FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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1 Universidade Federal Fluminense Escola de Engenharia Disciplina: FENÔMENOS DE TRANSPORTE Aula 5 Hidrostática Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Engenharia Agrícola e Meio Ambiente) Elson Nascimento (Depto. de Engenharia Civil)

2 Aula 5 Hidrostática Estática dos fluidos Pressões Empuxo Forças hidrostáticas sobre superfícies planas Forças em tubulações curvas Equilíbrio de corpos flutuantes

3 Pressão

4 Estática dos fluidos (hidrostática) V x,y,z,t = 0 Forças d F dv = ρ dv dt Campo 0 Gravitacional: Contato Pressão: d F g dv = ρ g d F p dv = p ρ g p = 0 p = ρ g Viscosa: d F v dv = σ ij = 0 σ ij = μ dθ ij dt = μ u j x i + u i x j 0 x 1 = x x 2 = y x 3 = z u 1 = u u 2 = v u 3 = w

5 Estática dos fluidos (hidrostática) V x,y,z,t = 0 p = ρ g Gravidade orientada para -z : em z: p z = ρ g dp dz = ρ g dp = ρ g dz p 2dp = z 2ρ g dz p2 p 1 = z 2γ dz p 1 z 1 z 1 p 2 = p 1 z 1 z 2γ dz

6 Estática dos fluidos (hidrostática) Compressível: p 2 = p 1 z 2γ dz z 1 Incompressível: p 2 = p 1 γ z 1 z 2 dz p 2 = p 1 γ z 2 z 1 z 12 Obs: pressão manométrica: p m = p p atm

7 Estática dos fluidos (hidrostática) Incompressível: p 2 = p 1 γ z 2 z 1 p P = p A γ z P z A p atm h atmosfera Teorema de Stevin: p = p atm + γh γ = ρg A z z A Teorema de Pascal: p 1 = p 2 h fluido P z P

8 Estática dos fluidos (hidrostática) Dois fluidos p 2 = p 1 z 2γ dz z 1 p B = p A z CγA dz z A z BγB dz z C A z z A A... incompressíveis C z C p B = p A γ A z c z A γ B z B z C z AC z CB B z B B

9 Estática dos fluidos (hidrostática) Múltiplos (n) fluidos incompressíveis p n = p 0 γ 1 z 0,1 γ 2 z 1,2 γ n z n 1,n z 1 z 0 z 2 z 1 z n z n 1 1 p 0 z z 0 h 1 h 1 h 2 h n p n = p 0 + γ 1 h 1 + γ 2 h γ n h n p n = p 0 + ±γ k h k n +γ k h k 2 p 1 p 2 p n-1 z 1 h 2 z 2 z n-1 k=1 γ k h k γ = ρg n h n p n z n

10 Estática dos fluidos (hidrostática) Exemplo Na figura ao lado, a pressão manométrica em A é 1,5 kpa. Os fluidos estão a 20 C. Determine as elevações z, em metros, dos níveis dos líquidos nos piezômetros B e C (Dados: ar =1,2 kg/m³ ; gas =680 kg/m³ ; gli =1.264 kg/m³). p n =p 0 + n k=1 ±γ k h k +γ k h k γ k h k p B =p A + γ ar h AD γ gas h DB zb - zd 0 2m 1+1,5 = 2,5 γ = ρg 2,0 m Ar z A A B z B C z B = p A g + 2 ρ ar ρ gas + 2,5 z B = 2,7 m 1,5 m Gasolina z D z C 1,0 m Glicerina z E z

11 Estática dos fluidos (hidrostática) Exemplo Na figura ao lado, a pressão manométrica em A é 1,5 kpa. Os fluidos estão a 20 C. Determine as elevações z, em metros, dos níveis dos líquidos nos piezômetros B e C (Dados: ar =1,2 kg/m³ ; gas =680 kg/m³ ; gli =1.264 kg/m³). p n =p 0 + n k=1 z B = 2,7 m ±γ k h k +γ k h k p C =p A + γ ar h AD + γ gas h DE z C = 0 2m 1,5m γ k h k p A g + 2 ρ ar + 1,5 ρ gas ρ gli + 1 z C = 1,9 m 1 z C -z E γ gli h EC γ = ρg 2,0 m 1,5 m 1,0 m Ar Gasolina Glicerina z A z D A z E B z B C z C z

12 Empuxo

13 Empuxo: F 1 E = F 2 F 1 fluido F 2

14 Empuxo: de = df 2 df 1 df 1 de = p 2 da p 1 da = p 2 p 1 da z 1 h E = p 2 p 1 da S p 2 p 1 = z 1 z 2γ dz = γ z2 z 1 h fluido incompressível z 2 E = γ z 2 z 1 da = γ hda fluido df 2 S E = γ f V sub S Volume

15 Forças hidrostáticas sobre superfícies planas

16 Força hidrostática sobre superfície plana: Barragens Comportas Vertedouros outros... Disponível em < Acesso em 06/12/2016. Disponível em: < Acesso em 06/12/2016. Disponível em: < icas%20em%20comportas/>. Acesso em 06/12/2016.

