Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Exercício E2 - Solução. Mecânica dos Fluidos Ambiental I

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1 Universidade Federal do Paraná Mecânica dos Fluidos Ambiental I Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental 09- Exercício E - Solução Mecânica dos Fluidos Ambiental I Tobias Bleninger, Departamento de Engenharia Ambiental (DEA) Centro Politécnico, Prédio Administração, 3º andar, sala 3 Tutores de estagio docência: Rafael Bueno (rafael.bueno@ufpr.br), Lediane Marcon (lediane.engambiental@gmail.com) A lista de exercícios E contem partes: a) Laboratório 4. Trabalho em grupo. b) Teoria. Trabalho individual. Cada parte recebe nota e a nota E é a média dos dois. (Relatórios atrasados receberão a nota 0, os relatórios podem ser entregues na aula, deixados no escaninho, em baixo da porta ou entregue por colega de sala. Dos relatórios em grupo basta uma via. Os relatórios podem ser escritos manualmente ou usando softwares específicos. A parte teórica deve ser feita a mão.) Exercício E (Parte teórica) Este é a parte teórica da lista E. Esta parte deve ser resolvida individualmente. Não é permitido copiar. O Relatório corrigido será devolvido depois e contará para a nota final. Informações adicionais (software, livros, textos, etc.): Pontuação (preenchido pelo Professor): Boa sorte! Exercício Pontos Pontos Nota Soma 00 0,0

2 (0 pontos) Exercício : Considere um escoamento bidimensional nas direções x e y, no qual as componentes de velocidade para cada direção são, respectivamente, u(x, y, t) = aω e ky+i(kx ωt) ; v(x, y, t) = iaω e ky+i(kx ωt). a) Mostre que a massa é conservada no escoamento. u x + v? 0 y ikaω e ky+i(kx ωt) + ikaω e ky+i(kx ωt) = 0 b) Verifique se o escoamento é irrotacional. Ω = ( v x u y )? 0 +kaω e ky+i(kx ωt) kaω e ky+i(kx ωt) = 0 Resposta: o escoamento é irrotacional c) Se o sistema é irrotacional, obtenha a expressão do potencial de velocidade do escoamento, caso contrário, explique porque o escoamento não possuí potencial de velocidade. v(x, y, t) = ϕ(x, y) y ϕ(x, y) = iaω e ky+i(kx ωt) y ϕ(x, y) = iaω e i(kx ωt) e ky y ϕ(x, y) = iaω k e ky+i(kx ωt) + C(x) ϕ(x, y) u(x, y, t) = x aω e ky+i(kx ωt) = aω e ky+i(kx ωt) + C(x) x C(x) x = 0 C(x) = 0 (+) (+4) ϕ(x, y) = iaω k e ky+i(kx ωt) (5 pontos) Exercício : A Figura (vista em planta) mostra um conjunto de tubulações circulares conectadas. Na tubulação principal, com raio 5R, escoa um fluido com massa ρ e velocidade u = 0,96 m/s (velocidade observada na região à montante do escoamento apresentado na Figura ). Na seção A uma tubulação de raio R adentra o centro da tubulação principal e introduz um fluido (de massa específica ρ = 4ρ ) com velocidade u (= 9,79u ). Na seção B os fluidos já estão completamente misturados. O fluxo segue até uma contração, que reduz a tubulação à um raio 4R. Dado que a diferença de pressão na seção AB é P AB = P A P B = 4,34 ρ u, encontre o valor de H em metros considerando que o fluido manométrico tem massa específica ρ m = 8ρ. Siga os passos das alternativas para a solução completa do exercício:

3 Figura. Sistema de tubulação com fluidos com massa específica diferente a) Calcule a velocidade do fluido na seção A. ρ u A = ρ u A A A A 5R u A = u = 0,96 A A (5 )R = m/s b) Calcule a massa específica do fluido na seção B em função de ρ e da velocidade da mistura (considere que os fluidos e já estão completamente misturados na seção B). ρ u A A A + ρ u A A = ρ B u B A B ρ 4R + 4ρ 9,79u R = ρ B u B 5R c) Calcule a velocidade do escoamento na seção B. ρ B = 4 ρ u B u ρ u.da = F x d) Calcule a altura H no manometro. u A ρ u A 4R u A ρ u A R + u B ρ B u B 5R = F A F B ρ u A 4R 4ρ u A R + 4ρ u B 5R = (P A P B )5R 4ρ 4ρ u A + 00ρ u B = 5(4,34 ρ u ) 4 4u A + 00u B = 00 u B = 4 + 4(9,79u ) = 5,68 m/s 00 (+0) P B ρ B g + u B g + h B = P C ρ C g + u C g + h C P B P C = u C u B ρ B P BC 5,68 = u C 5,68 4ρ P BC = 4ρ (u C 5,68 ) 3,36 u C = u BA B A C u B A B = u C A C = 5,68 = 4,5 m/s 6 R 3 5 R

