr Qr 3 d cos cos d V d V 0 3, e 39,º 8,6 d d Destaca-se que não foi incluída unidade dos números acima por ser indiferente. Destaca-se igualmente que a posição inicial representou o equilíbrio instável por coincidência, em geral a posição inicial não costuma ser a posição do equilíbrio. É igualmente importante ver que se for Qr 1, não existe nenhum ângulo que verificava uma posição estacionária, excepto da L posição zero, e por isso o problema teria somente uma solução, desta vez estável. O gráfico da função V para o caso em que a força Q é dez vezes maior, visualiza-se abaixo. Verifica-se que nenhuma posição corresponde a um máximo ou mínimo (local) excepto do zero. equilíbrio estável Em casos mais complicados, é possível usar o produto interno para calcular o trabalho das forças externas. ara isso é necessário introduzir um referencial para se poderem definir os vectores. A posição do referencial é completamente arbitrária. Admitindo o referencial na posição indicada abaixo y A r final Lsin r cos A L 1cos inicial Q Q B B x

8 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 O vector da força 0, realiza o trabalho no caminho definido pelo r 1 AA A A Lsin, Lcos r, L r 1 Lsin, Lcos 1 cos cos cos 1 1 cos AA L L que coincide com a relação definida anteriormente. O vector da força Q Q,0 realiza o trabalho no caminho definido pelo r 1 BB B B,0 r,0 r 1,0 cos cos 1 Q Q BB Qr 1 cos que coincide com a relação definida anteriormente. Sublinha-se mais uma vez que a posição inicial foi arbitrária e não dependeu do ângulo. Devido à derivada segundo o usada na resolução do problema, a contribuição da posição inicial ficou anulada, no entanto a sua importância está no facto de permitir introduzir as quantidades que definem a posição final (de equilíbrio) com sinais e valores correctos. roblema Uma carga de 500N é aplicada ao mecanismo representado no ponto C. Sabendo que a mola se encontra indeformada quando 15º, determine o valor de correspondente ao equilíbrio. Considere r=150mm, L=500mm e k=8000n/m. Use o princípio do mínimo da energia potencial. Confirme que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o peso das partes envolvidas. Resolução: Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial do mecanismo, que não depende do ângulo. ara o caso representado na figura ao lado tem-se: L 1 cos final inicial L 1cos ara determinar este valor vectorialmente, tem que se introduzir um referencial. ara o caso representado na figura ao lado tem-se:

9 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 O vector da força 0, caminho definido pelo realiza o trabalho no y A inicial Lsin, L cos 1 sin, cos 0, AA A A L L L final A cos 1 1 cos AA L L x que coincide com a relação definida anteriormente. A contribuição da mola pode-se determinar somente como o valor da energia potencial de deformação acumulado na posição final, que está assim sempre relacionado à forma da mola indeformada, ou seja a mola está na posição final alongada pelo comprimento do arco que corresponde ao ângulo 15 que é r 180 porque a posição indeformada corresponde ao ângulo de 15º. Sublinha-se que para o cálculo do comprimento de um arco os ângulos têm que ser introduzidos em radianos. Sublinha-se igualmente que um alongamento sobre uma superfície circular não faz da mola uma mola rotacional, a mola é linear, tal como desenhado. O valor da energia potencial da mola é Vmola 1 15 kr 180 Na realidade seria mais correcto considerar a subtracção de dois níveis, inicial e final. Na posição inicial a mola tinha já acumulado o valor V 1 15 mola, inicial kr E por isso dever-se-ia utilizar Vmola, final Vmola Vmola, inicial kr kr No entanto o valor V mola, inicial não afectará o resultado, porque não depende do valor do ângulo e por isso seria eliminado depois de derivado. Neste caso, ao contrário do trabalho das forças, o valor inicial não está a ajudar de maneira nenhuma à determinação do valor da energia acumulada na posição final, por isso pode ser omisso desde o início. Isso implica que a posição inicial utilizada para o cálculo do trabalho das forças pode ser arbitrada sem qualquer ligação à posição indeformada das molas. Em resumo, a energia potencial é dada por: 1 15 V Vmola L1 cos kr 180 A condição do extremo dita: 15 Lsin kr 0 d 180