17 Força hidrostática sobre superfície plana Superfície livre Fluido θ h CG h(x, y) F ξ CG CP x y da = dx dy Fonte: White (2001) Vista superior de uma superfície plana arbitrária

18 Força hidrostática sobre superfície plana Superfície livre Fluido F h(x, y) h CG ξ = h senθ θ F = = S S p da = p a da + S S p a + γh da γh da considerando fluido incompressível: F = p a S da + γ S h da h = ξ senθ Fonte: White (2001) CG CP Vista superior de uma superfície plana arbitrária x y = p a A + γ senθ da = dx dy S ξ CG = S ξ da ξ da A F = p a A + γh CG A = p a A + γ senθ ξ CG A h CG F = p CG A p CG = p a + γh CG A

19 Força hidrostática sobre superfície plana Superfície livre Fluido θ M F = M p F = p CG A h(x, y) h CG ξ = h senθ y ξ CG = = S S Fy CP = y p a + γh da y p a da + S S y p da h = ξ senθ y γ h da y CP CG CP x y da = dx dy = p a y CG = S S y da A y da + γ senθ = 0 = γ senθ ξ CG S S y da I xx y ξ da ξ = ξ CG y S y 2 da Fonte: White (2001) Vista superior de uma superfície plana arbitrária Fy CP = γ senθ I xx y CP = γ senθ I xx F

20 Força hidrostática sobre superfície plana Superfície livre Fluido θ F = p CG A h(x, y) h CG ξ = h senθ y ξ CG Resumo: y CP = γ senθ I xx F y CP CG y x CP = γ senθ I xy F x CP da = dx dy I xx = S y 2 da Fonte: White (2001) Vista superior de uma superfície plana arbitrária I xy = S xy da

21 Força hidrostática sobre superfície plana Momento de inércia de área Retângulo L L/2 CG y b/2 x I xx = bl3 12 I xy = 0 b s Triângulo CG y x L/3 L I xx = bl3 36 I xy = b b 2s L2 72 b/2 b/2

22 Força hidrostática sobre superfície plana Momento de inércia de área Círculo r r y CG x I xx = πr4 4 I xy = 0 Semicírculo y x I xx = π 8 8 9π r4 CG 4r 3π I xy = 0 r

23 Parede 4,6 m ρ = kg m 3 p a A p a Exemplo: A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. 1,8 m B θ 2,4 m Fonte: White (2001)

24 Parede p a Exemplo: 4,6 m ρ = kg m 3 F h CG A p a A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. B CP θ CG 0,9m 1,8 m 2,4 m CG Fonte: White (2001) CP

25 Parede p a Exemplo: 4,6 m ρ = kg m 3 F B CP h CG θ CG 2,4 m A 0,9m 1,8 m p a CG A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. a) F = p CG A h CG = 4,6 0,9 = 3,7m p CG = γ h CG = ρ g h CG = ,8 3,7 = 37,2 kpa Fonte: White (2001) CP F = p CG A = ,5 3 F = 167 kn

26 Parede p a Exemplo: 4,6 m ρ = kg m 3 F B CP h CG CG θ 0,9m A 1,8 m p a A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. a) b) F = 167 kn 2,4 m CG Fonte: White (2001) CP

27 p a Exemplo: ρ = kg m 3 F A P p a A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. a) F = 167 kn B x B CP θ CG 2,4 m 1,8 m ρg bl 3 b) M B = 0 12 = 1, =3,37 y CP = γ senθ Ixx F y CP = ,8 0,6 3, B y 1,8/3 = 0,6 = 0,12 m d F = 1,5 0,12 = 1,38 m Fonte: White (2001) M B = F d F + P d P = 0 P = F d F d P = ,38 1,8 P = 128kN

28 p a Exemplo: B x ρ = kg m 3 F B CP θ θ CG A 1,8 m P p a A comporta da figura ao lado possui 1,5 m de largura, é rotulada em B e se apoia na parede em A. Calcule: a) a força exercida na comporta pela água; b) a força horizontal P exercida pela parede na comporta em A; c) as reações na rótula B. a) b) c) F = 167 kn P = 128kN B y 2,4 m Fx = 0 F senθ + Bx P = 0 Bx = 27 kn Fy = 0 By F cosθ = 0 By = 134 kn Fonte: White (2001)

29 Forças hidrostáticas sobre superfícies curvas

30 p(y) da da x d F x = p da senθ = p da senθ = p da x F x = A x p da x p(y) A F x p(y) A x F x F y F