4 P BC = 4ρ (4,5 5,68 ) = 45,05ρ 3,36 ρ m g H = 45,05ρ H = 45,05 8 g = 0,5760 m = 57,6 cm (5 pontos) Exercício 3: A Figura mostra um projeto inacabado de um sistema de tubulação que captura água (ρ água = 000 kg/m 3 ) de um tanque extremamente longo com nível de água de 3,5 metros. A tubulação inicialmente (entre as seções B e C) possuí raio igual a R. Entre as seções C e F a tubulação sofre uma expansão (R =,5 R ). Logo em seguida, pricipalmente entre as seções F e G, a tubulação sofre uma contração, ficando mais fino do que a parte incial (R 3 = 0,75 R ). Entre as seções G e H ele ainda não foi dimensionado. Desconsidere todas as perdas. Sabendo que ao longo do tanque foram espalhados piezometros e tubos de Pitot e que o piezômetro incialmente terá nível de água na cota de 4,5 metros, determine: a) A velocidade na seção BC. P 0 ρ 0 g + u 0 g + h 0 = P ρ g + u g + h 5,5 = 4,5 + u g u = g = 4,43 m/s b) O nível de água no tubo de Pitot. Adicione o valor também no desenho. h pitot = 5,5 m c) O nível de água no piezômetro. Adicione o valor também no desenho. 5,5 = h piezom + u g h piezom = 5,5 u g (+4) (+) ρ u A = ρ u A A u = u = 4,43 R A R = 4,43 =,97 m/s,5 h piezom = 5,5,97 g = 5,3 m/s d) O nível de água no piezômetro 3. Adicione o valor também no desenho. h piezom 3 = 5,5 u 3 g ρ u A = ρ 3 u 3 A 3 A u 3 = u = 4,43 R A 3 R = 4,43 = 7,88 m/s 3 0,75 h piezom 3 = 5,5 7,88 g =,34 m (+3) e) O nível de água no tubo de Pitot. Adicione o valor também no desenho. h pitot = 5,5 m (+) 4

5 f) Sabendo que a pressão mínima recomendada para a conexão que será feita em H é 5000 Pa, calcule a cota máxima em que a tubulação pode ser contruida (seção entre GH) para que este critério seja atendido. Desenhe no gráfico a tubulação planejada. h min = P min =,53 m ρ 0 g h piezom 3 h min = 0,8 m (+3) Desenho (+) g) Com a tubulação completa, desenhe a linha de energia e a linha piezométrica na figura (levando em conta as distâncias verticais). Atenção, as zonas de transição devido as variações dos diâmetros é limitado as seções AB, CD, e EF. Linha de enegia (+) Linha Piezométrica (+4) Figura. Sistema de tubulações. (0 pontos) Exercício 4 Considere um tanque, de grande volume, contendo etanol. Uma pequena fração do volume será transferida para um recipiente utilizando uma mangueira com diâmetro de cm, conforme o esquema a seguir: 5

6 Dados: ρ etanol = 789 kg ; p m³ vapor gas = 5.95 kpa; P atm = 0.3 kpa Desconsidere efeitos do atrito entre a mangueira e o escoamento e determine: a) Velocidade do etanol na mangueira. Indique as simplificações assumidas. Qual seria a velocidade se o fluido no tanque fosse água? Simplificações (+) P A ρg + v A g + Z A = P B ρg + v B g + Z B v B = (gz A ) v B = ( 9,8 m s².5m) = 5.4 m/s (+3) A velocidade seria a mesma para outro fluido, já que não depende da massa específica. (+3) b) Determine a pressão na mangueira no ponto B; P C ρg + v C g + Z C = P B ρg + v B g + Z B P B = P C + ρg(z C Z B ) P B = 0300 Pa + (789 kg m³ 9.8 m s² ( 5.5m)) = Pa c) Qual a altura máxima possível de B para que o escoamento não seja interrompido? P C ρg + v C g + Z C = P B ρg + v B g + Z B Z B = P C P B + Z ρg C 0300 Pa 5950 Pa 789 kg m³ 9.8 m s² =.3 m (0 pontos) Exercício 5 Uma caixa de passagem de água possui as seguintes configurações: (+7) 6

7 Em que as setas indicam a direção do escoamento. Em A = A e V = V ; em 3 A 3 = A. Considerando condições permanentes e massa específica da água constante, defina a velocidade 3 (V 3 ) em função da velocidade (V ), e as forças (F x e F y ) atuando na caixa. Da equação da continuidade A v + A v = A 3 v 3 A v + A v = A v 3 v 3 = 5 8 v (+4) Quantidade de movimento linear F ext = v ρ dv t vc + v ρ(v da ) sc Em x Em y F x = v ρ(v da ) sc F y = v ρ(v da ) sc v ( ρv A ) + v 3 cosθ( ρv 3 A ) = ρv A ( cosθ) (+3) v ( ρv A ) + v 3 senθ(ρv 3 A 3 ) = ρv A ( senθ) (+3) 7