10 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se que o ângulo pode tomar valores no intervalo de 0,180º, depois a mola não enrolava sobre a superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como: equilíbrio estável ode-se assim confirmar visualmente que existe uma solução no intervalo admissível que corresponde à posição do equilíbrio estável. Esta solução é única. Numericamente 1, 647rad 94,3º que está dentro de 0,180º e por isso a solução encontrada é fisicamente possível. Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada. A primeira derivada (à esquerda) indica a única solução encontrada: 1, 647rad 94,3º. A segunda derivada (à direita) indica que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável porque a segunda derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente: d V d V L cos kr 94,3º 198,96 d d Realça-se que a posição inicial era arbitrária, podia-se igualmente usar por exemplo a posição da figura ao lado, ou qualquer outra. ara a figura ao lado, verificase que a força faz trabalho negativo: Lcos Comparando este valor com o valor anterior, confirma-se que o termo que envolve o ângulo é exactamente igual, inclusive o sinal. or esta razão a sua contribuição à derivada da energia potencial será igual como no cálculo anterior. final Lcos inicial

11 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 roblema No ponto C do mecanismo representado aplica-se uma força F de 00N e de 150N. A constante da mola é k = 000N/m, e a mola encontra-se indeformada quando 0. Determine o valor de correspondente ao equilíbrio. Use o princípio do mínimo da energia potencial. Confirme que a posição encontrada corresponde ao equilíbrio estável. Despreze o peso das partes envolvidas. Considere r=100mm e L=500mm. Resolução: Efeito da força externa: para introduzir o trabalho realizado pela força externa é preciso arbitrar alguma posição inicial do mecanismo que não depende do ângulo. ara o caso representado na figura ao lado tem-se: Lcos inicial F FL1 sin A contribuição da mola pode-se determinar como o valor da energia potencial de deformação acumulado na posição final, final que está relacionado à forma da mola indeformada, ou seja a mola está na posição final alongada pelo comprimento do arco que corresponde ao ângulo que é r. O valor da energia potencial da mola é 1 Vmola kr Em resumo, a energia potencial é dada por: 1 V F Vmola L cos FL1 sin kr A condição do extremo dita: Lsin FL cos kr 0 d A equação acima só pode ser resolvida numericamente. Da definição do problema verifica-se que o ângulo pode estar no intervalo de 0,180º, depois a mola não enrolava sobre a superfície. O gráfico da função V ( em radianos) visualiza-se como: F equilíbrio estável

12 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 ode-se assim confirmar que existe uma única posição do equilíbrio estável. Numericamente pode-se resolver est 1,905rad 109,1º que está dentro do intervalo de valores admissíveis de 0,180º. Na análise pode ainda ajudar o gráfico da primeira e da segunda derivada. A primeira derivada (à esquerda) indica a solução estacionária encontrada. A segunda derivada (à direita) indica que esta posição corresponde ao equilíbrio estável porque a segunda derivada tem neste lugar o valor positivo. Numericamente: d V d V L cos FLsin kr 109,1º 139,05 d d roblema Determine a energia potencial do sistema da figura ao lado na posição que corresponde a uma rotação pelo ângulo finito no sentido horário. Considere que a posição visualizada na figura corresponde ao nível zero e que as molas rotacional e linear estão nesta posição indeformadas. Resolução A energia potencial será determinada como a soma de todas as contribuições. O peso da barra AB: 0,3 O ângulo inicial é definido por arctan 0,4 Assim o trabalho do peso é: AB sin sin AB ABhAB AB AB AB sin 0,15 AB 0, sin 0,15 1cos k B A 0,3 D C r D 0, 4 0, 4 m B AB 0,1 AB A A h AB k

13 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 O peso da barra BC: BC sin BC BC O peso do disco D: CD 1 cos BC sin D D D 0,1 1cos 0,8sin A mola rotacional: 1 Vk k A mola linear: 1 Vk k BC sin 0,3k sin A energia potencial total do Sistema: V V V k k AB BC D k B BC BC D C D D CD cos BC sin

