Vetores. Toda grandeza vetorial possui:

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1 Vetores Vetores são ferramentas matemáticas usadas para representar grandezas físicas como deslocamento, força, velocidade e aceleração. Existem grandezas que não precisam de mais que seus valores para serem compreendidas como altura, temperatura, peso (como medida da balança) estas são grandezas ditas escalares. Grandezas vetoriais necessitam de direcionamento para serem completamente compreendidas. Toda grandeza vetorial possui: Módulo: É o valor da grandeza física. Exemplo: 5 m/s, 2 Kg, 1 m/s². Direção: Determina o plano que contém a grandeza, pode ser horizontal, vertical ou diagonal. Sentido: Determina o destino da grandeza. Exemplo: um deslocamento para o norte, uma força puxa o corpo para a direita. 10 m/s Direção: Horizontal Sentido: O vetor aponta para o leste Módulo: O tamanho do vetor determina seu valor, neste caso é um vetor velocidade de valor 10 m/s Representação de grandezas vetoriais Para diferenciar das grandezas que não precisam de orientação (escalares) usamos uma seta no topo da letra que representa a grandeza vetorial, a seta aponta sempre para a direita e não tem nenhuma outra função além de mostrar que aquela grandeza precisa de orientação para ser compreendida. Seguem alguns exemplos

2 a F v d Aceleração Força Velocidade Deslocamento Relação entre vetores Sempre que dois ou mais vetores atuam em um corpo é possível determinar o efeito final da aplicação de todos eles juntos, este efeito será representado pelo vetor resultante: 1º Caso: Vetores com a mesma direção e sentido F 1 = 3 N F 2 = 4 N Neste caso os vetores estão ajudando um ao outro, o efeito final será uma força maior que qualquer uma das forças aplicadas. F Resultante = F 1 + F 2 F Resultante = F Resultante = 7 N Explicando os detalhes Perceba que quando substitui os módulos (valores) dos vetores retirei a notação vetorial da força resultante, ela não se faz necessária já que estou calculando apenas seu valor, uma outra alternativa seria usar a notação para módulo, duas barrinhas na vertical que envolvem a grandeza F Resultante, neste caso não seria necessário retirar a notação de grandeza vetorial mesmo ao se calcular seu valor.

3 F 1 = 3 N F 2 = 4 N F Resultante = 7 N O efeito da aplicação das duas forças é idêntico ao de aplicar uma força de 7 N com a mesma orientação do vetor resultante. 2º Caso: Vetores com a mesma direção mas sentidos opostos F 1 = 3 N F 2 = 4 N Neste caso os vetores estão atrapalhando um ao outro, o efeito final será uma força menor que qualquer uma das forças aplicadas. F Resultante = F 2 F 1 F Resultante = 4 3 F Resultante = 1 N Explicando os detalhes A subtração pode sempre ser feita da forma subtraindo o maior vetor do menor desde você se atente para o fato de que o vetor resultante sempre estará orientado para o lado do maior vetor. F 1 = 3 N F Resultante = 1 N F 2 = 4 N O efeito da aplicação das duas forças é idêntico ao de aplicar uma força de 1 N com a mesma orientação do vetor resultante.

4 3º Caso: Vetores perpendiculares entre si F 1 = 3 N F 2 = 4 N Neste caso os vetores o efeito final será uma força orientada na diagonal. O vetor resultante seria calculado através de: (F R ) 2 = (F 2 ) 2 + (F 1 ) 2 (F R ) 2 = (4) 2 + (3)² (F R ) 2 = (F R ) 2 = 25 F R = 25 = 5 N O efeito da aplicação destas duas forças pode ser representada a seguir: F 1 = 3 N F Resultante = 5 N F 2 = 4 N Uma outra maneira de representar o mesmo resultante seria: F Resultante = 5 N F 1 = 3 N F 2 = 4 N O efeito da aplicação das duas forças é idêntico ao de aplicar uma força de 5 N com a mesma orientação do vetor resultante.

5 Nos exemplos foram usadas forças como vetores e encontramos a força resultante, poderíamos usar velocidades para achar velocidade resultante, deslocamento para achar deslocamento resultante e assim por diante. Podemos criar uma regra geral para se determinar um vetor resultante com base na orientação Antes de determinarmos o vetor resultante note que apesar do valor dos vetores não terem sido explicitados é possível contar pelos quadradinhos a influência dos vetores em cada eixo. Por exemplo: Se cada quadradinho tiver o valor de 1 N o vetor A ocupa, na vertical, 3 quadradinhos logo sua influência na vertical é de 3 N, já na horizontal ele ocupa 4 quadradinhos o que representa uma influência de 4 N na horizontal (isso te lembra de algo?). A influência dos vetores em cada direção costuma ser chamada de componente do vetor naquele direção. Uma vez que se conheça os valores das componentes de um vetor é possível calcular seu valor utilizando sempre o 3º caso de vetor resultante: Calculando o valor do vetor A : Você pode calcular o valor do vetor B? (A) 2 = (A horizontal ) 2 + (A vertical ) 2 (A) 2 = (4) 2 + (3) 2 (A) 2 = A = 25 = 5 N

6 Agora encontrando o vetor resultante, a ideia é mover o vetor B de forma que sua origem coincida com a extremidade do vetor A. Agora, a partir da origem do vetor A traçamos um terceiro vetor até a extremidade do vetor B.