31 Forças horizontais: Deve haver equilíbrio entre as forças horizontais nos VCs 1 e 2. Portanto, no VC 2, a força exercida na superfície curva deve ser igual, em intensidade, a força no lado oposto, que corresponde à uma projeção horizontal da superfície curva num plano vertical. F H1 1 - F H1 Desta forma, o cálculo da força horizontal pode ser feito pela metodologia aplicada a superfícies planas, considerando como superfície a projeção. F H2 2 - F H2

32 Forças verticais: Na direção vertical, tem-se o peso dos VCs 1 e 2, com intensidade igual ao volume de cada um multiplicado pela massa específica do fluido. O ponto de aplicação das forças peso se localiza no centro geométrico dos respectivos VCs. CG 1 1 P A força vertical exercida na superfície curva será: 1 F V = P 1 + P 2 CG 2 2 P 2 F V

33 Forças hidrostáticas sobre tubulações curvas

34 Tubulação com curva 90 D i p i p e D e

35 Tubulação com curva 90 Projeções horizontais: p i p e Resultante da pressão interna p e p i p i p e p i p e Resultante da pressão externa Projeção da área externa para o exterior da curva Projeção da área interna para o exterior da curva Projeção da área interna para o interior da curva Projeção da área externa para o interior da curva

36 Tubulação com curva 90 Resultante das projeções horizontais: p i A i p e A e p i p e Resultante da pressão interna p i p e Resultante da pressão externa Normalmente, p i p e p i A i > p e A e

37 Tubulação com curva 90 Resultante das projeções horizontais: Força efetiva: F eff p i A i p e A e p i p e Resultante da pressão interna p i p e Resultante da pressão externa Normalmente, p i p e p i A i > p e A e

38 Tubulação com curva 90 Resultante das projeções horizontais e verticais: 2 F eff F eff F eff p i p e F eff = p i A i p e A e

39 Tubulação com curva Resultante das projeções horizontais e verticais: 2 1 cosθ F eff p i p e F eff = p i A i p e A e

40 Equilíbrio dos corpos flutuantes

41 Corpo flutuante: Centro de Gravidade (G): É o centro de gravidade de todo corpo flutuante (e.g.: embarcação). É o ponto de aplicação da força peso. Eixo de simetria Centro de carena (C ou B): é o centro de gravidade do volume deslocado de água, ou seja, do volume submerso substituído por água. É o ponto de aplicação da força de empuxo. Volume submerso G P E C

42 Corpo flutuante: Metacentro (M): É a interseção do eixo de simetria do flutuador com a direção do empuxo. Eixo de simetria Pequeno ângulo de θ perturbação M G E P C G C C Volume submerso

43 Corpo flutuante: Altura metacêntrica (GM): É a distância entre o Centro de Gravidade (G) e o Metacentro (M). É uma das características fundamentais no estudo da estabilidade, onde a partir dela podemos determinar, para pequenos ângulos o momento de estabilidade inicial. Eixo de simetria G G M M G C C C Momento restaurador Momento de viragem

44 Corpo flutuante: Altura metacêntrica: GM < 0 Instável GM = 0 Crítico GM > 0 Estável se o GM é negativo, o navio mantém um ângulo de adernamento crítico que, por si só, sugere pouca segurança. se o GM é muito pequeno ou nulo, o navio reagirá suavemente, tendo tendência a adormecer aos bordos; quanto maior for GM, maior será a estabilidade, ou seja, o navio reagirá mais energicamente quando desviado da sua posição de equilíbrio;

45 Corpo flutuante: Cálculo de GM para pequenos ângulos: GM I Vol 0 sub GC, onde I 0 é momento de inércia da área definida pelo perímetro molhado ao redor do corpo flutuante na altura da superfície d água (plano horizontal).

46 Soluções para estabilização : Aliviar pesos situados acima de CG: Seria uma situação de descarregamento Remover para baixo pesos acima de CG: Remover carga do convés para o porão ou também remover líquidos de tanques elevados para tanques de fundo duplo Adicionar pesos abaixo de CG: Estando no porto, esta é uma providência recomendável. Em viagem esta providência pode ser tomada enchendo com água salgada os tanques vazios de fundo duplo.

47 Exemplo: Uma barcaça tem uma seção transversal retangular uniforme de largura 2L e uma altura de calado H, como na figura abaixo. Se G estiver exatamente na altura na linha d água, determine: a) a altura metacêntrica para um pequeno ângulo de perturbação; e b) a faixa da razão L/H para a qual a barcaça é estaticamente estável. G C H L L

48 Aula 5 Hidrostática Estática dos fluidos Pressões Empuxo Forças hidrostáticas sobre superfícies planas Forças em tubulações curvas Equilíbrio de corpos flutuantes

49 BIBLIOGRAFIA: WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw- Hill, FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y., Tradução: LTC, 2014.

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