14 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Força crítica Em alguns casos acontece que uma estrutura está em equilíbrio e este facto não depende do valor da força aplicada. Os casos mais comuns envolvem estruturas rectas com a carga aplicada no seu eixo. Nestes casos é possível considerar o valor da força como parâmetro e usando a metodologia explicada na parte anterior, é possível analisar a qualidade do equilíbrio como função do valor da força aplicada. Assim é possível definir o valor da força que faz a separação entre o equilíbrio estável e instável, ou seja o valor da força para a qual a segunda derivada de energia potencial na posição do equilíbrio é nula. Depois, para as forças menores o valor da segunda derivada é positivo e o correspondente equilíbrio é estável; e para as forças maiores o valor da segunda derivada é negativo e o correspondente equilíbrio é instável. A força que faz esta separação chama-se a força crítica. Como explicado anteriormente, a avaliação do equilíbrio pode-se fazer da seguinte maneira: aplica-se um impulso, ou seja, desloca se a estrutura da sua posição do equilíbrio, e depois liberta-se. Se depois desta libertação voltar à sua posição inicial, o equilíbrio é estável. Da mesma maneira é necessário proceder na parte de cálculo. O impulso, ou seja, a introdução da posição deformada deveria envolver deslocamentos finitos, no entanto basta considerar os deslocamentos pequenos, mas não infinitesimais, porque a forma indeformada corresponde ao parâmetro nulo. Este facto é de extrema importância. Com deslocamentos infinitesimais não se consegue determinar a força crítica, porque as funções trigonométricas dos ângulos infinitesimais envolvem apenas o primeiro termo da expansão Taylor e assim apenas os termos de ordem máxima 1 (lineares). Usar estes termos no TV é aceitável, porque no trabalho virtual não há termos quadráticos. No entanto, usar estes termos juntamente com a energia potencial em que a energia de uma mola rotacional envolve o ângulo com expoente (termo quadrático), já não é possível porque depois o trabalho e a energia formavam termos de ordem diferente. or esta razão tem que se adicionar mais termos na expansão Taylor, até envolver os termos quadráticos. Em resumo, as funções trigonométricas que correspondem aos deslocamentos pequenos, mas não infinitesimais, podem simplificar-se: sin e cos 1 Isso alterou a simplificação da função co-seno, mas não a função do seno, porque o termo com expoente na expansão do seno é nulo. roblema Considere a estrutura visualizada na figura abaixo. Determine o valor da força crítica do sistema, considerando as molas indeformadas na posição mostrada. Examine outras posições de possível equilíbrio. k dados: k 15 kn / m, k 0kNm, L m

15 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Resolução L L A posição deformada visualiza-se acima, devido à simetria a deformada é simétrica. Devido às deformações não infinitesimais, é necessário manter os comprimentos das barras inalterados. O trabalho das forças aplicadas é: L1 cos L1 1 L A energia potencial do sistema é: V L k k Lsin L k kl É de notar que a mola rotacional acumula a energia que correspondente ao ângulo de, que é o ângulo relativo entre as barras na posição deformada. A primeira derivada é: L 4k kl d Verifica-se que a única posição de equilíbrio é a posição 0 tal como assumido. Desta expressão é impossível encontrar outras posições de equilíbrio, porque é válida apenas para ângulos pequenos perto do zero. A segunda derivada é: L 4k kl d A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja 4k kl crit 35kN L Nota-se que o valor da força é positivo. Na realidade este problema só ocorre nas estruturas sujeitas à compressão. Se a força for de sentido oposto, o equilíbrio seria estável para qualquer valor da força. ode-se ainda analisar o gráfico da segunda derivada da energia potencial em função da força aplicada.

16 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 017 Vê-se que a função é linear e decrescente. Isso confirma que para as forças menores de d 35kN, mesmo com o sinal negativo que corresponderia às forças de sentido oposto, ou seja, de tracção, o equilíbrio é estável. ara as forças maiores que 35kN o equilíbrio é instável. Realça-se que a simplificação introduzida nas funções trigonométricas não era obrigatória. oder-se-ia proceder sem simplificações, o que apenas complicava as derivadas, mas não alterava o resultado. A formulação completa permitiria analisar outras posições de equilíbrio além da forma assumida de 0. Neste caso: 1 1 V L 1 cos k k Lsin Lsin 4k kl sin cos d Confirma-se que a posição 0º corresponde a uma posição estacionária, no entanto também para um dado valor da força, pode existir outra posição de equilíbrio. Admitindo por exemplo 33kN< crit, 4,73º é também estacionário. A segunda derivada: L cos 4k kl cos sin d Admitindo a posição analisada 0º 0 L 4k kl d Que corresponde à relação anterior e por isso o valor da força crítica será novamente de 35kN. Admitindo a outra posição 4,73º 1, 1 0 d ode-se concluir que esta posição corresponde ao equilíbrio instável. Neste problema, para forças maiores que crítica não existe outra posição de equilíbrio. Os ângulos que resolvem a equação são maiores que 90º, o que é fisicamente impossível. roblema Considere a estrutura visualizada na figura ao lado. Determine o valor da força crítica do sistema, considerando as molas indeformadas na posição mostrada. O apoio móvel na extremidade da mola assegura que a mola vai ficar sempre na posição horizontal. L k Resolução A energia potencial do sistema é: k

17 Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, V L1 cos k sin k L L k kl A primeira derivada é: L k kl d Verifica-se que a posição de equilíbrio é a posição 0º tal como assumido. Desta expressão é impossível encontrar outras posições de equilíbrio, porque é válida apenas perto do zero. A segunda derivada é: d L k kl A força crítica corresponde ao valor nulo, ou seja crit k kl L L L k k