7 O vetor C representa o vetor resultante formado pelos vetores A e B, está é uma regra geral que é capaz de determinar o vetor resultante em qualquer caso e com qualquer número de vetores. Exercícios resolvidos (Tente resolver os exercícios antes de ver a resolução) Questão 1: Perdido na mata uma militar sabe que seu acampamento está 4 km ao norte e 3 km a leste da sua posição atual, percebendo que uma tempestade se aproxima ela faz cálculos para determinar o melhor trajeto para chegar ao acampamento rapidamente. Quanto a situação descrita responda: a) Quais as características do vetor que representa este trajeto? b) Qual a redução do deslocamento em relação ao caminho conhecido pela militar? Resolução a) Representando a situação usando a regra geral para determinação do vetor resultante: Esta situação se encaixa no 3º caso portanto o vetor deslocamento resultante seria: (d R ) 2 = (d 2 ) 2 + (d 1 ) 2

8 (d R ) 2 = (4) 2 + (3)² (d R ) 2 = (d R ) 2 = 25 d R = 25 = 5 Km Logo o vetor resultante tem direção diagonal, sentido nordeste e módulo 5 km. b) Percorrendo o caminho lembrado ela percorreria 7km (4 + 3) já pelo vetor resultante seriam 5 km logo a militar reduziria seu trajeto em 2 km. Questão 2: Um bloco está sob a ação de 5 forças e a F 1 está orientada exatamente na diagonal dos vetores F 2 e F 5 conforme a figura a seguir ilustra: Quais as características da força resultante que atua no bloco (módulo, direção e sentido)? Resolução Primeiramente vamos usar os casos 1 e 2 para simplificar o sistema: F 5 F 3 = 5 2 = 3 N F 1 = 5 N F 2 F 4 = 7 3 = 4 N

9 Agora aplicando o 3º caso aos vetores perpendiculares: 3 N F Resultante F 1 = 5 N 4 N (F R ) 2 = (4) 2 + (3)² (F R ) 2 = (F R ) 2 = 25 F R = 25 = 5 N Logo o sistema ficará: F Resultante = 5 N F 1 = 5 N Aplicando o caso 1 o vetor resultante total será: F Resultante TOTAL = = 10 N Então o vetor resultante será uma força de módulo 10 N, direção diagonal, sentido nordeste.

10 Questão 3: Na figura a seguir um transatlântico navega com velocidade definida pelo vetor de direção vertical amarelado, o vetor avermelhado representa a velocidade com que o vento perturba o movimento da embarcação e o vetor esverdeado representa a velocidade de uma corrente marítima existente nesta região. Determine a direção, o sentido e o módulo do vetor velocidade do transatlântico considerando que cada quadradinho tem lado 1 m/s. Resolução A velocidade do barco (vetor amarelado) vale 3 m/s e aponta para o norte, a do vento (avermelhado) tem valor 3 m/s e aponta para o oeste e a corrente marítima (esverdeado) tem valor 2 m/s na vertical e 2 m/s na horizontal (já analisando as influências do vetor em cada direção). Separando as componentes (influências) da velocidade da corrente marítima:

11 Agora é fácil simplificar a situação e perceber que: A velocidade resultante na vertical terá módulo 1 m/s na direção vertical e sentido norte (3 m/s do motor subtraídos de 2 m/s do vento) A velocidade resultante na horizontal terá módulo 1 m/s na direção horizontal e sentido oeste (3 m/s do vento subtraídos de 2 m/s do vento) Por fim podemos relacionar as velocidades usando o 3ºcaso:

12 V R 1,41 m/s

13 O vetor resultante de preto pode ser calculado através do teorema de Pitágoras: V R 2 = V R 2 = 2 V R = 2 1,41 m/s Exercícios Exercício 1: Três forças de valores F 1, F 2 e F 3, respectivamente iguais a 6 N, 2 N e 3 N atuam em um mesmo corpo. Determine o valor, a direção e o sentido do vetor força resultante. Exercício 2: Após sair da escola, situada no ponto A, um grupo de estudantes caminha em direção à estação de metrô, no ponto B. Considerando que cada vetor represente um deslocamento de 10 metros calcule o valor do vetor deslocamento, em metros, resultante entre os pontos A e B. Exercício 3: Os blocos a seguir estão sob ação de diversas forças, simplifiqueas e calcule o módulo da força resultante em cada caso.

14 Exercício 4: Dois vetores a e b atuam em um objeto no ponto P, determine o valor, a direção e o sentido do vetor resultante. Exercício 5: No diagrama a seguir estão representados diversos vetores, julgue os itens quanto a relação entre eles. D A B C E F 1 ( ) A = B 2 ( ) C = A 3 ( ) E + B < A + D

15 4 ( ) E + F > B + C Exercício 6: Usando os vetores mostrados no quadro abaixo e considerando que o lado de cada quadradinho vale 1 m calcule e desenhe o que se pede: a) b + c b) c + d c) a + b + d d) a + e + c Exercício 7: No diagrama a seguir estão representados 10 vetores, calcule e represente o vetor resultante.